Homomorphisme de groupe - Group homomorphism

Image d'un homomorphisme de groupe ( h ) de G (gauche) à H (droite). Le plus petit ovale à l'intérieur de H est l'image de h . N est le noyau de h et aN est un co - ensemble de N .

En mathématiques , étant donné deux groupes , ( G , ∗) et ( H , ·), un homomorphisme de groupe de ( G , ∗) à ( H , ·) est une fonction h  : G H telle que pour tout u et v dans G il tient que

où l'opération de groupe sur le côté gauche de l'équation est celle de G et sur le côté droit que du H .

De cette propriété, on peut déduire que h mappe l' élément d'identité e G de G à l'élément d'identité e H de H ,

et il mappe également les inverses aux inverses dans le sens où

On peut donc dire que h "est compatible avec la structure du groupe".

Les notations plus anciennes pour l' homomorphisme h ( x ) peuvent être x h ou x h , bien que cela puisse être confondu comme un index ou un indice général. Dans la théorie des automates , les homomorphismes sont parfois écrits à droite de leurs arguments sans parenthèses, de sorte que h ( x ) devient simplement xh .

Dans les domaines des mathématiques où l'on considère des groupes dotés d'une structure supplémentaire, un homomorphisme signifie parfois une carte qui respecte non seulement la structure du groupe (comme ci-dessus) mais aussi la structure supplémentaire. Par exemple, un homomorphisme de groupes topologiques doit souvent être continu.

Intuition

Le but de la définition d'un homomorphisme de groupe est de créer des fonctions qui préservent la structure algébrique. Une définition équivalente de l'homomorphisme de groupe est: La fonction h  : G H est un homomorphisme de groupe si chaque fois

a b = c   on a   h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

En d'autres termes, le groupe H a en un certain sens une structure algébrique similaire à G et l'homomorphisme h le préserve.

Les types

Monomorphisme
Un homomorphisme de groupe qui est injectif (ou, un-à-un); c'est-à-dire, préserve la distinction.
Épimorphisme
Un homomorphisme de groupe surjectif (ou, sur); c'est-à-dire atteint tous les points du codomaine.
Isomorphisme
Un homomorphisme de groupe qui est bijectif ; c'est-à-dire, injectif et surjectif. Son inverse est aussi un homomorphisme de groupe. Dans ce cas, les groupes G et H sont appelés isomorphes ; ils ne diffèrent que par la notation de leurs éléments et sont identiques à toutes fins pratiques.
Endomorphisme
Un homomorphisme, h : G G ; le domaine et le codomaine sont les mêmes. Aussi appelé un endomorphisme de G .
Automorphisme
Un endomorphisme bijectif, et donc un isomorphisme. L'ensemble de tous les automorphismes d'un groupe G , avec la composition fonctionnelle opération, elle - même forme un groupe, le groupe d'automorphismes de G . Il est noté Aut ( G ). A titre d'exemple, le groupe d'automorphisme de ( Z , +) ne contient que deux éléments, la transformation d'identité et la multiplication avec −1; il est isomorphe à Z / 2 Z .

Image et noyau

On définit le noyau de h comme l'ensemble des éléments de G qui sont mappés à l'identité de H

et l' image de h être

Le noyau et l'image d'un homomorphisme peuvent être interprétés comme mesurant à quel point il est proche d'un isomorphisme. Le premier théorème d'isomorphisme stipule que l'image d'un homomorphisme de groupe, h ( G ) est isomorphe au groupe quotient G / ker h .

Le noyau de h est un sous-groupe normal de G et l'image de h est un sous - groupe de H :

Si et seulement si ker ( h ) = { e G }, l'homomorphisme, h , est un monomorphisme de groupe ; c'est -à- dire que h est injectif (un-à-un). L'injection donne directement qu'il y a un élément unique dans le noyau, et un élément unique dans le noyau donne l'injection:

Exemples

  • Considérons le groupe cyclique Z / 3 Z = {0, 1, 2} et le groupe d'entiers Z avec addition. L'application h  : Z Z / 3 Z avec h ( u ) = u mod 3 est un homomorphisme de groupe. Il est surjectif et son noyau est constitué de tous les entiers divisibles par 3.
  • Considérez le groupe

    Pour tout nombre complexe u la fonction f u  : G C * définie par:

    est un homomorphisme de groupe.
  • Considérons le groupe multiplicatif de nombres réels positifs ( R + , ⋅) pour tout nombre complexe u la fonction f u  : R + C définie par:
    est un homomorphisme de groupe.
  • La carte exponentielle produit un homomorphisme de groupe à partir du groupe de nombres réels R avec addition au groupe de nombres réels non nuls R * avec multiplication. Le noyau est {0} et l'image est constituée des nombres réels positifs.
  • La carte exponentielle produit également un homomorphisme de groupe à partir du groupe de nombres complexes C avec addition au groupe de nombres complexes non nuls C * avec multiplication. Cette carte est surjective et a le noyau {2π ki  : k Z }, comme on peut le voir à partir de la formule d' Euler . Les champs comme R et C qui ont des homomorphismes de leur groupe additif à leur groupe multiplicatif sont donc appelés champs exponentiels .

La catégorie des groupes

Si h  : G H et k  : H K sont des homomorphismes de groupe, alors k h  : G K l'est aussi . Cela montre que la classe de tous les groupes, avec les homomorphismes de groupe en tant que morphismes, forme une catégorie .

Homomorphismes des groupes abéliens

Si G et H sont des groupes abéliens (c'est-à-dire commutatifs), alors l'ensemble Hom ( G , H ) de tous les homomorphismes de groupe de G à H est lui-même un groupe abélien: la somme h + k de deux homomorphismes est définie par

( H + k ) ( u ) = h ( u ) + k ( u ) pour tout u dans G .

La commutativité de H est nécessaire pour prouver que h + k est à nouveau un homomorphisme de groupe.

L'ajout d'homomorphismes est compatible avec la composition des homomorphismes au sens suivant: si f est dans Hom ( K , G ) , h , k sont des éléments de Hom ( G , H ) , et g est dans Hom ( H , L ) , alors

( h + k ) ∘ f = ( h f ) + ( k f )    et    g ∘ ( h + k ) = ( g h ) + ( g k ) .

Etant donné que la composition est associative , ce qui montre que la fin de consigne ( G ) de tous les endomorphismes d'un groupe abélien forme un anneau , l' anneau d'endomorphisme de G . Par exemple, l'anneau de endomorphism du groupe abélien constitué par la somme directe de m copies de Z / n Z est isomorphe à l'anneau de m -by- m matrices à coefficients dans Z / n Z . La compatibilité ci-dessus montre également que la catégorie de tous les groupes abéliens avec des homomorphismes de groupe forme une catégorie pré - additive ; l'existence de sommes directes et de noyaux bien comportés fait de cette catégorie l'exemple prototypique d'une catégorie abélienne .

Voir également

Les références

  • Dummit, DS; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3e éd.). Wiley. 71–72. ISBN   978-0-471-43334-7 .
  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (troisième éd. Révisé), New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984.00001

Liens externes