Polynômes de l'Hermite - Hermite polynomials

En mathématiques , les polynômes d'Hermite sont une suite polynomiale orthogonale classique .

Les polynômes apparaissent dans :

Les polynômes d'Hermite ont été définis par Pierre-Simon Laplace en 1810, bien que sous une forme à peine reconnaissable, et étudiés en détail par Pafnuty Chebyshev en 1859. Le travail de Chebyshev a été négligé, et ils ont été nommés plus tard d'après Charles Hermite , qui a écrit sur les polynômes en 1864, les décrivant comme nouvelles. Ils n'étaient donc pas nouveaux, bien qu'Hermite ait été le premier à définir les polynômes multidimensionnels dans ses publications ultérieures de 1865.

Définition

Comme les autres polynômes orthogonaux classiques , les polynômes d'Hermite peuvent être définis à partir de plusieurs points de départ différents. Notant d'emblée qu'il existe deux normalisations différentes d'usage courant, une méthode pratique est la suivante :

  • Les « polynômes d'Hermite probabilistes » sont donnés par
  • tandis que les "polynômes de l'Hermite du physicien" sont donnés par

Ces équations ont la forme d'une formule de Rodrigues et peuvent également être écrites comme,

Les deux définitions ne sont pas exactement identiques ; chacun est une remise à l'échelle de l'autre :

Ce sont des séquences polynomiales d'Hermite de différentes variances ; voir le matériel sur les écarts ci-dessous.

La notation He et H est celle utilisée dans les références standard. Les polynômes He n sont parfois notés H n , surtout en théorie des probabilités, car

est la fonction de densité de probabilité pour la distribution normale avec une valeur attendue 0 et un écart type 1.

Les six premiers polynômes d'Hermite probabilistes He n ( x )
  • Les onze premiers polynômes d'Hermite probabilistes sont :
Les six premiers polynômes d'Hermite (du physicien) H n ( x )
  • Les onze premiers polynômes d'Hermite du physicien sont :

Propriétés

Le polynôme d'Hermite d'ordre n est un polynôme de degré n . La version du probabiliste He n a un coefficient dominant 1, tandis que la version du physicien H n a un coefficient dominant 2 n .

Orthogonalité

H n ( x ) et il n ( x ) sont n polynômes ème degré pour n = 0, 1, 2, 3, ... . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à la fonction de poids ( mesure )

ou

c'est-à-dire que nous avons

Par ailleurs,

ou

où est le delta de Kronecker .

Les polynômes probabilistes sont donc orthogonaux par rapport à la fonction de densité de probabilité normale standard.

Intégralité

Les polynômes d'Hermite (probabiliste ou physicien) forment une base orthogonale de l' espace de Hilbert des fonctions satisfaisant

dans laquelle le produit scalaire est donné par l'intégrale

incluant la fonction de poids gaussienne w ( x ) définie dans la section précédente

Une base orthogonale de L 2 ( R , w ( x ) dx ) est un complet système orthogonal . Pour un système orthogonal, l' intégralité est équivalent au fait que la fonction 0 est la seule fonction fL 2 ( R , w ( x ) dx ) orthogonale à toutes les fonctions du système.

Puisque l' étendue linéaire des polynômes d'Hermite est l'espace de tous les polynômes, il faut montrer (dans le cas du physicien) que si f satisfait

pour tout n 0 , alors f = 0 .

Une façon possible de le faire est d'apprécier que l' ensemble de la fonction

disparaît à l'identique. Le fait alors que F ( it ) = 0 pour tout réel t signifie que la transformée de Fourier de f ( x ) e x 2 est 0, donc f est 0 presque partout. Des variantes de la preuve d'exhaustivité ci-dessus s'appliquent à d'autres poids avec décroissance exponentielle.

Dans le cas Hermite, il est également possible de prouver une identité explicite qui implique la complétude (voir la section sur la relation de complétude ci-dessous).

Une formulation équivalente du fait que les polynômes d'Hermite sont une base orthogonale pour L 2 ( R , w ( x ) dx ) consiste à introduire des fonctions d' Hermite (voir ci-dessous), et à dire que les fonctions d'Hermite sont une base orthonormée pour L 2 ( R ) .

L'équation différentielle d'Hermite

Les polynômes d'Hermite du probabiliste sont des solutions de l' équation différentielle

λ est une constante. Imposer la condition aux limites que u doit être polynomiale bornée à l' infini, l'équation a des solutions seulement si λ est un nombre entier non négatif, et la solution est uniquement donnée par où représente une constante.

Réécrire l'équation différentielle comme un problème aux valeurs propres

les polynômes d'Hermite peuvent être compris comme des fonctions propres de l'opérateur différentiel . Ce problème aux valeurs propres est appelé l' équation d'Hermite , bien que le terme soit également utilisé pour l'équation étroitement liée

dont la solution est donnée uniquement en termes de polynômes d'Hermite du physicien sous la forme , où désigne une constante, après avoir imposé la condition aux limites selon laquelle u doit être polynomialement borné à l'infini.

Les solutions générales des équations différentielles du second ordre ci-dessus sont en fait des combinaisons linéaires à la fois de polynômes d'Hermite et de fonctions hypergéométriques confluentes du premier type. Par exemple, pour l'équation d'Hermite du physicien

la solution générale prend la forme

où et sont des constantes, sont des polynômes d'Hermite du physicien (du premier type) et sont des fonctions d'Hermite du physicien (du second type). Ces dernières fonctions sont représentées de manière compacte comme où sont les fonctions hypergéométriques confluentes du premier type . Les polynômes d'Hermite conventionnels peuvent également être exprimés en termes de fonctions hypergéométriques confluentes, voir ci-dessous.

Avec des conditions aux limites plus générales , les polynômes d'Hermite peuvent être généralisés pour obtenir des fonctions analytiques plus générales pour les valeurs complexes λ . Une formule explicite des polynômes d'Hermite en termes d' intégrales de contour ( Courant & Hilbert 1989 ) est également possible.

Relation réccurente

La séquence des polynômes d'Hermite probabilistes satisfait également la relation de récurrence

Les coefficients individuels sont liés par la formule de récursivité suivante :

et un 0,0 = 1 , un 1,0 = 0 , un 1,1 = 1 .

Pour les polynômes du physicien, en supposant

on a

Les coefficients individuels sont liés par la formule de récursivité suivante :

et un 0,0 = 1 , un 1,0 = 0 , un 1,1 = 2 .

Les polynômes d'Hermite constituent une suite d'Appell , c'est-à-dire qu'ils sont une suite polynomiale satisfaisant l'identité

De manière équivalente, par l' expansion de Taylor ,

Ces identités ombrales sont évidentes et incluses dans la représentation de l'opérateur différentiel détaillée ci-dessous,

En conséquence, pour les dérivées m ièmes, les relations suivantes sont vraies :

Il s'ensuit que les polynômes d'Hermite satisfont également la relation de récurrence

Ces dernières relations, ainsi que les polynômes initiaux H 0 ( x ) et H 1 ( x ) , peuvent être utilisées en pratique pour calculer rapidement les polynômes.

Les inégalités de Turán sont

De plus, le théorème de multiplication suivant est vérifié :

Expression explicite

Les polynômes d'Hermite du physicien peuvent s'écrire explicitement sous la forme

Ces deux équations peuvent être combinées en une seule en utilisant la fonction floor :

Les polynômes de Hermite probabilistes Il ont des formules similaires, qui peuvent être obtenus à partir de ceux - ci en remplaçant la puissance de 2 x avec la puissance correspondante de 2 x et en multipliant la somme entière de 2 - m/2:

Expression explicite inverse

L'inverse des expressions explicites ci-dessus, c'est-à-dire celles des monômes en termes de polynômes d'Hermite probabilistes He sont

Les expressions correspondantes pour les polynômes d'Hermite du physicien H suivent directement en mettant correctement cela à l'échelle :

Fonction génératrice

Les polynômes d'Hermite sont donnés par la fonction génératrice exponentielle

Cette égalité est valable pour toutes les valeurs complexes de x et t , et peut être obtenue en écrivant le développement de Taylor en x de la fonction entière ze z 2 (dans le cas du physicien). On peut également dériver la fonction génératrice (du physicien) en utilisant la formule intégrale de Cauchy pour écrire les polynômes d'Hermite sous la forme

En utilisant ceci dans la somme

on peut évaluer l'intégrale restante en utilisant le calcul des résidus et arriver à la fonction génératrice désirée.

Valeurs attendues

Si X est une variable aléatoire avec une distribution normale avec un écart type 1 et valeur attendue μ , puis

Les moments de la normale standard (avec la valeur attendue zéro) peuvent être lus directement à partir de la relation pour les indices pairs :

(2 n − 1) !! est la factorielle double . Notez que l'expression ci-dessus est un cas particulier de la représentation des polynômes d'Hermite du probabiliste sous forme de moments :

Expansion asymptotique

Asymptotiquement, comme n → ∞ , le développement

qui est vrai. Pour certains cas concernant une plage d'évaluation plus large, il est nécessaire d'inclure un facteur de changement d'amplitude :

qui, en utilisant l'approximation de Stirling , peut être encore simplifié, à la limite, à

Cette expansion est nécessaire pour résoudre la fonction d' onde d'un oscillateur harmonique quantique de telle sorte qu'elle soit en accord avec l'approximation classique dans la limite du principe de correspondance .

Une meilleure approximation, qui tient compte de la variation de fréquence, est donnée par

Une approximation plus fine, qui prend en compte l'espacement inégal des zéros près des bords, utilise la substitution

avec laquelle on a l'approximation uniforme

Des approximations similaires sont valables pour les régions monotones et de transition. Plus précisément, si

alors

tandis que pour

avec t complexe et borné, l'approximation est

Ai est la fonction d'Airy du premier type.

Valeurs spéciales

Les polynômes d'Hermite du physicien évalués à zéro argument H n (0) sont appelés nombres d'Hermite .

qui satisfont la relation de récursivité H n (0) = −2( n − 1) H n − 2 (0) .

En termes de polynômes probabilistes, cela se traduit par

Relations avec les autres fonctions

Polynômes de Laguerre

Les polynômes d'Hermite peuvent être exprimés comme un cas particulier des polynômes de Laguerre :

Relation avec les fonctions hypergéométriques confluentes

Les polynômes d'Hermite du physicien peuvent être exprimés comme un cas particulier des fonctions des cylindres paraboliques :

dans le demi-plan droit , où U ( a , b , z ) est la fonction hypergéométrique confluente de Tricomi . De la même manière,

1 F 1 ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer .

Représentation de l'opérateur différentiel

Les polynômes d'Hermite du probabiliste satisfont à l'identité

D représente la différenciation par rapport à x , et l' exponentielle est interprétée en l'étendant comme une série entière . Il n'y a pas de questions délicates de convergence de cette série lorsqu'elle opère sur des polynômes, puisque tous les termes sauf un nombre fini disparaissent.

Étant donné que les coefficients des séries de puissance de l'exponentielle sont bien connus et que les dérivées d'ordre supérieur du monôme x n peuvent être écrites explicitement, cette représentation d'opérateur différentiel donne lieu à une formule concrète pour les coefficients de H n qui peuvent être utilisés pour calculer rapidement ces polynômes.

Puisque l'expression formelle de la transformée de Weierstrass W est e D 2 , nous voyons que la transformée de Weierstrass de ( 2 ) n He n (X/2) est x n . Essentiellement, la transformée de Weierstrass transforme ainsi une série de polynômes d'Hermite en une série de Maclaurin correspondante .

L'existence d'une série formelle g ( D ) avec un coefficient constant non nul, tel que He n ( x ) = g ( D ) x n , est un autre équivalent à l'affirmation que ces polynômes forment une séquence d'Appel . Puisqu'il s'agit d'une séquence d'Appell, il s'agit a fortiori d' une séquence de Sheffer .

Représentation intégrale du contour

À partir de la représentation de la fonction génératrice ci-dessus, nous voyons que les polynômes d'Hermite ont une représentation en termes d' intégrale de contour , comme

avec le contour entourant l'origine.

Généralisations

Les polynômes d'Hermite du probabiliste définis ci-dessus sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilité normale standard, dont la fonction de densité est

qui a la valeur attendue 0 et la variance 1.

Mise à l'échelle, on peut parler de manière analogue de polynômes d'Hermite généralisés

de la variance α , où α est un nombre positif quelconque. Celles-ci sont alors orthogonales par rapport à la distribution de probabilité normale dont la fonction de densité est

Ils sont donnés par

Maintenant si

alors la suite polynomiale dont le n ième terme est

est appelée la composition ombrale des deux séquences polynomiales. On peut montrer qu'il satisfait les identités

et

La dernière identité s'exprime en disant que cette famille paramétrée de séquences polynomiales est connue sous le nom de séquence croisée. (Voir la section ci-dessus sur les séquences d'Appell et sur la représentation de l'opérateur différentiel , ce qui conduit à une dérivation facile de celle-ci. Cette identité de type binomial , pour α = β =1/2, a déjà été rencontré dans la section ci-dessus sur les relations #Recursion .)

"Ecart négatif"

Puisque les séquences polynomiales forment un groupe sous l' opération de composition ombrale , on peut désigner par

la séquence qui est inverse de celle notée de manière similaire, mais sans le signe moins, et parle ainsi de polynômes d'Hermite de variance négative. Pour > 0 , les coefficients de ne sont que les valeurs absolues des coefficients correspondants de .

Celles - ci proviennent des moments de distributions normale: Le n ième moment de la distribution normale avec espérance mathématique μ et la variance σ 2 est -

X est une variable aléatoire avec la distribution normale spécifiée. Un cas particulier de l'identité de séquence croisée dit alors que

Applications

Fonctions de l'ermite

On peut définir les fonctions d'Hermite (souvent appelées fonctions d'Hermite-gaussiennes) à partir des polynômes du physicien :

Ainsi,

Étant donné que ces fonctions contiennent la racine carrée de la fonction de poids et ont été mises à l'échelle de manière appropriée, elles sont orthonormées :

et ils forment une base orthonormée de L 2 ( R ) . Ce fait est équivalent à l'énoncé correspondant pour les polynômes d'Hermite (voir ci-dessus).

Les fonctions Hermite sont étroitement liées à la fonction Whittaker ( Whittaker & Watson 1996 ) D n ( z ) :

et ainsi à d'autres fonctions du cylindre parabolique .

Les fonctions d'Hermite satisfont l'équation différentielle

Cette équation est équivalente à l' équation de Schrödinger pour un oscillateur harmonique en mécanique quantique, donc ces fonctions sont les fonctions propres .

Fonctions Hermite : 0 (bleu, solide), 1 (orange, pointillé), 2 (vert, pointillé-tiré), 3 (rouge, pointillé), 4 (violet, solide) et 5 (marron, pointillé)
Fonctions Hermite : 0 (bleu, solide), 2 (orange, pointillé), 4 (vert, pointillé) et 50 (rouge, solide)

Relation de récursivité

Suivant les relations de récursivité des polynômes d'Hermite, les fonctions d'Hermite obéissent

et

L'extension de la première relation aux dérivées m ième arbitraires pour tout entier positif m conduit à

Cette formule peut être utilisée en relation avec les relations de récurrence pour He n et ψ n pour calculer efficacement toute dérivée des fonctions d'Hermite.

L'inégalité de Cramér

Pour x réel , les fonctions d'Hermite satisfont la borne suivante due à Harald Cramér et Jack Indritz :

Hermite fonctionne comme fonctions propres de la transformée de Fourier

Les fonctions de Hermite de la n ( x ) sont un ensemble de fonctions propres de la Fourier continue transformer F . Pour voir cela, prenez la version du physicien de la fonction génératrice et multipliez par e 1/2x 2 . Cela donne

La transformée de Fourier du membre de gauche est donnée par

La transformée de Fourier du membre de droite est donnée par

Égaliser comme des puissances de t dans les versions transformées des côtés gauche et droit donne finalement

Les fonctions de Hermite de la n ( x ) est donc une base orthonormale de L 2 ( R ) , qui diagonalise la transformée de Fourier opérateur .

Distributions de Wigner des fonctions d'Hermite

La fonction de distribution de Wigner de la fonction d' Hermite d'ordre n est liée au polynôme de Laguerre d' ordre n . Les polynômes de Laguerre sont

conduisant aux fonctions de Laguerre de l'oscillateur

Pour tous les entiers naturels n , il est simple de voir que

où la distribution de Wigner d'une fonction xL 2 ( R , C ) est définie comme

C'est un résultat fondamental pour l' oscillateur harmonique quantique découvert par Hip Groenewold en 1946 dans sa thèse de doctorat. C'est le paradigme standard de la mécanique quantique dans l'espace des phases .

Il existe d' autres relations entre les deux familles de polynômes.

Interprétation combinatoire des coefficients

Dans le polynôme d'Hermite He n ( x ) de variance 1, la valeur absolue du coefficient de x k est le nombre de partitions (non ordonnées) d'un n élément défini en k singletons etnk/2paires (non ordonnées). De manière équivalente, c'est le nombre d'involutions d'un ensemble de n éléments avec précisément k points fixes, ou en d'autres termes, le nombre de correspondances dans le graphe complet sur n sommets qui laissent k sommets découverts (en effet, les polynômes d'Hermite sont les correspondances polynômes de ces graphiques). La somme des valeurs absolues des coefficients donne le nombre total de partitions en singletons et paires, appelés numéros de téléphone

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (séquence A000085 dans l' OEIS ).

Cette interprétation combinatoire peut être liée à des polynômes de Bell exponentiels complets comme

x i = 0 pour tout i > 2 .

Ces nombres peuvent également être exprimés sous la forme d'une valeur spéciale des polynômes d'Hermite :

Relation de complétude

La formule de Christoffel-Darboux pour les polynômes d'Hermite se lit

De plus, l' identité de complétude suivante pour les fonctions d'Hermite ci-dessus tient dans le sens des distributions :

δ est la fonction delta de Dirac , ψ n les fonctions d'Hermite, et δ ( xy ) représente la mesure de Lebesgue sur la ligne y = x dans R 2 , normalisée pour que sa projection sur l'axe horizontal soit la mesure de Lebesgue habituelle.

Cette identité distributionnelle suit Wiener (1958) en prenant u → 1 dans la formule de Mehler , valable lorsque −1 < u < 1 :

qui est souvent énoncé de manière équivalente comme un noyau séparable,

La fonction ( x , y ) → E ( x , y ; u ) est la densité de probabilité gaussienne bivariée sur R 2 , qui est, lorsque u est proche de 1, très concentrée autour de la droite y = x , et très étalée sur cette ligne. Il s'ensuit que

lorsque f et g sont continus et supportés de manière compacte.

Cela donne que f peut être exprimé dans les fonctions d'Hermite comme la somme d'une série de vecteurs dans L 2 ( R ) , à savoir,

Afin de prouver l'égalité ci-dessus pour E ( x , y ; u ) , la transformée de Fourier des fonctions gaussiennes est utilisée à plusieurs reprises :

Le polynôme d'Hermite est alors représenté par

Avec cette représentation pour H n ( x ) et H n ( y ) , il est évident que

et cela donne la résolution souhaitée du résultat d'identité, en utilisant à nouveau la transformée de Fourier des noyaux gaussiens sous la substitution

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes