Paradoxe de Hausdorff - Hausdorff paradox

Le paradoxe de Hausdorff est un paradoxe en mathématiques nommé d'après Felix Hausdorff . Il implique la sphère (une sphère à 2 dimensions ). Il déclare que si un certain sous- ensemble dénombrable est supprimé , le reste peut être divisé en trois sous - ensembles disjoints et tels que et sont tous congruents . Il suit en particulier que sur il n'y a pas mesure additif finiment défini sur tous les sous - ensembles tels que la mesure des ensembles congruents est égal (parce que cela impliquerait que la mesure de est en même temps , et de la mesure non nulle de toute la sphère ).

Le paradoxe a été publié dans Mathematische Annalen en 1914 et aussi dans le livre de Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre , la même année. La preuve du paradoxe Banach-Tarski, bien plus célèbre, utilise les idées de Hausdorff. La preuve de ce paradoxe repose sur l' axiome du choix .

Ce paradoxe montre qu'il n'y a pas de mesure finement additive sur une sphère définie sur tous les sous-ensembles qui soit égale sur des pièces congruentes. (Hausdorff a d'abord montré dans le même article le résultat plus facile qu'il n'y a pas de mesure additive dénombrable définie sur tous les sous-ensembles.) La structure du groupe de rotations sur la sphère joue ici un rôle crucial - l'énoncé n'est pas vrai sur le plan ou le ligne. En fait, comme l'a montré plus tard Banach , il est possible de définir une "aire" pour tous les sous-ensembles bornés dans le plan euclidien (ainsi que la "longueur" sur la droite réelle) de telle manière que les ensembles congruents auront égal " surface". (Cette mesure de Banach , cependant, n'est que finement additive, donc ce n'est pas une mesure au sens plein, mais elle est égale à la mesure de Lebesgue sur les ensembles pour lesquels cette dernière existe.) Cela implique que si deux sous-ensembles ouverts du plan (ou la ligne réelle) sont équi-décomposables alors ils ont une surface égale.

Voir également

Les références

  1. ^ Stefan Banach , "Sur le problème de la mesure" , Fundamenta Mathematicae 4: pp. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectives congruentes" , Théorème 16, Fundamenta Mathematicae 6: pp. 244-277, 1924.

Lectures complémentaires

  • Hausdorff, Félix (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen" . Mathematische Annalen . 75 : 428–434. doi : 10.1007 / bf01563735 . (Article original; en allemand)
  • Hausdorff, Félix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (en allemand).