Groupe d'homéomorphisme - Homeomorphism group

En mathématiques , en particulier en topologie , le groupe d'homéomorphismes d'un espace topologique est le groupe constitué de tous les homéomorphismes de l'espace à lui-même avec la composition de fonctions comme opération de groupe . Les groupes d'homéomorphisme sont très importants dans la théorie des espaces topologiques et sont en général des exemples de groupes d'automorphisme . Les groupes d'homéomorphisme sont des invariants topologiques dans le sens où les groupes d'homéomorphisme des espaces topologiques homéomorphes sont isomorphes en tant que groupes .

Propriétés et exemples

Il y a une action de groupe naturelle du groupe d'homéomorphisme d'un espace sur cet espace. Soit un espace topologique et notons le groupe d'homéomorphisme de by . L'action est définie comme suit : ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

Il s'agit d'une action de groupe puisque pour tous , ${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$

où désigne l'action de groupe, et l' élément d'identité de (qui est la fonction d'identité sur ) envoie des points à eux-mêmes. Si cette action est transitive , alors l'espace est dit homogène . ${\displaystyle \cdot }$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage X}$

Topologie

Comme avec d'autres ensembles de cartes entre les espaces topologiques, le groupe d'homéomorphisme peut recevoir une topologie, telle que la topologie compacte-ouverte . Dans le cas d'espaces réguliers et localement compacts, la multiplication de groupes est alors continue.

Si l'espace est compact et Hausdorff, l'inversion est également continue et devient un groupe topologique comme on peut facilement le montrer. Si est Hausdorff, localement compact et localement connecté, cela vaut également. Cependant il existe des espaces métriques séparables localement compacts pour lesquels la carte d'inversion n'est pas continue et donc pas un groupe topologique. ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$

Dans la catégorie des espaces topologiques à homéomorphismes, les objets de groupe sont exactement des groupes d'homéomorphismes.

Mappage du groupe de classe

En topologie géométrique en particulier, on considère le groupe quotient obtenu par quotient par isotopie , appelé mapping class group :

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$

Le MCG peut également être interprété comme le 0e groupe d'homotopie , . Cela donne la suite exacte courte : ${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

Dans certaines applications, en particulier les surfaces, le groupe d'homéomorphismes est étudié via cette courte séquence exacte, et en étudiant d'abord le groupe de classes cartographiques et le groupe d'homéomorphismes isotopiquement triviaux, puis (parfois) l'extension.

Voir également

• Mappage du groupe de classe

Les références

• "homeomorphism group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]