Isomorphisme de groupe - Group isomorphism

En algèbre abstraite , un isomorphisme de groupe est une fonction entre deux groupes qui établit une correspondance un à un entre les éléments des groupes d'une manière qui respecte les opérations de groupe données. S'il existe un isomorphisme entre deux groupes, alors les groupes sont dits isomorphes . Du point de vue de la théorie des groupes, les groupes isomorphes ont les mêmes propriétés et n'ont pas besoin d'être distingués.

Définition et notation

Étant donné deux groupes et un isomorphisme de groupe de à est un homomorphisme de groupe bijectif de à Épelé, cela signifie qu'un isomorphisme de groupe est une fonction bijective telle que pour tout et en elle tient que ${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot ),}$${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot )}$ ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage H.}$${\displaystyle f:G\to H}$${\mode d'affichage u}$${\style d'affichage v}$${\style d'affichage G}$

Les deux groupes et sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un à l'autre. Ceci est écrit : ${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot )}$

Des notations souvent plus courtes et plus simples peuvent être utilisées. Lorsque les opérations de groupe pertinentes ne sont pas ambiguës, elles sont omises et on écrit :

Parfois, on peut même simplement écrire = Si une telle notation est possible sans confusion ou ambiguïté dépend du contexte. Par exemple, le signe égal n'est pas très approprié lorsque les groupes sont tous deux des sous-groupes d'un même groupe. Voir aussi les exemples. ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage H.}$

Inversement, étant donné à un groupe un ensemble et une bijection, nous pouvons faire un groupe en définissant ${\style d'affichage (G,*),}$${\style d'affichage H,}$ ${\displaystyle f:G\to H,}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage (H,\dot )}$

Si = et alors la bijection est un automorphisme ( qv ). ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \odot =*}$

Intuitivement, les théoriciens des groupes voient deux groupes isomorphes comme suit : Pour chaque élément d'un groupe, il existe un élément de tel que « se comporte de la même manière » que (fonctionne avec les autres éléments du groupe de la même manière que ). Par exemple, si génère alors cela implique en particulier que et sont en correspondance bijective. Ainsi, la définition d'un isomorphisme est tout à fait naturelle. ${\style d'affichage g}$${\style d'affichage G,}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage G,}$${\style d'affichage h.}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage H}$

Un isomorphisme de groupes peut être défini de manière équivalente comme un morphisme inversible dans la catégorie des groupes , où inversible signifie ici un inverse bilatéral.

Exemples

Dans cette section, quelques exemples notables de groupes isomorphes sont répertoriés.

• Le groupe de tous les nombres réels avec addition est isomorphe au groupe des nombres réels positifs avec multiplication : ${\style d'affichage (\mathbb {R} ,+),}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{+},\times \right)}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$ par l'isomorphisme

  ${\style d'affichage f(x)=e^{x}}$(voir fonction exponentielle ).

• Le groupe des nombres entiers (avec addition) est un sous - groupe de et le groupe des facteurs est isomorphe au groupe des nombres complexes de valeur absolue 1 (avec multiplication) : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• Le groupe de Klein est isomorphe au produit direct de deux copies de (voir arithmétique modulaire ), et peut donc s'écrire Une autre notation est qu'il s'agit d'un groupe dièdre .${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$
• En généralisant cela, car tout impair est isomorphe avec le produit direct de et${\style d'affichage n,}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$${\style d'affichage Z_{2}.}$
• Si est un groupe cyclique infini , alors est isomorphe aux entiers (avec l'opération d'addition). D'un point de vue algébrique, cela signifie que l'ensemble de tous les entiers (avec l'opération d'addition) est le « seul » groupe cyclique infini.${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (G,*)}$

Certains groupes peuvent être prouvés isomorphes, en s'appuyant sur l' axiome du choix , mais la preuve n'indique pas comment construire un isomorphisme concret. Exemples:

• Le groupe est isomorphe au groupe de tous les nombres complexes avec addition.${\style d'affichage (\mathbb {R} ,+)}$${\style d'affichage (\mathbb {C} ,+)}$
• Le groupe des nombres complexes non nuls avec la multiplication comme opération est isomorphe au groupe mentionné ci-dessus.${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$${\displaystyle S^{1}}$

Propriétés

Le noyau d'un isomorphisme de à est toujours {e _G } où e _G est l'identité du groupe${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot ),}$${\style d'affichage (G,*)}$

Si et sont isomorphes, alors est abélien si et seulement si est abélien. ${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot )}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage H}$

Si est un isomorphisme de à alors pour tout l' ordre de est égal à l'ordre de${\style d'affichage f}$${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot ),}$${\displaystyle a\in G,}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage f(a).}$

Si et sont isomorphes, alors est un groupe localement fini si et seulement si est localement fini. ${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot )}$${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage (H,\dot )}$

Le nombre de groupes distincts (à isomorphisme près) d'ordre est donné par la séquence A000001 dans OEIS . Les premiers nombres sont 0, 1, 1, 1 et 2, ce qui signifie que 4 est l'ordre le plus bas avec plus d'un groupe. ${\style d'affichage n}$

Groupes cycliques

Tous les groupes cycliques d'un ordre donné sont isomorphes à où désigne l'addition modulo${\style d'affichage (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$${\style d'affichage +_{n}}$${\style d'affichage n.}$

Soit un groupe cyclique et soit l'ordre de est alors le groupe engendré par Nous allons montrer que ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage G.}$ ${\style d'affichage G}$${\displaystyle \langle x\rangle =\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\}.}$

Définir

de sorte que Clairement, est bijectif. Puis ${\displaystyle \varphi \left(x^{a}\right)=a.}$${\style d'affichage \varphi }$ ce qui prouve que ${\displaystyle G\cong \left(\mathbb {Z} _{n},+_{n}\right).}$

Conséquences

De la définition, il s'ensuit que tout isomorphisme fera correspondre l'élément d'identité de à l'élément d'identité de${\displaystyle f:G\to H}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage H,}$

qu'il mappera les inverses sur les inverses, et plus généralement, ^e pouvoirs aux ^e pouvoirs, ${\style d'affichage b}$${\style d'affichage n}$

$${\displaystyle f\left(u^{n}\right)=[f(u)]^{n}\quad {\text{ pour tous }}u\in G,}$$

et que l'application inverse est aussi un isomorphisme de groupe. ${\displaystyle f^{-1}:H\à G}$

La relation "être isomorphe" satisfait tous les axiomes d'une relation d'équivalence . Si est un isomorphisme entre deux groupes et alors tout ce qui est vrai à ce sujet n'est lié qu'à la structure du groupe peut être traduit via en une véritable déclaration idem à propos et vice versa. ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage H,}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage H,}$

Automorphismes

Un isomorphisme d'un groupe à lui-même est appelé un

automorphisme de ce groupe. C'est donc une bijection telle que ${\style d'affichage (G,*)}$${\displaystyle f:G\to G}$

$${\style d'affichage f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

Un automorphisme fait toujours correspondre l'identité à elle-même. L'image sous un automorphisme d'une classe de conjugaison est toujours une classe de conjugaison (la même ou une autre). L'image d'un élément a le même ordre que cet élément.

La composition de deux automorphismes est encore un automorphisme, et avec cette opération l'ensemble de tous les automorphismes d'un groupe noté forme lui-même un groupe, le

groupe d'automorphismes de${\style d'affichage G,}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$${\style d'affichage G.}$

Pour tous les groupes abéliens, il existe au moins l'automorphisme qui remplace les éléments du groupe par leurs inverses. Cependant, dans les groupes où tous les éléments sont égaux à leur inverse, c'est l'automorphisme trivial, par exemple dans le groupe des quatre de Klein . Pour ce groupe, toutes les permutations des trois éléments de non-identité sont des automorphismes, donc le groupe d'automorphisme est isomorphe à et${\style d'affichage S_{3}}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}.}$

Pour un nombre premier, un élément non identitaire peut être remplacé par n'importe quel autre, avec des changements correspondants dans les autres éléments. Le groupe d'automorphisme est isomorphe à Par exemple, pour multiplier tous les éléments de par 3, modulo 7, est un automorphisme d'ordre 6 dans le groupe d'automorphisme, car alors que les puissances inférieures ne donnent pas 1. Ainsi cet automorphisme génère Il y a un autre automorphisme avec cette propriété : multiplier tous les éléments de par 5, modulo 7. Par conséquent, ces deux éléments correspondent aux éléments 1 et 5 de dans cet ordre ou inversement. ${\style d'affichage Z_{p}}$${\style d'affichage p,}$${\style d'affichage Z_{p-1}}$${\style d'affichage n=7,}$${\style d'affichage Z_{7}}$${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$${\style d'affichage Z_{6}.}$${\style d'affichage Z_{7}}$${\style d'affichage Z_{6},}$

Le groupe d'automorphisme de est isomorphe à car seul chacun des deux éléments 1 et 5 génère donc en dehors de l'identité, nous ne pouvons que les échanger. ${\style d'affichage Z_{6}}$${\style d'affichage Z_{2},}$${\style d'affichage Z_{6},}$

Le groupe d'automorphismes d' a l'ordre 168, comme on peut le trouver comme suit. Les 7 éléments non identitaires jouent le même rôle, nous pouvons donc choisir celui qui joue le rôle N'importe lequel des 6 autres peut être choisi pour jouer le rôle (0,1,0). Cela détermine ce qui correspond à Pour nous pouvons choisir parmi 4, ce qui détermine le reste. On a donc des automorphismes. Ils correspondent à ceux du

plan de Fano , dont les 7 points correspondent aux 7 éléments non identitaires. Les lignes reliant trois points correspondent à l'opération de groupe : sur une ligne signifie et Voir aussi groupe linéaire général sur corps finis . ${\displaystyle Z_{2}\oplus Z_{2}\oplus \oplus Z_{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus Z_{2}}$${\style d'affichage (1,0,0).}$${\style d'affichage (1,1,0).}$${\style d'affichage (0,0,1)}$${\displaystyle 7\fois 6\fois 4=168}$${\displaystyle a,b,{\text{ et }}c}$${\style d'affichage a+b=c,}$ ${\style d'affichage a+c=b,}$${\style d'affichage b+c=a.}$

Pour les groupes abéliens, tous les automorphismes sauf le trivial sont appelés automorphismes externes .

Les groupes non abéliens ont un groupe d' automorphismes internes non triviaux , et peut-être aussi des automorphismes externes.

Voir également

• Bijection  - Fonction qui est un à un et sur (mathématiques)

Les références

• Herstein, IN, Sujets en algèbre , Wiley; 2 édition (20 juin 1975), ISBN  0-471-01090-1 .