Contrainte du cylindre - Cylinder stress

En mécanique , une contrainte de cylindre est une distribution de contrainte à symétrie de rotation ; c'est-à-dire qui reste inchangé si l'objet stressé est tourné autour d'un axe fixe.

Les modèles de contrainte de cylindre comprennent :

• contrainte circonférentielle ou contrainte périphérique , une contrainte normale dans la tangentielle ( azimut direction).
• contrainte axiale , une contrainte normale parallèle à l'axe de symétrie cylindrique.
• contrainte radiale , une contrainte normale dans des directions coplanaires mais perpendiculaires à l'axe de symétrie.

Ces trois contraintes principales (arceau, longitudinale et radiale) peuvent être calculées analytiquement en utilisant un système de contraintes triaxiales mutuellement perpendiculaires.

L'exemple classique (et homonyme) de contrainte de cerceau est la tension appliquée aux bandes de fer, ou cerceaux, d'un tonneau en bois . Dans un tuyau droit et fermé , toute force appliquée à la paroi du tuyau cylindrique par une différence de pression donnera finalement lieu à des contraintes circonférentielles. De même, si ce tuyau a des embouts plats, toute force qui leur est appliquée par la pression statique induira une contrainte axiale perpendiculaire sur la même paroi du tuyau. Les sections minces ont souvent des contraintes radiales négligeables , mais des modèles précis de coques cylindriques à parois plus épaisses nécessitent la prise en compte de telles contraintes.

Dans les récipients sous pression à paroi épaisse, des techniques de construction permettant des modèles de contraintes initiales favorables peuvent être utilisées. Ces contraintes de compression sur la surface intérieure réduisent la contrainte circonférentielle globale dans les cylindres sous pression. Les récipients cylindriques de cette nature sont généralement construits à partir de cylindres concentriques rétractés (ou dilatés) les uns dans les autres, c'est-à-dire des cylindres rétractables intégrés, mais peuvent également être réalisés sur des cylindres singuliers par autofrettage de cylindres épais.

Définitions

Cerceau de stress

La contrainte circonférentielle est la force exercée sur la zone circonférentiellement (perpendiculairement à l'axe et au rayon de l'objet) dans les deux sens sur chaque particule de la paroi du cylindre. Il peut être décrit comme :

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$

où:

• F est la force exercée circonférentiellement sur une zone de la paroi du cylindre qui a les deux longueurs suivantes comme côtés :
• t est l'épaisseur radiale du cylindre
• l est la longueur axiale du cylindre.

Une alternative à la contrainte circonférentielle pour décrire la contrainte circonférentielle est la contrainte de paroi ou la tension de paroi ( T ), qui est généralement définie comme la force circonférentielle totale exercée sur toute l'épaisseur radiale :

${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$

Avec la contrainte axiale et la contrainte radiale, la contrainte circonférentielle est une composante du tenseur de contrainte en coordonnées cylindriques .

Il est généralement utile pour décomposer toute force appliquée à un objet à symétrie de rotation en composantes parallèles aux coordonnées cylindriques r , z et θ . Ces composantes de force induisent des contraintes correspondantes : contrainte radiale, contrainte axiale et contrainte circonférentielle, respectivement.

Relation avec la pression interne

Hypothèse à paroi mince

Pour que l'hypothèse de paroi mince soit valide, le récipient doit avoir une épaisseur de paroi ne dépassant pas environ un dixième (souvent cité comme Diamètre / t > 20) de son rayon. Cela permet de traiter la paroi comme une surface, puis d'utiliser l' équation de Young-Laplace pour estimer la contrainte circonférentielle créée par une pression interne sur un récipient sous pression cylindrique à paroi mince :

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }$ (pour un cylindre)

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$ (pour une sphère)

où

• P est la pression interne
• t est l'épaisseur de paroi
• r est le rayon moyen du cylindre
• ${\displaystyle \sigma _{\theta }\!}$ est la contrainte de cerceau.

L'équation de contrainte de cerceau pour les coquilles minces est également approximativement valable pour les vaisseaux sphériques, y compris les cellules végétales et les bactéries dans lesquelles la pression de turgescence interne peut atteindre plusieurs atmosphères. Dans les applications d'ingénierie pratiques pour les cylindres (tuyaux et tubes), la contrainte circonférentielle est souvent réorganisée pour la pression et est appelée formule de Barlow .

Les unités du système pouce-livre-seconde (IPS) pour P sont des livres-force par pouce carré (psi). Les unités pour t et d sont des pouces (pouces). Les unités SI pour P sont des pascals (Pa), tandis que t et d =2 r sont en mètres (m).

Lorsque le récipient a des extrémités fermées, la pression interne agit sur celles-ci pour développer une force le long de l'axe du cylindre. Ceci est connu comme la contrainte axiale et est généralement inférieure à la contrainte circonférentielle.

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\ }$

Bien que cela puisse être rapproché de

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$

Il existe également une contrainte radiale qui se développe perpendiculairement à la surface et peut être estimée dans les cylindres à parois minces comme suit : ${\displaystyle \sigma _{r}\ }$

${\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }$

Cependant, dans l'hypothèse des parois minces, le rapport est grand, donc dans la plupart des cas, cette composante est considérée comme négligeable par rapport aux contraintes circonférentielles et axiales. ${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

Vases à parois épaisses

Lorsque le cylindre à étudier a un rapport inférieur à 10 (souvent cité comme ) les équations du cylindre à paroi mince ne tiennent plus car les contraintes varient considérablement entre les surfaces intérieures et extérieures et la contrainte de cisaillement à travers la section transversale ne peut plus être négligée. ${\displaystyle rayon/épaisseur}$${\displaystyle diamètre/épaisseur<20}$

Ces contraintes et déformations peuvent être calculées à l'aide des équations de Lamé , un ensemble d'équations développées par le mathématicien français Gabriel Lamé .

${\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

${\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

où:

${\style d'affichage A}$et sont des constantes d'intégration, qui peuvent être découvertes à partir des conditions aux limites${\style d'affichage B}$

${\style d'affichage r}$ est le rayon au point d'intérêt (par exemple, au niveau des murs intérieurs ou extérieurs)

${\style d'affichage A}$et peut être trouvé par l'inspection des conditions aux limites. Par exemple, le cas le plus simple est un cylindre solide : ${\style d'affichage B}$

si alors et un cylindre solide ne peut pas avoir une pression interne donc${\style d'affichage R_{i}=0}$${\style d'affichage B=0}$${\style d'affichage A=P_{o}}$

Etant donné que pour les cylindres à parois épaisses, le rapport est inférieur à 10, la contrainte radiale, au prorata des autres contraintes, devient non négligeable (ie P n'est plus beaucoup, beaucoup moins que Pr/t et Pr/2t), et ainsi l'épaisseur du mur devient une considération majeure pour la conception (Harvey, 1974, pp. 57). ${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

Dans la théorie des récipients sous pression, tout élément donné de la paroi est évalué dans un système de contraintes triaxiales, les trois principales contraintes étant circonférentielles, longitudinales et radiales. Par conséquent, par définition, il n'existe pas de contraintes de cisaillement sur les plans transversaux, tangentiels ou radiaux.

Dans les cylindres à parois épaisses, la contrainte de cisaillement maximale en tout point est donnée par la moitié de la différence algébrique entre les contraintes maximales et minimales, qui est donc égale à la moitié de la différence entre les contraintes circonférentielles et radiales. La contrainte de cisaillement atteint un maximum à la surface interne, ce qui est significatif car il sert de critère de rupture car il est bien corrélé avec les essais de rupture réels de cylindres épais (Harvey, 1974, p. 57).

Effets pratiques

Ingénierie

La rupture est régie par la contrainte circonférentielle en l'absence d'autres charges externes puisqu'il s'agit de la contrainte principale la plus importante. Notez qu'un cerceau subit la plus grande contrainte à son intérieur (l'extérieur et l'intérieur subissent la même contrainte totale, qui est répartie sur différentes circonférences); par conséquent, les fissures dans les tuyaux devraient théoriquement commencer à l' intérieur du tuyau. C'est pourquoi les inspections de canalisations après des tremblements de terre impliquent généralement l'envoi d'une caméra à l'intérieur d'une canalisation pour inspecter les fissures. L'élasticité est régie par une contrainte équivalente qui inclut la contrainte circonférentielle et la contrainte longitudinale ou radiale lorsqu'elle est absente.

Médicament

Dans la pathologie des parois vasculaires ou gastro - intestinales , la tension de paroi représente la tension musculaire sur la paroi du vaisseau. En raison de la loi de Laplace , si un anévrisme se forme dans la paroi d'un vaisseau sanguin, le rayon du vaisseau a augmenté. Cela signifie que la force vers l'intérieur du vaisseau diminue, et donc l'anévrisme continuera à s'étendre jusqu'à ce qu'il se rompe. Une logique similaire s'applique à la formation de diverticules dans l' intestin .

Développement historique de la théorie

La première analyse théorique de la contrainte dans les cylindres a été développée par l'ingénieur du milieu du XIXe siècle William Fairbairn , assisté de son analyste mathématique Eaton Hodgkinson . Leur premier intérêt était d'étudier la conception et les défaillances des chaudières à vapeur . Fairbairn s'est rendu compte que la contrainte circonférentielle était le double de la contrainte longitudinale, un facteur important dans l'assemblage des coques de chaudière à partir de tôles laminées assemblées par rivetage . Des travaux ultérieurs ont été appliqués à la construction de ponts et à l'invention de la poutre-caisson . Dans le pont ferroviaire de Chepstow , les piliers en fonte sont renforcés par des bandes extérieures en fer forgé . La force verticale longitudinale est une force de compression à laquelle la fonte est bien capable de résister. La contrainte circonférentielle est la traction, et donc du fer forgé, un matériau avec une meilleure résistance à la traction que la fonte, est ajouté.

Voir également

• Peut être causé par la contrainte du cylindre :
  • Catastrophe de mélasse à Boston
  • Explosion de chaudière
  • Explosion de vapeur en expansion de liquide bouillant
• Sujets d'ingénierie connexes :
  • La concentration de stress
  • Test hydrostatique
  • flambage
  • Tension artérielle#Relation_to_wall_tension
  • Tuyauterie#Stress_analysis
• Conceptions très affectées par ce stress :
  • Récipient sous pression
    • Moteur de fusée
  • Volant
  • Le dôme de la cathédrale de Florence

Les références

• Récipients à pression à paroi mince . Fondamentaux de l'ingénierie . 19 juin 2008.