Théorème d'intégration de Hahn - Hahn embedding theorem

En mathématiques - en particulier dans le domaine de l'algèbre abstraite traitant des structures ordonnées sur des groupes abéliens - le théorème d'inclusion de Hahn donne une description simple de tous les groupes abéliens ordonnés linéairement . Il porte le nom de Hans Hahn .

Aperçu

Le théorème stipule que tout groupe abélien G d' ordre linéaire peut être incorporé comme un sous-groupe ordonné du groupe additif ℝ Ω doté d'un ordre lexicographique , où ℝ est le groupe additif de nombres réels (avec son ordre standard), Ω est l'ensemble des Classes d'équivalence archimédiennes de G , et ℝ Ω est l'ensemble de toutes les fonctions de Ω à ℝ qui s'évanouissent en dehors d'un ensemble bien ordonné.

Soit 0 l'élément désignent l' identité de G . Pour tout élément non nul g de G , exactement l'un des éléments g ou - g est supérieur à 0; désignons cet élément par | g |. Deux éléments non nuls g et h de G sont équivalents d'Archimède s'il existe des entiers naturels N et M tels que N | g | > | h | et M | h | > | g |. Intuitivement, cela signifie que ni g ni h ne sont "infinitésimaux" par rapport à l'autre. Le groupe G est Archimédien si tous les éléments différents de zéro sont équivalents à l'Archimède. Dans ce cas, Ω est un singleton, donc ℝ Ω est juste le groupe de nombres réels. Ensuite, le théorème d'incorporation de Hahn se réduit au théorème de Hölder (qui déclare qu'un groupe abélien ordonné linéairement est archimédien si et seulement si c'est un sous-groupe du groupe additif ordonné des nombres réels).

Gravett (1956) donne un énoncé clair et une preuve du théorème. Les articles de Clifford (1954) et Hausner & Wendel (1952) fournissent ensemble une autre preuve. Voir également Fuchs & Salce (2001 , p. 62).

Voir également

Références