Homéomorphisme - Homeomorphism

Une déformation continue entre une tasse à café et un beignet ( tore ) illustrant qu'ils sont homéomorphes. Mais il n'est pas nécessaire qu'il y ait une déformation continue pour que deux espaces soient homéomorphes - seulement une application continue avec une fonction inverse continue.

Dans le domaine mathématique de la topologie , un homéomorphisme , un isomorphisme topologique ou une fonction bicontinue est une fonction continue entre des espaces topologiques qui a une fonction inverse continue . Les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques, c'est-à-dire les applications qui préservent toutes les propriétés topologiques d'un espace donné. Deux espaces avec un homéomorphisme entre eux sont appelés homéomorphes , et d'un point de vue topologique, ils sont identiques. Le mot homéomorphisme vient des mots grecs ὅμοιος ( homoios ) = similaire ou identique et μορφή ( morphē ) = forme, forme, introduit aux mathématiques par Henri Poincaré en 1895.

Très grossièrement, un espace topologique est un objet géométrique , et l'homéomorphisme est un étirement et une flexion continus de l'objet dans une nouvelle forme. Ainsi, un carré et un cercle sont homéomorphes l'un à l'autre, mais une sphère et un tore ne le sont pas. Cependant, cette description peut être trompeuse. Certaines déformations continues ne sont pas des homéomorphismes, comme la déformation d'une ligne en un point. Certains homéomorphismes ne sont pas des déformations continues, comme l'homéomorphisme entre un nœud de trèfle et un cercle.

Une blague mathématique souvent répétée est que les topologues ne peuvent pas faire la différence entre une tasse à café et un beignet, car un beignet suffisamment souple pourrait être remodelé en forme de tasse à café en créant une fossette et en l'élargissant progressivement, tout en préservant le trou du beignet. dans l'anse de la tasse.

Définition

Une fonction entre deux espaces topologiques est un homéomorphisme si elle possède les propriétés suivantes :

Un homéomorphisme est parfois appelé fonction bicontinue . Si une telle fonction existe, et sont homéomorphes . Un auto-homéomorphisme est un homéomorphisme d'un espace topologique sur lui-même. « Être homéomorphe » est une relation d'équivalence sur des espaces topologiques. Ses classes d'équivalence sont appelées classes d'homéomorphisme .

Exemples

Un nœud trilobé est homéomorphe à un tore solide, mais pas isotopique dans R 3 . Les cartographies continues ne sont pas toujours réalisables sous forme de déformations.
  • L' intervalle ouvert est homéomorphe aux nombres réels pour tout . (Dans ce cas, un mappage direct bicontinu est donné par tandis que d'autres mappages de ce type sont donnés par des versions mises à l'échelle et traduites des fonctions tan ou arg tanh ).
  • Le disque unité 2- et le carré unité dans R 2 sont homéomorphes; puisque le disque unitaire peut être déformé en carré unitaire. Un exemple d'une application bicontinue du carré au disque est, en coordonnées polaires , .
  • Le graphe d'une fonction différentiable est homéomorphe au domaine de la fonction.
  • Une paramétrisation dérivable d'une courbe est un homéomorphisme entre le domaine de la paramétrisation et la courbe.
  • Un graphique d'une variété est un homéomorphisme entre un sous - ensemble ouvert de la variété et un sous-ensemble ouvert d'un espace euclidien .
  • La projection stéréographique est un homéomorphisme entre la sphère unité en R 3 avec un seul point retiré et l'ensemble de tous les points de R 2 (a 2 dimensions plan ).
  • Si est un groupe topologique , sa carte d'inversion est un homéomorphisme. De plus, pour tout , la traduction gauche , la traduction droite et l'automorphisme interne sont des homéomorphismes.

Non-exemples

  • R m et R n sont pas homeomorphic pour mn .
  • La ligne réelle euclidienne n'est pas homéomorphe au cercle unité en tant que sous-espace de R 2 , puisque le cercle unité est compact en tant que sous-espace de R 2 euclidien mais la ligne réelle n'est pas compacte.
  • Les intervalles à une dimension et ne sont pas homéomorphes car aucune bijection continue n'a pu être faite.

Remarques

La troisième exigence, celle d' être continue, est essentielle. Considérons par exemple la fonction (le cercle unité dans ) définie par . Cette fonction est bijective et continue, mais pas un homéomorphisme ( est compact mais ne l'est pas). La fonction n'est pas continue au point , car bien qu'elle soit mappée à , tout voisinage de ce point inclut également des points proches de la fonction, mais les points qu'elle mappe sur des nombres intermédiaires se trouvent à l'extérieur du voisinage.

Les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques . En tant que tel, la composition de deux homéomorphismes est à nouveau un homéomorphisme, et l'ensemble de tous les auto-homéomorphismes forme un groupe , appelé groupe d'homéomorphismes de X , souvent noté . Ce groupe peut se voir attribuer une topologie, telle que la topologie compacte-ouverte , qui sous certaines hypothèses en fait un groupe topologique .

À certaines fins, le groupe d'homéomorphisme se trouve être trop grand, mais au moyen de la relation d' isotopie , on peut réduire ce groupe au mapping class group .

De même, comme d'habitude en théorie des catégories, étant donné deux espaces homéomorphes, l'espace des homéomorphismes entre eux, est un torseur pour les groupes d'homéomorphismes et , et, étant donné un homéomorphisme spécifique entre et , les trois ensembles sont identifiés.

Propriétés

Discussion informelle

Le critère intuitif de l' étirage, de pliage, de coupe et de collage de retour prend en même temps une certaine quantité de la pratique d'appliquer correctement, il peut ne pas être évident d'après la description ci - dessus que la déformation d' un segment de ligne vers un point est inadmissible, par exemple. Il est donc important de comprendre que c'est la définition formelle donnée ci-dessus qui compte. Dans ce cas, par exemple, le segment de droite possède une infinité de points, et ne peut donc pas être mis dans une bijection avec un ensemble ne contenant qu'un nombre fini de points, dont un seul point.

Cette caractérisation d'un homéomorphisme conduit souvent à une confusion avec la notion d' homotopie , qui est en fait définie comme une déformation continue, mais d'une fonction à une autre, plutôt qu'un espace à un autre. Dans le cas d'un homéomorphisme, imaginer une déformation continue est un outil mental pour savoir quels points sur l'espace X correspondent à quels points sur Y — on les suit juste au fur et à mesure que X se déforme. Dans le cas de l'homotopie, la déformation continue d'une carte à l'autre est essentielle, et elle est également moins restrictive, puisqu'aucune des cartes impliquées n'a besoin d'être un-à-un ou sur. L'homotopie conduit à une relation sur les espaces : l'équivalence d'homotopie .

Il existe un nom pour le type de déformation impliqué dans la visualisation d'un homéomorphisme. Il s'agit (sauf lorsque le découpage et le recollage sont nécessaires) d'une isotopie entre la carte d'identité sur X et l'homéomorphisme de X à Y .

Voir également

Les références

Liens externes