Lemme de Goursat - Goursat's lemma

Le lemme de Goursat , du nom du mathématicien français Édouard Goursat , est un théorème algébrique sur les sous - groupes du produit direct de deux groupes .

Elle peut être énoncée plus généralement dans une variété de Goursat (et par conséquent elle vaut également dans n'importe quelle variété de Maltsev ), à partir de laquelle on récupère une version plus générale du lemme du papillon de Zassenhaus . Sous cette forme, le théorème de Goursat implique également le lemme du serpent .

Groupes

Le lemme de Goursat pour les groupes peut être énoncé comme suit.

Soit , soit des groupes, et soit un sous-groupe de tel que les deux projections et soient surjectives (c'est-à-dire, est un produit sous-direct de et ). Soit le noyau de et le noyau de . On peut s'identifier comme un sous-groupe normal de , et comme un sous-groupe normal de . Alors l'image de in est le graphe d'un isomorphisme . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G \ fois G '}$ ${\ displaystyle p_ {1}: H \ rightarrow G}$${\ displaystyle p_ {2}: H \ rightarrow G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G / N \ fois G '/ N'}$ ${\ Displaystyle G / N \ approx G '/ N'}$

Une conséquence immédiate de ceci est que le produit sous-direct de deux groupes peut être décrit comme un produit fibreux et vice versa.

Notez que si est un sous-groupe de (les projections et n'ont pas besoin d'être surjectives), alors les projections de sur et sont surjectives. Ensuite, on peut appliquer le lemme de Goursat . ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G \ fois G '}$${\ displaystyle p_ {1}: H \ rightarrow G}$${\ displaystyle p_ {2}: H \ rightarrow G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle p_ {1} (H)}$${\ displaystyle p_ {2} (H)}$ ${\ displaystyle H \ leq p_ {1} (H) \ times p_ {2} (H)}$

Pour motiver la preuve, considérez la tranche dans , pour tout arbitraire . Par la surjectivité de la carte de projection à , cela a une intersection non triviale avec . Alors essentiellement, cette intersection représente exactement un coset particulier de . En effet, si nous avions des éléments distincts avec et , puis étant un groupe, nous obtenons que , et par conséquent, . Mais c'est une contradiction, car appartiennent à des cosets distincts de , et donc , et donc l'élément ne peut pas appartenir au noyau de la carte de projection de à . Ainsi, l'intersection de avec chaque tranche "horizontale" isomorphe à est exactement un coset particulier de in . Par un argument identique, l'intersection de avec chaque tranche "verticale" isomorphe à est exactement un coset particulier de in . ${\ displaystyle S = {g} \ fois G '}$${\ displaystyle G \ fois G '}$${\ displaystyle {g} \ in G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle (g, a), (g, b) \ in S \ cap H}$${\ displaystyle a \ in pN '\ subset G'}$${\ displaystyle b \ in qN '\ subset G'}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) \ in H}$${\ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) \ in N '}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle ab ^ {- 1} N '\ neq N'}$${\ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) \ in N '}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G '\ in G \ times G'}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G \ in G \ times G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

Tous les cosets de sont présents dans le groupe et, par l'argument ci-dessus, il existe une correspondance exacte 1: 1 entre eux. La preuve ci-dessous montre en outre que la carte est un isomorphisme. ${\ displaystyle G, G '}$${\ displaystyle H}$

Preuve

Avant de procéder à la preuve , et sont montrés normaux dans et , respectivement. C'est en ce sens que et peut être identifié comme normal en G et G ' , respectivement. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G \ times \ {e '\}}$${\ displaystyle \ {e \} \ times G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N '}$

Depuis est un homomorphisme , son noyau N est normal dans H . De plus, étant donné , il existe , puisque c'est surjectif. Par conséquent, est normal en G , à savoir: ${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle h = (g, g ') \ in H}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {1} (N)}$

${\ displaystyle gp_ {1} (N) = p_ {1} (h) p_ {1} (N) = p_ {1} (hN) = p_ {1} (Nh) = p_ {1} (N) g }$ .

Il s'ensuit que c'est normal depuis ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G \ times \ {e '\}}$

${\ displaystyle (g, e ') N = (g, e') (p_ {1} (N) \ times \ {e '\}) = gp_ {1} (N) \ times \ {e' \} = p_ {1} (N) g \ times \ {e '\} = (p_ {1} (N) \ times \ {e' \}) (g, e ') = N (g, e')}$ .

La preuve qui est normale procède de la même manière. ${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle \ {e \} \ times G '}$

Compte tenu de l'identification des avec , nous pouvons écrire et au lieu de et , . De même, nous pouvons écrire et , . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G \ times \ {e '\}}$${\ displaystyle G / N}$${\ displaystyle gN}$${\ displaystyle (G \ times \ {e '\}) / N}$${\ displaystyle (g, e ') N}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle G '/ N'}$${\ displaystyle g'N '}$${\ displaystyle g '\ in G'}$

Sur la preuve. Considérez la carte définie par . L'image de sous cette carte est . Depuis est surjective, cette relation est le graphique d'une bien définie fonction prévue pour chaque essentiellement une application du test de ligne verticale . ${\ displaystyle H \ rightarrow G / N \ times G '/ N'}$${\ Displaystyle (g, g ') \ mapsto (gN, g'N')}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ {(gN, g'N ') | (g, g') \ in H \}}$${\ displaystyle H \ rightarrow G / N}$${\ displaystyle G / N \ rightarrow G '/ N'}$${\ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N \ Rightarrow g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$${\ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') \ in H}$

Depuis (plus correctement, ), nous avons . Ainsi , d'où , c'est-à-dire . ${\ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N}$${\ displaystyle (g_ {1}, e ') N = (g_ {2}, e') N}$${\ displaystyle (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e ') \ in N \ subset H}$${\ displaystyle (e, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') = (g_ {2}, g_ {2} ') ^ {- 1} (g_ {1}, g_ {1} ') (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e') ^ {- 1} \ en H}$${\ displaystyle (e, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') \ in N '}$${\ displaystyle g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$

De plus, pour tout ce que nous avons . Il s'ensuit que cette fonction est un homomorphisme de groupe. ${\ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') \ in H}$${\ displaystyle (g_ {1} g_ {2}, g_ {1} 'g_ {2}') \ in H}$

Par symétrie, est le graphe d'un homomorphisme bien défini . Ces deux homomorphismes sont clairement inverses l'un de l'autre et sont donc bien des isomorphismes. ${\ displaystyle \ {(g'N ', gN) | (g, g') \ in H \}}$${\ displaystyle G '/ N' \ rightarrow G / N}$

Variétés de Goursat

Comme conséquence du théorème de Goursat, on peut dériver une version très générale du théorème de Jordan-Hölder - Schreier dans les variétés de Goursat.

Les références

• Édouard Goursat, "Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), Volume: 6, pages 9–102
• J. Lambek (1996). "Le papillon et le serpent". Dans Aldo Ursini; Paulo Agliano (éd.). Logique et algèbre . CRC Press. 161-180. ISBN   978-0-8247-9606-8 .
• Kenneth A. Ribet (automne 1976), " Action de Galois sur les points de division des variétés abéliennes à multiplications réelles", American Journal of Mathematics , Vol. 98, n ° 3, 751–804.