Calcul icosien - Icosian calculus

Le calcul icosien est une structure algébrique non commutative découverte par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1856. En termes modernes, il a donné une présentation de groupe du groupe de rotation icosaédrique par générateurs et relations.

La découverte de Hamilton découle de ses tentatives pour trouver une algèbre de "triplets" ou 3-uplets qui, selon lui, refléteraient les trois axes cartésiens . Les symboles du calcul icosien peuvent être assimilés à des déplacements entre les sommets d'un dodécaèdre . Les travaux de Hamilton dans ce domaine ont abouti indirectement aux termes circuit hamiltonien et chemin hamiltonien dans la théorie des graphes. Il invente également le jeu icosien pour illustrer et vulgariser sa découverte.

Définition informelle

Projection stéréographique du dodécaèdre utilisé pour le jeu icosien de Hamilton

L'algèbre est basée sur trois symboles qui sont chacun des racines de l'unité , en ce sens que l'application répétée de l'un d'eux donne la valeur 1 après un nombre particulier d'étapes. Elles sont:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}}$

Hamilton donne également une autre relation entre les symboles :

${\displaystyle \lambda =\iota \kappa .}$

(En termes modernes, c'est le groupe de triangles (2,3,5) .)

L'opération est associative mais pas commutative . Ils engendrent un groupe d'ordre 60, isomorphe au groupe des rotations d'un icosaèdre ou dodécaèdre régulier , et donc au groupe alterné de degré cinq.

Bien que l'algèbre existe en tant que construction purement abstraite, elle peut être plus facilement visualisée en termes d'opérations sur les arêtes et les sommets d'un dodécaèdre. Hamilton lui-même a utilisé un dodécaèdre aplati comme base de son jeu pédagogique.

Imaginez un insecte rampant le long d'un bord particulier du dodécaèdre étiqueté de Hamilton dans une certaine direction, disons de à . Nous pouvons représenter cette arête dirigée par . ${\style d'affichage B}$${\style d'affichage C}$${\displaystyle BC}$

Illustration géométrique de l'opération iota dans le calcul icosien

• Le symbole icosien équivaut à changer de direction sur n'importe quel bord, donc l'insecte rampe de à (en suivant le bord dirigé ).${\style d'affichage \iota }$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage B}$${\displaystyle CB}$
• Le symbole icosien équivaut à faire tourner la course actuelle de l'insecte dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour du point final. Dans notre exemple, cela signifierait changer la direction initiale pour devenir .${\style d'affichage \kappa }$${\displaystyle BC}$${\displaystyle DC}$
• Le symbole icosien équivaut à faire un virage à droite au point final, en passant de à .${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CD}$

Héritage

Le calcul icosien est l'un des premiers exemples de nombreuses idées mathématiques, notamment :

• présenter et étudier un groupe par générateurs et relations ;
• un groupe triangulaire , plus tard généralisé aux groupes de Coxeter ;
• visualisation d'un groupe par un graphe, ce qui a conduit à la théorie combinatoire des groupes et plus tard à la théorie géométrique des groupes ;
• Circuits hamiltoniens et chemins hamiltoniens en théorie des graphes ;
• dessin d'enfant – voir dessin d'enfant : histoire pour plus de détails.

Voir également

• icosienne

Les références