Hamiltonien (mécanique quantique) - Hamiltonian (quantum mechanics)

En mécanique quantique , l' hamiltonien d'un système est un opérateur correspondant à l'énergie totale de ce système, incluant à la fois l'énergie cinétique et l'énergie potentielle . Son spectre , le spectre d'énergie du système ou son ensemble de valeurs propres d'énergie , est l'ensemble des résultats possibles pouvant être obtenus à partir d'une mesure de l'énergie totale du système. En raison de sa relation étroite avec le spectre d'énergie et l' évolution temporelle d'un système, il est d'une importance fondamentale dans la plupart des formulations de la théorie quantique .

L'hamiltonien porte le nom de William Rowan Hamilton , qui a développé une reformulation révolutionnaire de la mécanique newtonienne , connue sous le nom de mécanique hamiltonienne , qui était historiquement importante pour le développement de la physique quantique. Semblable à la notation vectorielle , il est généralement noté , où le chapeau indique qu'il s'agit d'un opérateur. Il peut également être écrit comme ou . ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\style d'affichage H}$${\displaystyle {\check {H}}}$

introduction

L'hamiltonien d'un système est la somme des énergies cinétiques de toutes les particules, plus l'énergie potentielle des particules associées au système. L'hamiltonien prend différentes formes et peut être simplifié dans certains cas en prenant en compte les caractéristiques concrètes du système analysé, telles qu'une ou plusieurs particules dans le système, l'interaction entre les particules, le type d'énergie potentielle, le potentiel variant dans le temps ou indépendant du temps. une.

Hamiltonien de Schrödinger

Une particule

Par analogie avec la mécanique classique , l' hamiltonien est communément exprimé comme la somme des opérateurs correspondant aux énergies cinétique et potentielle d' un système sous la forme

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$

où

${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$

est l' opérateur énergétique potentiel et

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p }}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$

est l' opérateur d' énergie cinétique dans lequel est la masse de la particule, le point désigne le produit scalaire de vecteurs, et ${\style d'affichage m}$

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$

est l' opérateur de quantité de mouvement où a est l' opérateur del . Le produit scalaire d' avec lui-même est le Laplacien . En trois dimensions en coordonnées cartésiennes, l'opérateur de Laplace est ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y }^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$

Bien que ce ne soit pas la définition technique de l' hamiltonien en mécanique classique , c'est la forme qu'il prend le plus couramment. La combinaison de ces résultats donne la forme familière utilisée dans l' équation de Schrödinger :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat { p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{ 2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$

ce qui permet d'appliquer l'hamiltonien aux systèmes décrits par une fonction d'onde . C'est l'approche couramment adoptée dans les traitements d'introduction à la mécanique quantique, en utilisant le formalisme de la mécanique ondulatoire de Schrödinger. ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

On peut également faire des substitutions à certaines variables pour s'adapter à des cas spécifiques, tels que certains impliquant des champs électromagnétiques.

De nombreuses particules

Le formalisme peut être étendu aux particules : ${\style d'affichage N}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$

où

${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$

est la fonction d'énergie potentielle, maintenant fonction de la configuration spatiale du système et du temps (un ensemble particulier de positions spatiales à un instant donné définit une configuration) et

${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}}=-{ \frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}$

est l'opérateur d'énergie cinétique de la particule , est le gradient de la particule et est le laplacien de la particule n : ${\style d'affichage n}$${\displaystyle \nabla _{n}}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$

${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}} {\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$

La combinaison de ces résultats donne l'hamiltonien de Schrödinger pour le cas -particule : ${\style d'affichage N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\ \[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n} }{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt ]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n} ^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$

Cependant, des complications peuvent survenir dans le problème à plusieurs corps . Puisque l'énergie potentielle dépend de la disposition spatiale des particules, l'énergie cinétique dépendra également de la configuration spatiale pour conserver l'énergie. Le mouvement dû à n'importe quelle particule variera en raison du mouvement de toutes les autres particules du système. Pour cette raison, des termes croisés pour l'énergie cinétique peuvent apparaître dans l'hamiltonien ; un mélange des gradients pour deux particules :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$

où désigne la masse de la collection de particules résultant de cette énergie cinétique supplémentaire. Les termes de cette forme sont connus sous le nom de termes de polarisation de masse et apparaissent dans l'hamiltonien de nombreux atomes d'électrons (voir ci-dessous). ${\style d'affichage M}$

Pour les particules en interaction, c'est-à-dire les particules qui interagissent entre elles et constituent une situation à plusieurs corps, la fonction d'énergie potentielle n'est pas simplement une somme des potentiels séparés (et certainement pas un produit, car cela est dimensionnellement incorrect). La fonction d'énergie potentielle ne peut s'écrire que comme ci-dessus : une fonction de toutes les positions spatiales de chaque particule. ${\style d'affichage N}$${\style d'affichage V}$

Pour les particules sans interaction, c'est-à-dire les particules qui n'interagissent pas entre elles et se déplacent indépendamment, le potentiel du système est la somme de l'énergie potentielle séparée pour chaque particule, c'est-à-dire

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\ mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$

La forme générale de l'hamiltonien dans ce cas est :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac { 1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1 }^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt] &=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$

où la somme est prise sur toutes les particules et leurs potentiels correspondants ; le résultat est que l'hamiltonien du système est la somme des hamiltoniens séparés pour chaque particule. Il s'agit d'une situation idéalisée : en pratique, les particules sont presque toujours influencées par un certain potentiel et il existe des interactions à plusieurs corps. Un exemple illustratif d'interaction à deux corps où cette forme ne s'appliquerait pas concerne les potentiels électrostatiques dus à des particules chargées, car elles interagissent les unes avec les autres par interaction de Coulomb (force électrostatique), comme indiqué ci-dessous.

équation de Schrödinger

L'hamiltonien génère l'évolution temporelle des états quantiques. Si est l'état du système à l'instant , alors ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$${\style d'affichage t}$

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Cette équation est l' équation de Schrödinger . Elle prend la même forme que l' équation de Hamilton-Jacobi , dont l'une des raisons est également appelée hamiltonien. Étant donné l'état à un instant initial ( ), nous pouvons le résoudre pour obtenir l'état à tout instant ultérieur. En particulier, si est indépendant du temps, alors ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage t=0}$${\style d'affichage H}$

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

L' opérateur exponentiel du côté droit de l'équation de Schrödinger est généralement défini par la série de puissances correspondante dans . On peut remarquer que prendre des polynômes ou des séries entières d'opérateurs illimités qui ne sont pas définis partout peut ne pas avoir de sens mathématique. Rigoureusement, pour prendre des fonctions d'opérateurs non bornés, un calcul fonctionnel est nécessaire. Dans le cas de la fonction exponentielle, le continu , ou simplement le calcul fonctionnel holomorphe suffit. Notons encore, cependant, que pour les calculs courants, la formulation des physiciens est tout à fait suffisante. ${\style d'affichage H}$

Par la propriété *- d' homomorphisme de la fonctionnelle, l'opérateur

${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

est un opérateur unitaire . C'est l' opérateur d' évolution temporelle , ou propagateur , d'un système quantique fermé. Si l'hamiltonien est indépendant du temps, former un groupe unitaire à un paramètre (plus qu'un semi - groupe ); d'où le principe physique de l'équilibre détaillé . ${\style d'affichage \{U(t)\}}$

Formalisme de Dirac

Cependant, dans le formalisme plus général de Dirac , l'hamiltonien est typiquement implémenté comme un opérateur sur un espace de Hilbert de la manière suivante :

Les cercles propres ( vecteurs propres ) de , notés , fournissent une base orthonormée pour l'espace de Hilbert. Le spectre des niveaux d'énergie autorisés du système est donné par l'ensemble des valeurs propres, noté , résolvant l'équation : ${\style d'affichage H}$${\displaystyle \left|a\right\rangle }$${\style d'affichage \{E_{a}\}}$

${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$

Puisqu'il s'agit d'un opérateur hermitien , l'énergie est toujours un nombre réel . ${\style d'affichage H}$

D'un point de vue mathématiquement rigoureux, il faut faire attention aux hypothèses ci-dessus. Les opérateurs sur les espaces de Hilbert de dimension infinie n'ont pas besoin d'avoir de valeurs propres (l'ensemble des valeurs propres ne coïncide pas nécessairement avec le spectre d'un opérateur ). Cependant, tous les calculs de mécanique quantique de routine peuvent être effectués en utilisant la formulation physique.

Expressions pour l'hamiltonien

Voici des expressions pour l'hamiltonien dans un certain nombre de situations. Les manières typiques de classer les expressions sont le nombre de particules, le nombre de dimensions et la nature de la fonction d'énergie potentielle, principalement en fonction de l'espace et du temps. Les masses sont désignées par , et les charges par . ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage q}$

Formes générales pour une particule

Particule libre

La particule n'est liée par aucune énergie potentielle, donc le potentiel est nul et cet hamiltonien est le plus simple. Pour une dimension :

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$

et en dimensions supérieures :

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$

Puits à potentiel constant

Pour une particule dans une région de potentiel constant (aucune dépendance à l'espace ou au temps), en une dimension, l'hamiltonien est : ${\style d'affichage V=V_{0}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_ {0}}$

en trois dimensions

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$

Ceci s'applique au problème élémentaire de la « particule dans une boîte » et aux potentiels de pas .

Oscillateur harmonique simple

Pour un oscillateur harmonique simple à une dimension, le potentiel varie avec la position (mais pas le temps), selon :

${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$

où la fréquence angulaire , la constante de ressort effective et la masse de l'oscillateur satisfont : ${\displaystyle \omega }$ ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage m}$

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$

donc l'hamiltonien est :

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{ \frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$

Pour trois dimensions, cela devient

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}} r^{2}}$

où le vecteur de position tridimensionnel utilisant des coordonnées cartésiennes est ( , , ), sa magnitude est ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage z}$

${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2 }}$

L'écriture complète de l'hamiltonien montre qu'il s'agit simplement de la somme des hamiltoniens unidimensionnels dans chaque direction :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\ partiel x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2} }}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[6pt]&=\left (-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2} }{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{ \frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned} }}$

Rotor rigide

Pour un rotor rigide , c'est-à-dire un système de particules qui peuvent tourner librement autour de n'importe quel axe, non lié à aucun potentiel (comme des molécules libres avec des degrés de liberté vibrationnels négligeables , par exemple en raison de liaisons chimiques doubles ou triples ), l'hamiltonien est :

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac { \hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\ chapeau {J}}_{z}^{2}}$

où , , et sont les composants de moment d'inertie (techniquement les éléments diagonaux du tenseur de moment d'inertie ), et , et sont les opérateurs de moment angulaire total (composants), autour des axes , , et respectivement. ${\style d'affichage I_{xx}}$${\displaystyle I_{yy}}$${\displaystyle I_{zz}}$${\displaystyle {\hat {J}}_{x}\,\!}$${\displaystyle {\hat {J}}_{y}\,\!}$${\displaystyle {\hat {J}}_{z}\,\!}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage z}$

Potentiel électrostatique ou coulomb

L' énergie potentielle de Coulomb pour deux charges ponctuelles et (c'est-à-dire celles qui n'ont pas d'étendue spatiale indépendamment), en trois dimensions, est (en unités SI - plutôt qu'en unités gaussiennes fréquemment utilisées en électromagnétisme ): ${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$

${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$

Cependant, il ne s'agit que du potentiel d'une charge ponctuelle due à une autre. S'il y a beaucoup de particules chargées, chaque charge a une énergie potentielle due à toutes les autres charges ponctuelles (sauf elle-même). Pour les charges, l'énergie potentielle de charge due à toutes les autres charges est (voir aussi Énergie potentielle électrostatique stockée dans une configuration de charges ponctuelles discrètes ): ${\style d'affichage N}$${\displaystyle q_{j}}$

${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1 }{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf { r} _{j}|}}}$

où est le potentiel de charge électrostatique à . Le potentiel total du système est alors la somme sur : ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$${\displaystyle q_{j}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\style d'affichage j}$

${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{ i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$

donc l'hamiltonien est :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac { 1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N} \sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&= \sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1 }{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf { r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$

Dipôle électrique dans un champ électrique

Pour un moment dipolaire électrique constituant des charges de grandeur , dans un champ électrostatique uniforme (indépendant du temps) , positionné à un endroit, le potentiel est : ${\displaystyle \mathbf {d} }$${\style d'affichage q}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$

le moment dipolaire lui-même est l'opérateur

${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$

Puisque la particule est stationnaire, il n'y a pas d'énergie cinétique de translation du dipôle, donc l'hamiltonien du dipôle est juste l'énergie potentielle :

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$

Dipôle magnétique dans un champ magnétique

Pour un moment dipolaire magnétique dans un champ magnétostatique uniforme (indépendant du temps) , positionné à un endroit, le potentiel est : ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$

Puisque la particule est stationnaire, il n'y a pas d'énergie cinétique de translation du dipôle, donc l'hamiltonien du dipôle est juste l'énergie potentielle :

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$

Pour une particule de spin-½ , le moment magnétique de spin correspondant est :

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$

où est le rapport gyromagnétique de spin (alias " facteur g de spin "), est la charge électronique, est le vecteur de l' opérateur de spin , dont les composants sont les matrices de Pauli , d'où ${\displaystyle g_{s}}$${\style d'affichage e}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$

Particule chargée dans un champ électromagnétique

Pour une particule avec une masse et une charge dans un champ électromagnétique, décrite par le potentiel scalaire et le potentiel vecteur , il y a deux parties à l'hamiltonien à remplacer. L'opérateur impulsion canonique , qui inclut une contribution du champ et remplit la relation de commutation canonique , doit être quantifié ; ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage q}$ ${\style d'affichage \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} =\mathbf {\hat {P}} +q\mathbf {A} }$,

où est l' opérateur moment cinétique . La prescription de quantification indique ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} =-i\hbar \nabla }$,

donc l'opérateur d'énergie cinétique correspondant est

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {P}} \cdot \mathbf {\hat {P}} }{2m}}={\frac {1}{2m} }\left(\mathbf {\hat {\Pi }} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$

et l'énergie potentielle, qui est due au champ, est donnée par ${\style d'affichage \phi }$

${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi }$.

L'intégration de tout cela dans l'hamiltonien donne

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi }$.

Lois propres de dégénérescence, de symétrie et de conservation de l'énergie

Dans de nombreux systèmes, deux ou plusieurs états propres d'énergie ont la même énergie. Un exemple simple de ceci est une particule libre, dont les états propres d'énergie ont des fonctions d'onde qui propagent des ondes planes. L'énergie de chacune de ces ondes planes est inversement proportionnelle au carré de sa longueur d'onde . Une onde se propageant dans la direction est un état différent d'une onde se propageant dans la direction, mais si elles ont la même longueur d'onde, alors leurs énergies seront les mêmes. Lorsque cela se produit, les états sont dits dégénérés . ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$

Il s'avère que la dégénérescence se produit chaque fois qu'un opérateur unitaire non trivial commute avec l'hamiltonien. Pour voir cela, supposons qu'il s'agisse d'un eigenket d'énergie. Alors est une énergie propre avec la même valeur propre, puisque ${\style d'affichage U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$${\displaystyle U|a\rangle }$

${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$

Puisque n'est pas trivial, au moins une paire de et doit représenter des états distincts. Par conséquent, a au moins une paire d'énergies propres dégénérées. Dans le cas de la particule libre, l'opérateur unitaire qui produit la symétrie est l' opérateur de rotation , qui fait tourner les fonctions d'onde d'un certain angle tout en préservant leur forme. ${\style d'affichage U}$${\displaystyle |a\rangle }$${\displaystyle U|a\rangle }$${\style d'affichage H}$

L'existence d'un opérateur de symétrie implique l'existence d'une observable conservée . Soit le générateur hermitien de : ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage U}$

${\displaystyle U=Ii\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})\,}$

Il est simple de montrer que si commute avec , alors il en va de même : ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage G}$

${\style d'affichage [H,G]=0\,}$

Par conséquent,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$

Pour obtenir ce résultat, nous avons utilisé l'équation de Schrödinger, ainsi que son dual ,

${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {\partial \over \partial t}\langle \psi (t)|.}$

Ainsi, la valeur attendue de l'observable est conservée pour tout état du système. Dans le cas de la particule libre, la quantité conservée est le moment cinétique . ${\style d'affichage G}$

Les équations de Hamilton

Hamilton équations de » classiques dans la mécanique hamiltonien ont une analogie directe avec la mécanique quantique. Supposons que nous ayons un ensemble d'états de base , qui ne doivent pas nécessairement être des états propres de l'énergie. Pour simplifier, nous supposons qu'ils sont discrets, et qu'ils sont orthonormés, c'est-à-dire, ${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$

${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$

Notez que ces états de base sont supposés indépendants du temps. Nous supposerons que l'hamiltonien est également indépendant du temps.

L'état instantané du système à l'instant , , peut être développé en fonction de ces états de base : ${\style d'affichage t}$${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$

où

${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$

Les coefficients sont des variables complexes . On peut les traiter comme des coordonnées qui spécifient l'état du système, comme les coordonnées de position et de quantité de mouvement qui spécifient un système classique. Comme les coordonnées classiques, elles ne sont généralement pas constantes dans le temps, et leur dépendance temporelle donne lieu à la dépendance temporelle du système dans son ensemble. ${\style d'affichage a_{n}(t)}$

La valeur attendue de l'hamiltonien de cet état, qui est aussi l'énergie moyenne, est

${\displaystyle \langle H(t)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn '}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$

où la dernière étape a été obtenue en développant en termes d'états de base. ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

Chacun correspond en fait à deux degrés de liberté indépendants, puisque la variable a une partie réelle et une partie imaginaire. Nous effectuons maintenant l'astuce suivante : au lieu d'utiliser les parties réelle et imaginaire comme variables indépendantes, nous utilisons et son conjugué complexe . Avec ce choix de variables indépendantes, on peut calculer la dérivée partielle${\style d'affichage a_{n}(t)}$${\style d'affichage a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$

En appliquant l' équation de Schrödinger et en utilisant l'orthonormalité des états de base, cela se réduit encore à

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t} }}$

De même, on peut montrer que

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}} }$

Si nous définissons les variables de "moment conjugué" par ${\style d'affichage \pi _{n}}$

${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$

alors les équations ci-dessus deviennent

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$

qui est précisément la forme des équations d'Hamilton, avec les s comme coordonnées généralisées, les s comme impulsions conjuguées, et prenant la place de l'hamiltonien classique. ${\style d'affichage a_{n}}$${\style d'affichage \pi _{n}}$${\displaystyle \langle H\rangle }$

Voir également

Les références