Structure du groupe et axiome du choix - Group structure and the axiom of choice

Ernst Zermelo en 1904 a prouvé le théorème du bien-ordre en utilisant ce qui allait devenir l' axiome du choix .

En mathématiques un groupe est un ensemble avec une opération binaire sur l'ensemble appelé multiplication qui obéit aux axiomes de groupe . L' axiome du choix est un axiome de la théorie des ensembles ZFC qui, sous une forme, déclare que chaque ensemble peut être bien ordonné .

En théorie des ensembles ZF , c'est-à-dire ZFC sans l'axiome de choix, les énoncés suivants sont équivalents:

  • Pour tout ensemble X non vide, il existe une opération binaire telle que ( X , •) est un groupe.
  • L'axiome du choix est vrai.

Une structure de groupe implique l'axiome du choix

Dans cette section, on suppose que chaque ensemble X peut être doté d'une structure de groupe ( X , •) .

Soit X un ensemble. Laissez ℵ ( X ) le nombre Hartogs de X . Ceci est le moins nombre cardinal de sorte qu'il n'y a pas d' injection de ℵ ( X ) en X . Il existe sans l'hypothèse de l'axiome du choix. Supposons ici pour la simplicité technique de la preuve que X n'a pas d' ordinal . Soit • la multiplication dans le groupe ( X ∪ ℵ ( X ), •) .

Pour tout x X il existe un α ∈ ℵ ( X ) tel que x • α ∈ ℵ ( X ) . Supposons que non. Alors il y a un y X tel que y • α ∈ X pour tout α ∈ ℵ ( X ) . Mais selon la théorie élémentaire des groupes , les y • α sont tous différents puisque α s'étend sur ℵ ( X ) ( i ). Ainsi , une telle y donne une injection de ℵ ( X ) dans X . Ceci est impossible puisque ℵ ( X ) est un cardinal tel qu'aucune injection dans X n'existe.

Définissons maintenant une application j de X en ℵ ( X ) × ℵ ( X ) dotée de l'ordre lexicographique en envoyant x X au moindre (α, β) ∈ ℵ ( X ) × ℵ ( X ) tel que x • α = β . Par le raisonnement ci-dessus, la carte j existe et est unique car les moindres éléments des sous-ensembles d'ensembles bien ordonnés sont uniques. Il est, par la théorie élémentaire des groupes, injectif.

Enfin, définissez un ordre de puits sur X par x < y si j ( x ) < j ( y ) . Il s'ensuit que chaque ensemble X peut être bien ordonné et donc que l'axiome de choix est vrai.

Pour que la propriété cruciale exprimée en ( i ) ci-dessus soit vérifiée, et donc toute la preuve, il suffit que X soit un magma annulatif , par exemple un quasigroupe . La propriété d'annulation est suffisante pour garantir que les y • α sont tous différents.

L'axiome du choix implique une structure de groupe

Tout ensemble fini non vide a une structure de groupe en tant que groupe cyclique généré par n'importe quel élément. Sous l'hypothèse de l'axiome de choix, tout ensemble infini X est équipotent d'un nombre cardinal unique | X | ce qui équivaut à un aleph . En utilisant l'axiome de choix, on peut montrer que pour toute famille S d'ensembles | S | ≤ | S | × sup {| s | : s S } ( A ). De plus, par le théorème de Tarski sur le choix , autre équivalent de l'axiome du choix, | X | n = | X | pour tout n fini ( B ).

Laissez - X un ensemble infini et laisser F désignent l'ensemble des sous - ensembles finis de X . Il y a une multiplication naturelle sur F . Pour f , g F , soit f g = f Δ g , où Δ désigne la différence symétrique . Cela transforme ( F , •) en un groupe avec l'ensemble vide, Ø , étant l'identité et chaque élément étant son propre inverse; f Δ f = Ø . La propriété associative , c'est-à-dire ( f Δ g ) Δ h = f Δ ( g Δ h ) est vérifiée en utilisant les propriétés de base de l'union et de la différence d'ensemble . Ainsi F est un groupe de multiplication Δ .

Tout ensemble qui peut être mis en bijection avec un groupe devient un groupe via la bijection. On montrera que | X | = | F | , et donc une correspondance biunivoque entre X et le groupe ( F , •) existe. Pour n = 0,1,2, ... , soit F n le sous-ensemble de F constitué de tous les sous-ensembles de cardinalité exactement n . Alors F est l' union disjointe des F n . Le nombre de sous-ensembles de X de cardinalité n est au plus | X | n parce que chaque sous - ensemble de n éléments est un élément du n -fois produit cartésien X n de X . Alors | F n | ≤ | X | n = | X | pour tout n ( C ) par ( B ).

En rassemblant ces résultats, on voit que | F | = | n ∈ ω F n | ≤ ℵ 0 · | X | = | X | par ( A ) et ( C ). Aussi, | F | ≥ | X | , puisque F contient tous les singletons. Ainsi, | X | ≤ | F | et | F | ≤ | X | , donc, par le théorème de Schröder – Bernstein , | F | = | X | . Ce moyen précisément qu'il existe une bijection j entre X et F . Enfin, pour x , y X définissent x y = j −1 ( j ( x ) Δ j ( y )) . Cela transforme ( X , •) en groupe. Par conséquent, chaque ensemble admet une structure de groupe.

Un ensemble ZF sans structure de groupe

Il existe des modèles de ZF dans lesquels l'axiome du choix échoue. Dans un tel modèle, il y a des ensembles qui ne peuvent pas être bien ordonnés (appelez ces ensembles «non ordonnables»). Soit X un tel ensemble. Considérons maintenant l'ensemble Y = X ∪ ℵ ( X ) . Si Y devait avoir une structure de groupe, alors, par la construction dans la première section, X peut être bien ordonné. Cette contradiction montre qu'il n'y a pas de structure de groupe sur l'ensemble Y .

Si un ensemble est tel qu'il ne peut pas être doté d'une structure de groupe, alors il est nécessairement non ordonnable. Sinon, la construction de la deuxième section produit une structure de groupe. Cependant, ces propriétés ne sont pas équivalentes. À savoir, il est possible que des ensembles qui ne peuvent pas être bien ordonnés aient une structure de groupe.

Par exemple, si est un ensemble, alors a une structure de groupe, avec une différence symétrique comme opération de groupe. Bien sûr, si elle ne peut pas être bien ordonnée, alors ni l'un ni l'autre ne le peuvent . Un exemple intéressant d'ensembles qui ne peuvent pas porter une structure de groupe provient d'ensembles avec les deux propriétés suivantes:

  1. est un ensemble infini de Dedekind-fini . En d'autres termes, n'a pas de sous-ensemble infini dénombrable.
  2. Si est partitionné en ensembles finis, alors tous, sauf un nombre fini, sont des singletons.

Pour voir que la combinaison de ces deux ne peut pas admettre une structure de groupe, notez que, étant donné que toute permutation d'un tel ensemble ne doit avoir que des orbites finies, et presque toutes sont nécessairement des singletons, ce qui implique que la plupart des éléments ne sont pas déplacés par la permutation. Considérons maintenant les permutations données par , pour lesquelles n'est pas l'élément neutre, il y en a une infinité telles que , donc au moins l'une d'elles n'est pas non plus l'élément neutre. Multiplier par donne c'est en fait l'élément identitaire qui est une contradiction.

L'existence d'un tel ensemble est cohérente, par exemple donnée dans le premier modèle de Cohen. Étonnamment, cependant, être un ensemble infini de Dedekind-fini n'est pas suffisant pour exclure une structure de groupe, car il est cohérent qu'il existe des ensembles infinis de Dedekind-finis avec des ensembles de puissance finis de Dedekind.

Remarques

Les références