Théorème de la moyenne géométrique - Geometric mean theorem

aire du carré gris = aire du rectangle gris :

h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}

Le théorème d'altitude du triangle rectangle ou théorème de la moyenne géométrique est un résultat de géométrie élémentaire qui décrit une relation entre l' altitude sur l' hypoténuse dans un triangle rectangle et les deux segments de droite qu'elle crée sur l'hypoténuse. Il indique que la moyenne géométrique des deux segments est égale à l'altitude.

Théorème et applications

Construction de p en mettant q à 1

Si h désigne l'altitude dans un triangle rectangle et p et q les segments sur l'hypoténuse alors le théorème peut être énoncé comme :

h={\sqrt {pq}}

ou en terme de superficies :

h^{2}=pq.

Inégalité AM-GM

Cette dernière version fournit une méthode pour équarrir un rectangle à l'aide d'une règle et d'un compas , c'est-à-dire pour construire un carré d'aire égale à un rectangle donné. Pour un tel rectangle avec des côtés p et q on note son en haut à gauche sommet avec D . Maintenant, nous étendons le segment q vers sa gauche par p (en utilisant l'arc AE centré sur D ) et dessinons un demi-cercle avec les extrémités A et B avec le nouveau segment p+q comme diamètre. Ensuite, nous dressons une ligne perpendiculaire au diamètre en D qui coupe le demi-cercle en C . En raison du théorème de Thales, C et le diamètre forment un triangle rectangle avec le segment de droite DC comme altitude, donc DC est le côté d'un carré avec l'aire du rectangle. La méthode permet également la construction de racines carrées (voir nombre constructible ), car à partir d'un rectangle de largeur 1, le carré construit aura une longueur de côté égale à la racine carrée de la longueur du rectangle.

Une autre application de fournit une preuve géométrique de l' inégalité AM-GM dans le cas de deux nombres. Pour les nombres p et q on construit un demi-cercle de diamètre p+q . Or l'altitude représente la moyenne géométrique et le rayon la moyenne arithmétique des deux nombres. Comme l'altitude est toujours inférieure ou égale au rayon, cela donne l'inégalité.

théorème de la moyenne géométrique comme cas particulier du théorème de l' accord :

|CD||DE|=|AD||DB|\Leftrightarrow h^{2}=pq

Le théorème peut également être considéré comme un cas particulier du théorème des cordes sécantes pour un cercle, puisque l'inverse du théorème de Thales garantit que l'hypoténuse du triangle rectangle est le diamètre de son cercle circonscrit .

L'affirmation inverse est également vraie. Tout triangle, dans lequel l'altitude est égale à la moyenne géométrique des deux segments de ligne créés par celui-ci, est un triangle rectangle.

Histoire

Le théorème est généralement attribué à Euclide (environ 360-280 avant JC), qui a déclaré comme corollaire de la proposition 8 dans le livre VI de ses éléments . Dans la proposition 14 du livre II, Euclide donne une méthode de mise au carré d'un rectangle, qui correspond essentiellement à la méthode donnée ici. Euclide fournit cependant une preuve différente légèrement plus compliquée de l'exactitude de la construction plutôt que de s'appuyer sur le théorème de la moyenne géométrique.

Preuve

Basé sur la similitude

\triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC

Preuve du théorème :

Les triangles et sont semblables , puisque : $\triangle ADC$ $\triangle BCD$

considérons des triangles , ici nous avons et , donc par le postulat AA $\triangle ABC,\triangle ACD$ $\angle ACB=\angle ADC=90^{\circ }$ $\angle BAC=\angle CAD$ $\triangle ABC\sim \triangle ACD$
de plus, considérons des triangles , nous avons ici et , donc par le postulat AA $\triangle ABC,\triangle BCD$ $\angle ACB=\angle BDC=90^{\circ }$ $\angle ABC=\angle CBD$ $\triangle ABC\sim \triangle BCD$

Par conséquent, les deux triangles et sont similaires à et eux-mêmes, c'est-à-dire . $\triangle ACD$ $\triangle BCD$ $\triangle ABC$ $\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD$

En raison de la similitude, nous obtenons l'égalité des rapports suivante et son réarrangement algébrique donne le théorème :.

{\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq }}\qquad (h,p,q>0)

Preuve de l'inverse :

Pour l'inverse, nous avons un triangle dans lequel tient et devons montrer que l'angle en C est un angle droit. Maintenant, à cause de nous aussi . Avec les triangles et ont un angle de taille égale et ont des paires de pattes correspondantes avec le même rapport. Cela signifie que les triangles sont similaires, ce qui donne : $\triangle ABC$ $h^{2}=pq$ $h^{2}=pq$ ${\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}$ $\angle ADC=\angle CDB$ $\triangle ADC$ ${\displaystyle\triangle BDC}$

\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\ circ }

Basé sur le théorème de Pythagore

Preuve avec le théorème de Pythagore

Dans le cadre du théorème de la moyenne géométrique, il y a trois triangles rectangles , et , dans lesquels le théorème de Pythagore donne : $\triangle ABC$ $\triangle ADC$ ${\displaystyle\triangle DBC}$

h^{2}=a^{2}-q^{2}

, et

h^{2}=b^{2}-p^{2}

{\style d'affichage c^{2}=a^{2}+b^{2}}

Additionner les 2 premières équations puis utiliser la troisième conduit alors à :

2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2} =(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq

.

Une division par deux donne finalement la formule du théorème de la moyenne géométrique.

Basé sur la dissection et le réarrangement

La dissection du triangle rectangle le long de son altitude h donne deux triangles similaires, qui peuvent être augmentés et disposés de deux manières alternatives en un triangle rectangle plus grand avec des côtés perpendiculaires de longueurs p+h et q+h . L'un de ces agencements nécessite un carré d'aire h ² pour le compléter, l'autre un rectangle d'aire pq . Puisque les deux arrangements donnent le même triangle, les aires du carré et du rectangle doivent être identiques.

Basé sur des mappages de cisaillement

Le carré de l'altitude peut être transformé en un rectangle de surface égale de côtés p et q à l'aide de trois cartographies de cisaillement (les cartographies de cisaillement préservent la surface) :

Cartographies de cisaillement avec leurs lignes fixes associées (en pointillés), en commençant par le carré d'origine comme pré-image, chaque parallélogramme affiche l'image d'une cartographie de cisaillement de la figure à gauche de celui-ci

Les références

^ ^A ^b ^c ^d ^e * Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN 9783834808561 , pp. 76-77 (allemand, copie en ligne , p. 76, sur Google Books )
^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen : Icônes de mathématiques : Une exploration de vingt images clés . MAA 2011, ISBN 9780883853528 , pp. 31-32 ( copie en ligne , p. 31, sur Google Books )
^ Euclide : Éléments , livre II – prop. 14, livre VI – pro6767800hshockedmake ,me uoppppp. 8, ( copie en ligne )
^ Ilka Agricola , Thomas Friedrich : Géométrie élémentaire . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , p. 25 ( copie en ligne , p. 25, sur Google Books )

Liens externes

Moyenne géométrique à couper le nœud

[HW-1] A ^b ^c ^d ^e * Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN 9783834808561 , pp. 76-77 (allemand, copie en ligne , p. 76, sur Google Books )

[2] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen : Icônes de mathématiques : Une exploration de vingt images clés . MAA 2011, ISBN 9780883853528 , pp. 31-32 ( copie en ligne , p. 31, sur Google Books )

[3] Euclide : Éléments , livre II – prop. 14, livre VI – pro6767800hshockedmake ,me uoppppp. 8, ( copie en ligne )

[4] Ilka Agricola , Thomas Friedrich : Géométrie élémentaire . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , p. 25 ( copie en ligne , p. 25, sur Google Books )

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