Théorème de Green - Green's theorem

En calcul vectoriel, le théorème de Green relie une ligne intégrale autour d'une simple courbe fermée C à une double intégrale sur la région plane D limitée par C . C'est le cas particulier bidimensionnel du théorème de Stokes .

Théorème

Soit C soit une positivement orientée , par morceaux lisser , courbe simple fermée dans un plan , et que D soit la région délimitée par C . Si L et M sont des fonctions de ( x , y ) définies sur une région ouverte contenant D et ayant là des dérivées partielles continues , alors

\ointct dans le sens des aiguilles d'une montre

où le chemin d'intégration le long de C est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre .

En physique, le théorème de Green trouve de nombreuses applications. L'un résout des intégrales d'écoulement bidimensionnelles, affirmant que la somme de fluide sortant d'un volume est égale à l'écoulement total additionné autour d'une zone englobante. En géométrie plane , et en particulier en arpentage , le théorème de Green peut être utilisé pour déterminer l'aire et le centroïde de figures planes uniquement en intégrant sur le périmètre.

Preuve quand D est une région simple

Si D est un type simple de région avec sa frontière constituée des courbes C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , la moitié du théorème de Green peut être démontrée.

Ce qui suit est une preuve de la moitié du théorème pour la zone simplifiée D , une région de type I où C 1 et C 3 sont des courbes reliées par des lignes verticales (éventuellement de longueur nulle). Une preuve similaire existe pour l'autre moitié du théorème lorsque D est une région de type II où C 2 et C 4 sont des courbes reliées par des lignes horizontales (encore une fois, éventuellement de longueur nulle). En réunissant ces deux parties, le théorème est ainsi démontré pour les régions de type III (définies comme des régions qui sont à la fois de type I et de type II). Le cas général peut alors être déduit de ce cas particulier en décomposant D en un ensemble de régions de type III.

S'il peut être démontré que si

 

 

 

 

( 1 )

et

 

 

 

 

( 2 )

sont vraies, alors le théorème de Green s'ensuit immédiatement pour la région D. Nous pouvons prouver ( 1 ) facilement pour les régions de type I, et ( 2 ) pour les régions de type II. Le théorème de Green suit alors pour les régions de type III.

Supposons que la région D est une région de type I et peut donc être caractérisée, comme illustré à droite, par

g 1 et g 2 sont des fonctions continues sur [ a , b ]. Calculer l'intégrale double dans ( 1 ):

 

 

 

 

( 3 )

Calculez maintenant l'intégrale de droite dans ( 1 ). C peut être réécrit comme l'union de quatre courbes : C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .

Avec C 1 , utilisez les équations paramétriques : x = x , y = g 1 ( x ), axb . Puis

Avec C 3 , utilisez les équations paramétriques : x = x , y = g 2 ( x ), axb . Puis

L'intégrale sur C 3 est niée car elle va dans le sens négatif de b vers a , car C est orienté positivement (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre). Sur C 2 et C 4 , x reste constant, c'est-à-dire

Par conséquent,

 

 

 

 

( 4 )

En combinant ( 3 ) avec ( 4 ), nous obtenons ( 1 ) pour les régions de type I. Un traitement similaire donne ( 2 ) pour les régions de type II. En mettant les deux ensemble, nous obtenons le résultat pour les régions de type III.

Preuve des courbes de Jordan rectifiables

Nous allons prouver ce qui suit

Théorème. Laisser un rectifiable, orienté positivement courbe de Jordan dans et laisser désignent sa région intérieure. Supposons que sont des fonctions continues avec la propriété qui a une dérivée partielle seconde en chaque point de , a une dérivée partielle première en chaque point de et que les fonctions sont intégrables de Riemann sur . Puis

Nous avons besoin des lemmes suivants dont les preuves peuvent être trouvées dans :

Lemme 1 (Lemme de Décomposition). Supposons une courbe de Jordan rectifiable et orientée positivement dans le plan et soit sa région intérieure. Pour chaque réel positif , notons la collection de carrés dans le plan délimité par les lignes , où traverse l'ensemble des nombres entiers. Alors, pour cela , il existe une décomposition de en un nombre fini de sous-régions non chevauchantes de telle manière que

  1. Chacune des sous-régions contenues dans , disons , est un carré de .
  2. Chacune des sous-régions restantes, disons , a pour frontière une courbe de Jordan rectifiable formée par un nombre fini d'arcs de et de parties des côtés d'un carré de .
  3. Chacune des régions frontalières peut être enfermée dans un carré de edge-length .
  4. Si est la courbe limite orientée positivement de , alors
  5. Le nombre de régions frontalières n'est pas supérieur à , où est la longueur de .

Lemme 2. Soit une courbe rectifiable dans le plan et soit l'ensemble des points du plan dont la distance à (l'intervalle de) est au plus . Le contenu Jordan extérieur de cet ensemble satisfait .

Lemme 3. Soit une courbe rectifiable dans et soit une fonction continue. Puis

et
sont où est l'oscillation de sur la plage de .

Nous sommes maintenant en mesure de prouver le théorème :

Preuve du théorème. Soit un nombre réel positif arbitraire. Par continuité de , et compacité de , étant donné , il existe tel que chaque fois que deux points de sont moins que séparés, leurs images sous sont moins que séparées. Pour cela , considérons la décomposition donnée par le lemme précédent. Nous avons

Mettez .

Pour chaque , la courbe est un carré orienté positivement, pour lequel la formule de Green est vraie. D'où

Chaque point d'une région frontalière est à une distance ne dépassant pas de . Ainsi, si est l'union de toutes les régions frontalières, alors ; d'où , par le lemme 2. Remarquez que

Cela donne

On peut aussi bien choisir de telle sorte que le RHS de la dernière inégalité soit

La remarque au début de cette preuve implique que les oscillations de et sur chaque région frontière sont au plus . Nous avons

Par le lemme 1(iii),

En les combinant, nous obtenons finalement

pour certains . Puisque cela est vrai pour chaque , nous avons terminé.

Validité sous différentes hypothèses

Les hypothèses du dernier théorème ne sont pas les seules sous lesquelles la formule de Green est vraie. Un autre ensemble commun de conditions est le suivant :

Les fonctions sont toujours supposées continues. Cependant, nous exigeons maintenant qu'ils soient différenciables de Fréchet en tout point de . Cela implique l'existence de toutes les dérivées directionnelles, en particulier , où, comme d'habitude, est la base ordonnée canonique de . De plus, nous exigeons que la fonction soit intégrable par Riemann sur .

En corollaire, on obtient le théorème intégral de Cauchy pour les courbes de Jordan rectifiables :

Théorème (Cauchy). Si est une courbe de Jordan rectifiable dans et si est une application holomorphe continue dans toute la région intérieure de , alors

l'intégrale étant une intégrale de contour complexe.

Preuve. Nous considérons le plan complexe comme . Maintenant, définissez comme tel que Ces fonctions sont clairement continues. Il est bien connu que et sont dérivables de Fréchet et qu'ils satisfont aux équations de Cauchy-Riemann : .

Or, en analysant les sommes utilisées pour définir l'intégrale de contour complexe en question, il est facile de se rendre compte que

les intégrales sur le RHS étant des intégrales de ligne habituelles. Ces remarques nous permettent d'appliquer le théorème de Green à chacune de ces intégrales droites, terminant la preuve.

Régions multi-connectées

Théorème. Soit des courbes de Jordan rectifiables orientées positivement en satisfaisant

où est la région intérieure de . Laisser

Supposons et sont des fonctions continues dont la restriction à est Fréchet-différentiable. Si la fonction

est Riemann-intégrable sur , alors

Relation avec le théorème de Stokes

Le théorème de Green est un cas particulier du théorème de Kelvin-Stokes , lorsqu'il est appliqué à une région dans le plan.

Nous pouvons augmenter le champ à deux dimensions en un champ à trois dimensions avec une composante z qui est toujours 0. Écrivez F pour la fonction à valeur vectorielle . Commençons par le côté gauche du théorème de Green :

Le théorème de Kelvin-Stokes :

La surface est juste la région dans le plan , avec l'unité normale définie (par convention) pour avoir une composante z positive afin de correspondre aux définitions "d'orientation positive" pour les deux théorèmes.

L'expression à l'intérieur de l'intégrale devient

On obtient ainsi le membre de droite du théorème de Green

Le théorème de Green est également un résultat direct du théorème général de Stokes utilisant des formes différentielles et des dérivées extérieures :

Relation avec le théorème de divergence

En ne considérant que les champs de vecteurs bidimensionnels, le théorème de Green est équivalent à la version bidimensionnelle du théorème de divergence :

\oiint

où est la divergence sur le champ vectoriel bidimensionnel , et est le vecteur normal à l'unité pointant vers l'extérieur sur la frontière.

Pour voir cela, considérez l'unité normale dans le côté droit de l'équation. Puisque dans le théorème de Green est un vecteur pointant tangentiel le long de la courbe, et la courbe C est la courbe orientée positivement (c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) le long de la frontière, une normale extérieure serait un vecteur qui pointe à 90° à droite de celle-ci ; un choix serait . La longueur de ce vecteur est donc

Commençons par le côté gauche du théorème de Green :

En appliquant le théorème de divergence à deux dimensions avec , nous obtenons le côté droit du théorème de Green :

Calcul de surface

Le théorème de Green peut être utilisé pour calculer l'aire par ligne intégrale. L'aire d'une région plane est donnée par

Choisissez et tel que , l'aire soit donnée par

Formules possibles pour la zone d' inclusion

Histoire

Il porte le nom de George Green , qui a déclaré un résultat similaire dans un article de 1828 intitulé Un essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme . En 1846, Augustin-Louis Cauchy publia un article énonçant le théorème de Green comme avant-dernière phrase. C'est en fait la première version imprimée du théorème de Green sous la forme apparaissant dans les manuels modernes. Bernhard Riemann a donné la première preuve du théorème de Green dans sa thèse de doctorat sur la théorie des fonctions d'une variable complexe.

Voir également

  • Planimètre  – Outil pour mesurer la surface.
  • Méthode des charges d'image - Une méthode utilisée en électrostatique qui tire parti du théorème d'unicité (dérivé du théorème de Green)
  • Formule de lacet - Un cas particulier du théorème de Green pour les polygones simples

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes