Graphique d'une fonction - Graph of a function

Graphique de la fonction

En mathématiques , le graphe d'une fonction est l'ensemble des paires ordonnées , où Dans le cas courant où et sont des nombres réels , ces paires sont des coordonnées cartésiennes de points dans l' espace à deux dimensions et forment ainsi un sous-ensemble de ce plan.

Dans le cas des fonctions à deux variables, c'est-à-dire des fonctions dont le domaine est constitué de paires, le graphe fait généralement référence à l'ensemble des triplets ordonnés où au lieu des paires comme dans la définition ci-dessus. Cet ensemble est un sous-ensemble de l' espace tridimensionnel ; pour une fonction continue à valeur réelle de deux variables réelles, c'est une surface .

Un graphe d'une fonction est un cas particulier d'une relation .

En science , en ingénierie , en technologie , en finance et dans d'autres domaines, les graphiques sont des outils utilisés à de nombreuses fins. Dans le cas le plus simple, une variable est tracée en fonction d'une autre, typiquement à l'aide d' axes rectangulaires ; voir Plot (graphiques) pour plus de détails.

Dans les fondements modernes des mathématiques et, généralement, dans la théorie des ensembles , une fonction est en fait égale à son graphe. Cependant, il est souvent utile de voir les fonctions comme des mappages , qui consistent non seulement en la relation entre l'entrée et la sortie, mais aussi quel ensemble est le domaine et quel ensemble est le codomaine . Par exemple, pour dire qu'une fonction est sur ( surjective ) ou non le codomaine doit être pris en compte. Le graphe d'une fonction à lui seul ne détermine pas le codomaine. Il est courant d'utiliser à la fois les termes fonction et graphique d'une fonction car même s'ils sont considérés comme le même objet, ils indiquent de le voir sous un angle différent.

Graphique de la fonction sur l' intervalle [−2,+3]. Sont également indiqués les deux racines réelles et le minimum local qui se trouvent dans l'intervalle.

Définition

Étant donné une application, c'est- à-dire une fonction avec son domaine et son codomaine, le graphe de l'application est l'ensemble

qui est un sous-ensemble de . Dans la définition abstraite d'une fonction, est en fait égal à

On peut observer que, si, alors le graphe est un sous-ensemble de (à proprement parler il l'est mais on peut l'incorporer avec l'isomorphisme naturel).

Exemples

Fonctions d'une variable

Graphique de la fonction

Le graphe de la fonction définie par

est le sous-ensemble de l'ensemble

A partir du graphe, le domaine est récupéré comme l'ensemble des premiers composants de chaque paire dans le graphe . De même, la plage peut être récupérée en tant que . Le codomaine , cependant, ne peut pas être déterminé à partir du graphe seul.

Le graphique du polynôme cubique sur la droite réelle

est

Si cet ensemble est tracé sur un plan cartésien , le résultat est une courbe (voir figure).

Fonctions de deux variables

Tracé du graphique montrant également son gradient projeté sur le plan inférieur.

Le graphique de la fonction trigonométrique

est

Si cet ensemble est tracé sur un système de coordonnées cartésiennes à trois dimensions , le résultat est une surface (voir figure).

Souvent, il est utile de montrer avec le graphique, le gradient de la fonction et plusieurs courbes de niveau. Les courbes de niveau peuvent être mappées sur la surface fonctionnelle ou peuvent être projetées sur le plan inférieur. La deuxième figure montre un tel dessin du graphe de la fonction :

Généralisations

Le graphe d'une fonction est contenu dans un produit cartésien d'ensembles. Un plan - est un produit cartésien de deux lignes, appelé et tandis qu'un cylindre est un produit cartésien d'une ligne et d'un cercle, dont la hauteur, le rayon et l'angle attribuent des emplacements précis aux points. Les faisceaux de fibres ne sont pas des produits cartésiens, mais semblent être de près. Il existe une notion correspondante de graphe sur un faisceau de fibres appelée section .

Les graphique d'un multifonction , disons que le multifonction est l'ensemble

Voir également

Les références

Liens externes