Homomorphisme - Homomorphism

En algèbre , un homomorphisme est une application préservant la structure entre deux structures algébriques du même type (comme deux groupes , deux anneaux ou deux espaces vectoriels ). Le mot homomorphisme vient du grec ancien : ὁμός ( homos ) signifiant « même » et μορφή ( morphe ) signifiant « forme » ou « forme ». Cependant, le mot a apparemment été introduit dans les mathématiques en raison d'une (mauvaise) traduction de l'allemand ähnlich signifiant "similaire" à ὁμός signifiant "même". Le terme « homomorphisme » est apparu dès 1892, lorsqu'il a été attribué au mathématicien allemand Felix Klein (1849-1925).

Les homomorphismes d'espaces vectoriels sont aussi appelés applications linéaires , et leur étude fait l'objet de l'algèbre linéaire .

Le concept d'homomorphisme a été généralisé, sous le nom de morphisme , à de nombreuses autres structures qui soit n'ont pas d'ensemble sous-jacent, soit ne sont pas algébriques. Cette généralisation est le point de départ de la théorie des catégories .

Un homomorphisme peut aussi être un isomorphisme , un endomorphisme , un automorphisme , etc. (voir ci-dessous). Chacun de ceux-ci peut être défini d'une manière qui peut être généralisée à n'importe quelle classe de morphismes.

Définition

Un homomorphisme est une application entre deux structures algébriques du même type (c'est-à-dire du même nom), qui préserve les opérations des structures. Il s'agit d'une application entre deux ensembles , dotés de la même structure telle que, si est une opération de la structure (supposée ici, pour simplifier, être une opération binaire ), alors

pour chaque paire , d'éléments de . On dit souvent que cela préserve le fonctionnement ou est compatible avec le fonctionnement.

Formellement, une application préserve une opération d' arité k , définie à la fois sur et si

pour tous les éléments de .

Les opérations qui doivent être conservées par un homomorphisme incluent les opérations 0-aires , c'est-à-dire les constantes. En particulier, lorsqu'un élément d'identité est requis par le type de structure, l'élément d'identité de la première structure doit être mappé sur l'élément d'identité correspondant de la deuxième structure.

Par exemple:

  • Un homomorphisme de semi-groupe est une application entre semi - groupes qui préserve l'opération de semi-groupe.
  • Un homomorphisme monoïde est une application entre les monoïdes qui préserve l'opération monoïde et mappe l'élément d'identité du premier monoïde à celui du deuxième monoïde (l'élément d'identité est une opération 0-aire ).
  • Un homomorphisme de groupe est une application entre groupes qui préserve l'opération de groupe. Cela implique que l'homomorphisme de groupe mappe l'élément d'identité du premier groupe à l'élément d'identité du deuxième groupe, et mappe l' inverse d'un élément du premier groupe à l'inverse de l'image de cet élément. Ainsi, un homomorphisme de semi-groupe entre groupes est nécessairement un homomorphisme de groupe.
  • Un homomorphisme d'anneaux est une application entre anneaux qui préserve l'addition d'anneaux, la multiplication d'anneaux et l' identité multiplicative . La préservation de l'identité multiplicative dépend de la définition de l' anneau utilisée. Si l'identité multiplicative n'est pas conservée, on a un homomorphisme rng .
  • Une application linéaire est un homomorphisme d' espaces vectoriels ; c'est-à-dire un homomorphisme de groupe entre les espaces vectoriels qui préserve la structure du groupe abélien et la multiplication scalaire .
  • Un homomorphisme de module , également appelé application linéaire entre modules , est défini de la même manière.
  • Un homomorphisme algébrique est une application qui préserve les opérations algébriques .

Une structure algébrique peut avoir plus d'une opération, et un homomorphisme est nécessaire pour préserver chaque opération. Ainsi une application qui ne conserve qu'une partie des opérations n'est pas un homomorphisme de la structure, mais seulement un homomorphisme de la sous-structure obtenu en ne considérant que les opérations conservées. Par exemple, une carte entre monoïdes qui préserve l'opération monoïde et non l'élément d'identité, n'est pas un homomorphisme de monoïde, mais seulement un homomorphisme de semi-groupe.

La notation des opérations n'a pas besoin d'être la même dans la source et la cible d'un homomorphisme. Par exemple, les nombres réels forment un groupe pour l'addition et les nombres réels positifs forment un groupe pour la multiplication. La fonction exponentielle

satisfait

et est donc un homomorphisme entre ces deux groupes. C'est même un isomorphisme (voir ci-dessous), car sa fonction inverse , le logarithme népérien , satisfait

et est aussi un homomorphisme de groupe.

Exemples

Monoid morphisme du monoïde ( N , +, 0) à la monoid ( N , x, 1) , définie par . C'est injectif , mais pas surjectif .

Les vrais nombres sont un anneau , ayant à la fois une addition et une multiplication. L'ensemble de toutes les matrices 2×2 est également un anneau, sous addition matricielle et multiplication matricielle . Si nous définissons une fonction entre ces anneaux comme suit :

r est un nombre réel, alors f est un homomorphisme d'anneaux, puisque f préserve les deux additions :

et multiplié :

Pour un autre exemple, les nombres complexes non nuls forment un groupe sous l'opération de multiplication, tout comme les nombres réels non nuls. (Zéro doit être exclu des deux groupes car il n'a pas d' inverse multiplicatif , ce qui est requis pour les éléments d'un groupe.) Définissez une fonction des nombres complexes non nuls aux nombres réels non nuls en

C'est-à-dire, est la valeur absolue (ou module) du nombre complexe . Alors est un homomorphisme de groupes, puisqu'il préserve la multiplication :

Notez que f ne peut pas être étendu à un homomorphisme d'anneaux (des nombres complexes aux nombres réels), car il ne préserve pas l'addition :

Autre exemple, le diagramme montre une monoid homomorphisme du monoid au monoid . En raison des noms différents des opérations correspondantes, les propriétés de préservation de la structure satisfaites par montant à et .

Une algèbre de composition sur un corps a une forme quadratique , appelée norme , , qui est un homomorphisme de groupe du groupe multiplicatif de au groupe multiplicatif de .

Homomorphismes spéciaux

Plusieurs types d'homomorphismes ont un nom spécifique, qui est également défini pour les morphismes généraux .

Isomorphisme

Un isomorphisme entre structures algébriques du même type est communément défini comme un homomorphisme bijectif .

Dans le contexte plus général de la théorie des catégories , un isomorphisme est défini comme un morphisme qui a un inverse qui est aussi un morphisme. Dans le cas particulier des structures algébriques, les deux définitions sont équivalentes, bien qu'elles puissent différer pour les structures non algébriques, qui ont un ensemble sous-jacent.

Plus précisément, si

est un (homo)morphisme, il a un inverse s'il existe un homomorphisme

tel que

Si et ont des ensembles sous-jacents et ont un inverse , alors est bijectif. En fait, est injectif , comme l' implique , et est surjectif , car, pour tout dans , on a , et est l'image d'un élément de .

Inversement, si est un homomorphisme bijectif entre structures algébriques, soit l'application telle que est l'unique élément de telle que . On a et il ne reste plus qu'à montrer que g est un homomorphisme. Si est une opération binaire de la structure, pour chaque couple , d'éléments de , on a

et est donc compatible avec Comme la preuve est similaire pour toute arité , cela montre qu'il s'agit d'un homomorphisme.

Cette preuve ne fonctionne pas pour les structures non algébriques. Par exemple, pour les espaces topologiques , un morphisme est une application continue , et l'inverse d'une application continue bijective n'est pas nécessairement continue. Un isomorphisme d'espaces topologiques, appelé homéomorphisme ou application bicontinue , est donc une application continue bijective, dont l'inverse est également continu.

Endomorphisme

Un endomorphisme est un homomorphisme dont le domaine est égal au codomaine , ou, plus généralement, un morphisme dont la source est égale à la cible.

Les endomorphismes d'une structure algébrique, ou d'un objet d'une catégorie forment un monoïde sous composition.

Les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module forment un anneau . Dans le cas d'un espace vectoriel ou d'un module libre de dimension finie , le choix d'une base induit un isomorphisme d'anneau entre l'anneau des endomorphismes et l'anneau des matrices carrées de même dimension.

Automorphisme

Un automorphisme est un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme.

Les automorphismes d'une structure algébrique ou d'un objet d'une catégorie forment un groupe sous composition, que l'on appelle groupe d'automorphismes de la structure.

De nombreux groupes qui ont reçu un nom sont des groupes d'automorphismes d'une structure algébrique. Par exemple, le groupe linéaire général est le groupe d'automorphisme d'un espace vectoriel de dimension sur un champ .

Les groupes automorphismes des champs ont été introduits par Évariste Galois pour étudier les racines de polynômes , et sont à la base de la théorie de Galois .

Monomorphisme

Pour les structures algébriques, les monomorphismes sont communément définis comme des homomorphismes injectifs .

Dans le contexte plus général de la théorie des catégories , un monomorphisme est défini comme un morphisme qui est laissé annulables . Cela signifie qu'un (homo)morphisme est un monomorphisme si, pour toute paire , de morphismes de tout autre objet vers , implique alors .

Ces deux définitions du monomorphisme sont équivalentes pour toutes les structures algébriques courantes. Plus précisément, ils sont équivalents pour les corps , pour lesquels tout homomorphisme est un monomorphisme, et pour les variétés d' algèbre universelle , c'est-à-dire les structures algébriques pour lesquelles les opérations et les axiomes (identités) sont définis sans restriction (les corps ne sont pas une variété, comme le l'inverse multiplicatif est défini soit comme une opération unaire, soit comme une propriété de la multiplication, qui ne sont, dans les deux cas, définies que pour des éléments non nuls).

En particulier, les deux définitions d'un monomorphisme sont équivalentes pour les ensembles , magmas , semigroupes , monoïdes , groupes , anneaux , champs , espaces vectoriels et modules .

Un monomorphisme fractionné est un homomorphisme qui a un inverse à gauche et est donc lui-même un inverse à droite de cet autre homomorphisme. C'est-à-dire qu'un homomorphisme est un monomorphisme fractionné s'il existe un homomorphisme tel qu'un monomorphisme fractionné est toujours un monomorphisme, pour les deux sens de monomorphisme . Pour les ensembles et les espaces vectoriels, chaque monomorphisme est un monomorphisme fractionné, mais cette propriété ne s'applique pas à la plupart des structures algébriques courantes.

Preuve de l'équivalence des deux définitions des monomorphismes

Un homomorphisme injectif est laissé annulable : Si on a pour tout in , la source commune de et . Si est injectif, alors , et donc . Cette preuve fonctionne non seulement pour les structures algébriques, mais aussi pour toute catégorie dont les objets sont des ensembles et les flèches sont des applications entre ces ensembles. Par exemple, une application continue injective est un monomorphisme dans la catégorie des espaces topologiques .

Pour prouver qu'à l'inverse, un homomorphisme annulable à gauche est injectif, il est utile de considérer un objet libre sur . Compte tenu d' une variété de structures algébriques un objet libre sur une paire composée d'une structure algébrique de cette variété et un élément de satisfaire les éléments suivants propriété universelle : pour toutes les structures de la variété, et tous les éléments de , il y a un homomorphisme tel que . Par exemple, pour les ensembles, l'objet libre sur est simplement ; pour les demi - groupes , l'objet libre sur est qui, en tant que demi-groupe, est isomorphe au demi-groupe additif des entiers positifs ; pour les monoïdes , l'objet libre sur est qui, en tant que monoïde, est isomorphe au monoïde additif des entiers non négatifs ; pour les groupes , l'objet libre sur est le groupe cyclique infini qui, en tant que groupe, est isomorphe au groupe additif des entiers ; pour les anneaux , l'objet libre sur } est l' anneau polynomial pour les espaces vectoriels ou modules , l'objet libre sur est l'espace vectoriel ou module libre qui a pour base.

Si un objet libre sur existe, tout homomorphisme résiliable gauche est injective : LET un homomorphisme résiliable gauche, et et deux éléments de tels . Par définition de l'objet libre , il existe des homomorphismes et de à tels que et . Comme , on l'a par l'unicité dans la définition d'une propriété universelle. Comme est laissé annulable, on a , et donc . Par conséquent, est injectif.

Existence d'un objet libre sur pour une variété (voir aussi Objet libre § Existence ) : Pour construire un objet libre sur , considérons l'ensemble des formules bien formées construites à partir de et les opérations de la structure. Deux de ces formules sont dites équivalentes si l'on peut passer de l'une à l'autre en appliquant les axiomes ( identités de la structure). Ceci définit une relation d'équivalence , si les identités ne sont pas soumises à des conditions, c'est-à-dire si l'on travaille avec une variété. Alors les opérations de la variété sont bien définies sur l'ensemble des classes d'équivalence de pour cette relation. Il est simple de montrer que l'objet résultant est un objet libre sur .

Épimorphisme

En algèbre , les épimorphismes sont souvent définis comme des homomorphismes surjectifs . D'autre part, dans la théorie des catégories , les épimorphismes sont définis comme des morphismes annulables à droite . Cela signifie qu'un (homo)morphisme est un épimorphisme si, pour tout couple , de morphismes de vers tout autre objet , l'égalité implique .

Un homomorphisme surjectif est toujours annulable à droite, mais l'inverse n'est pas toujours vrai pour les structures algébriques. Cependant, les deux définitions de l' épimorphisme sont équivalentes pour les ensembles , les espaces vectoriels , les groupes abéliens , les modules (voir ci-dessous pour une preuve) et les groupes . L'importance de ces structures dans toutes les mathématiques, et spécialement dans l'algèbre linéaire et l'algèbre homologique , peut expliquer la coexistence de deux définitions non équivalentes.

Les structures algébriques pour lesquelles il existe des épimorphismes non surjectifs incluent les semi - groupes et les anneaux . L'exemple le plus élémentaire est l'inclusion d' entiers dans des nombres rationnels , qui est un homomorphisme d'anneaux et de semi-groupes multiplicatifs. Pour les deux structures, il s'agit d'un monomorphisme et d'un épimorphisme non surjectif, mais pas d'un isomorphisme.

Une large généralisation de cet exemple est la localisation d'un anneau par un ensemble multiplicatif. Toute localisation est un épimorphisme en anneau, qui n'est en général pas surjectif. Comme les localisations sont fondamentales en algèbre commutative et en géométrie algébrique , cela peut expliquer pourquoi dans ces domaines, la définition des épimorphismes comme homomorphismes annulables à droite est généralement préférée.

Un épimorphisme fractionné est un homomorphisme qui a un inverse droit et donc il est lui-même un inverse gauche de cet autre homomorphisme. C'est-à-dire qu'un homomorphisme est un épimorphisme scindé s'il existe un homomorphisme tel qu'un épimorphisme scindé est toujours un épimorphisme, pour les deux sens d' épimorphisme . Pour les ensembles et les espaces vectoriels, chaque épimorphisme est un épimorphisme fractionné, mais cette propriété ne s'applique pas à la plupart des structures algébriques courantes.

En résumé, on a

la dernière implication est une équivalence pour les ensembles, les espaces vectoriels, les modules et les groupes abéliens ; la première implication est une équivalence pour les ensembles et les espaces vectoriels.

Équivalence des deux définitions de l'épimorphisme

Soit un homomorphisme. Nous voulons prouver que s'il n'est pas surjectif, il n'est pas annulable de plein droit.

Dans le cas des ensembles, soit un élément de qui n'appartient pas à , et définissons tel qui est la fonction identité , et que pour chaque excepté c'est tout autre élément de . Il est clair que ce droit n'est pas résiliable, car et

Dans le cas d'espaces vectoriels, de groupes abéliens et de modules, la preuve repose sur l'existence de conoyaux et sur le fait que les applications nulles sont des homomorphismes : soit le conoyau de , et soit l'application canonique, tels que . Soit la carte zéro. Si n'est pas surjectif, , et donc (l'un est une application nulle, tandis que l'autre ne l'est pas). Ainsi n'est pas annulable, car (les deux sont la carte zéro de à ).

Noyau

Tout homomorphisme définit une relation d'équivalence sur par si et seulement si . La relation est appelée le noyau de . C'est une relation de congruence sur . On peut alors donner à l' ensemble quotient une structure du même type que , de façon naturelle, en définissant les opérations de l'ensemble quotient par , pour chaque opération de . Dans ce cas l'image de in sous l'homomorphisme est nécessairement isomorphe à ; ce fait est l'un des théorèmes d'isomorphisme .

Lorsque la structure algébrique est un groupe pour une opération, la classe d'équivalence de l' élément d'identité de cette opération suffit à caractériser la relation d'équivalence. Dans ce cas, le quotient par la relation d'équivalence est noté (habituellement lu comme " mod "). Dans ce cas également, c'est , plutôt que , qui est appelé le noyau de . Les noyaux d'homomorphismes d'un type donné de structure algébrique sont naturellement dotés d'une certaine structure. Ce type de structure des noyaux est le même que la structure considérée, dans le cas des groupes abéliens , des espaces vectoriels et des modules , mais est différent et a reçu un nom spécifique dans d'autres cas, comme sous- groupe normal pour les noyaux d' homomorphismes de groupe et d' idéaux pour les noyaux d' homomorphismes d'anneaux (dans le cas d'anneaux non commutatifs, les noyaux sont les idéaux bifaces ).

Structures relationnelles

Dans la théorie des modèles , la notion de structure algébrique est généralisée aux structures impliquant à la fois des opérations et des relations. Soit L une signature constituée de symboles de fonction et de relation, et A , B deux L -structures. Alors un homomorphisme de A vers B est une application h du domaine de A au domaine de B telle que

  • h ( F A ( a 1 ,…, a n )) = F B ( h ( a 1 ),…, h ( a n )) pour chaque symbole de fonction n -aire F dans L ,
  • R A ( a 1 ,…, a n ) implique R B ( h ( a 1 ),…, h ( a n )) pour chaque symbole de relation n -aire R dans L .

Dans le cas particulier avec une seule relation binaire, on obtient la notion d' homomorphisme de graphe . Pour une discussion détaillée des homomorphismes et des isomorphismes relationnels, voir.

Théorie du langage formel

Les homomorphismes sont également utilisés dans l'étude des langages formels et sont souvent brièvement appelés morphismes. Étant donné les alphabets Σ 1 et Σ 2 , une fonction h  : Σ 1 → Σ 2 telle que h ( uv ) = h ( u ) h ( v ) pour tout u et v dans Σ 1 est appelée un homomorphisme sur Σ 1 * . Si h est un homomorphisme sur Σ 1 et désigne la chaîne vide, alors h est appelé un homomorphisme ε-libre lorsque h ( x ) ≠ ε pour tout xε dans Σ 1 .

L'ensemble Σ de mots formé à partir de l'alphabet Σ peut être considéré comme le monoïde libre généré par Σ. Ici, l'opération monoïde est la concaténation et l'élément d'identité est le mot vide. De ce point de vue, un homomorphisme de langage est précisément un homomorphisme monoïde.

Voir également

Remarques

Citations

Les références