Fonction Gimel - Gimel function

Dans la théorie des ensembles axiomatique , la fonction gimel est la fonction suivante mappant les nombres cardinaux aux nombres cardinaux :

${\displaystyle \gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$

où cf désigne la fonction de cofinalité ; la fonction gimel est utilisée pour étudier la fonction continue et la fonction cardinale d'exponentiation . Le symbole est une forme empattée de la lettre hébraïque gimel . ${\displaystyle \gimel }$

Valeurs de la fonction gimel

La fonction gimel a la propriété pour tous les cardinaux infinis par le théorème de König . ${\displaystyle \gimel (\kappa )>\kappa }$

Pour les cardinaux réguliers , , et le théorème d'Easton dit que nous ne savons pas grand-chose sur les valeurs de cette fonction. Pour le singulier , les limites supérieures de peuvent être trouvées dans la théorie PCF de Shelah . ${\style d'affichage \kappa }$${\displaystyle \gimel (\kappa )=2^{\kappa }}$${\style d'affichage \kappa }$${\displaystyle \gimel (\kappa )}$

L'hypothèse de Gimel

L' hypothèse de Gimel indique que . Essentiellement, cela signifie que pour singulier est la plus petite valeur autorisée par les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (en supposant la cohérence). ${\displaystyle \gimel (\kappa )=\max(2^{{\text{cf}}(\kappa )},\kappa ^{+})}$${\displaystyle \gimel (\kappa )}$${\style d'affichage \kappa }$

Sous cette hypothèse, l'exponentiation cardinale est simplifiée, mais pas dans la mesure de l' hypothèse du continu (qui implique l'hypothèse gimel).

Réduire la fonction d'exponentiation à la fonction gimel

Bukovský (1965) a montré que toute exponentiation cardinale est déterminée (récursivement) par la fonction gimel comme suit.

• Si κ est un cardinal régulier infini (en particulier tout successeur infini) , alors${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (\kappa )}$
• Si κ est infini et singulier et la fonction de continuum est finalement constante ci - dessous κ alors${\displaystyle 2^{\kappa }=2^{<\kappa }}$
• Si κ est une limite et la fonction de continuum n'est pas finalement constante ci - dessous κ alors${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (2^{<\kappa })}$

Les règles restantes sont valables chaque fois que κ et sont tous les deux infinis :

• Si ℵ ₀ ≤ κ ≤ λ alors κ ^λ = 2 ^λ
• Si μ ^λ ≥ κ pour certains μ < κ alors κ ^λ = μ ^λ
• Si κ > λ et μ ^λ < κ pour tout μ < κ et cf( κ ) ≤ λ alors κ ^λ = κ ^cf(κ)
• Si κ > λ et μ ^λ < κ pour tout μ < κ et cf( κ ) > λ alors κ ^λ = κ

Voir également

• Numéro Aleph
• Numéro de Beth

Les références

• Bukovský, L. (1965), "Le problème du continuum et les pouvoirs des alephs", Commentaire. Math. Univ. Carolinae , 6 : 181–197, hdl : 10338.dmlcz/105009 , MR  0183649
• Jech, Thomas J. (1973), "Propriétés de la fonction gimel et une classification des cardinaux singuliers" (PDF) , Fonds. Math. , Recueil d'articles consacré à Andrzej Mostowski à l'occasion de son soixantième anniversaire, I., 81 (1) : 57-64, doi : 10.4064/fm-81-1-57-64 , MR  0389593
• Thomas Jech , Set Theory , 3e édition du millénaire, 2003, Springer Monographies en mathématiques, Springer, ISBN  3-540-44085-2 .