Image (mathématiques) - Image (mathematics)

${\style d'affichage f}$est une fonction du domaine au codomaine L'ovale jaune à l'intérieur est l'image de${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y.}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage f.}$

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , l' image d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie qu'elle peut produire.

Plus généralement, évaluer une fonction donnée à chaque élément d'un sous - ensemble donné de son domaine produit un ensemble, appelé « image de sous (ou à travers) ». De même, l' image inverse (ou préimage ) d'un sous - ensemble donné du codomaine de est l'ensemble de tous les éléments du domaine qui correspondent aux membres de${\style d'affichage f}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage f,}$${\style d'affichage B.}$

L'image et l'image inverse peuvent également être définies pour les relations binaires générales , et pas seulement pour les fonctions.

Définition

Le mot « image » est utilisé de trois manières liées. Dans ces définitions, est une fonction de l' ensemble à l'ensemble${\style d'affichage f:X\à Y}$ ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y.}$

Image d'un élément

Si est un membre de alors l'image de under dénotée est la valeur de lorsqu'elle est appliquée à est également connue comme la sortie de l' argument for${\style d'affichage x}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f,}$${\style d'affichage f(x),}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage x.}$ ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage x.}$

Compte tenu de la fonction est dit « prendre la valeur » ou « prendre comme valeur » s'il existe un dans le domaine de la fonction telle que De même, étant donné un ensemble est dit « prendre une valeur » s'il existe certains dans le domaine de la fonction tel que Cependant, " prend [toutes] les valeurs dans " et " est évalué dans " signifie que pour chaque point dans le domaine de . ${\style d'affichage y,}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f(x)=y.}$${\style d'affichage S,}$ ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f(x)\dans S.}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage f(x)\dans S}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f}$

Image d'un sous-ensemble

L'image d'un sous-ensemble indiqué ci- dessous est le sous-ensemble qui peut être défini en utilisant la notation de constructeur d'ensemble comme suit : ${\style d'affichage A\subseteq X}$${\style d'affichage f,}$${\style d'affichage f[A],}$${\style d'affichage Y}$

$${\displaystyle f[A]=\{f(x):x\in A\}}$$

Lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion, est simplement écrit comme Cette convention est courante ; le sens voulu doit être déduit du contexte. Cela crée une fonction dont le domaine est l' ensemble de puissance de (l'ensemble de tous les sous - ensembles de ), et dont le codomaine est l'ensemble de puissance de Voir le § Notation ci-dessous pour plus d'informations. ${\style d'affichage f[A]}$${\style d'affichage f(A).}$${\style d'affichage f[\,\cdot \,]}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y.}$

Image d'une fonction

L' image d'une fonction est l'image de l'ensemble de son domaine , également appelé étendue de la fonction. Cette utilisation doit être évitée car le mot « plage » est également couramment utilisé pour désigner le codomaine de${\style d'affichage f.}$

Généralisation aux relations binaires

Si est une relation binaire arbitraire sur alors l'ensemble est appelé l'image, ou la plage, de Dually, l'ensemble est appelé le domaine de${\style d'affichage R}$${\style d'affichage X\fois Y,}$${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ pour certains }}x\in X\}}$${\style d'affichage R.}$${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ pour certains }}y\in Y\}}$${\style d'affichage R.}$

Image inversée

Soit une fonction de à La préimage ou image inverse d'un ensemble sous noté est le sous-ensemble de défini par ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y.}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\style d'affichage f,}$${\style d'affichage f^{-1}[B],}$${\style d'affichage X}$

$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}$$

D' autres notations incluent et L' image inverse d' un ensemble singleton , désignée par ou par est également appelée la fibre ou la fibre sur ou l' ensemble de niveaux de L' ensemble de toutes les fibres sur les éléments de est une famille d' ensembles indexés par${\style d'affichage f^{-1}(B)}$${\style d'affichage f^{-}(B).}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$${\displaystyle f^{-1}[y],}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage y.}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage Y.}$

Par exemple, pour la fonction, l'image inverse de serait Encore une fois, s'il n'y a pas de risque de confusion, peut être désignée par et peut également être considérée comme une fonction de l'ensemble de puissance de à l'ensemble de puissance de La notation ne doit pas être confondue avec celle de la fonction inverse , bien qu'elle coïncide avec celle habituelle des bijections en ce que l' image inverse de sous est l' image de sous${\style d'affichage f(x)=x^{2},}$${\style d'affichage \{4\}}$${\style d'affichage \{-2,2\}.}$${\style d'affichage f^{-1}[B]}$${\style d'affichage f^{-1}(B),}$${\style d'affichage f^{-1}}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage f^{-1}}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage f^{-1}.}$

Notation pour l'image et l'image inversée

Les notations traditionnelles utilisées dans la section précédente peuvent prêter à confusion. Une alternative consiste à donner des noms explicites pour l'image et la préimage en tant que fonctions entre les ensembles de puissance :

Notation de flèche

• ${\displaystyle f^{\rightarrow } :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ avec ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow } :{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$ avec ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Notation étoile

• ${\displaystyle f_{\star } :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ à la place de ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star } :{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$ à la place de ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Autre terminologie

• Une autre notation utilisée dans la logique mathématique et la théorie des ensembles est${\style d'affichage f[A]}$${\style d'affichage f\,''A.}$
• Certains textes font référence à l'image de comme étant la plage de mais cet usage doit être évité car le mot "plage" est aussi couramment utilisé pour désigner le codomaine de${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f,}$${\style d'affichage f.}$

Exemples

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ Défini par ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\a,&{\mbox{if }}x=2\\c, &{\mbox{if }}x=3.\end{matrice}}\right.}$
   L' image de l'ensemble sous est L' image de la fonction est La préimage de est La préimage de est aussi La préimage de est l' ensemble vide${\style d'affichage \{2,3\}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage \{a,c\}.}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$${\style d'affichage \{a,b\}}$${\displaystyle f^{-1}(\{1,2\})=\{1,2\}.}$${\style d'affichage \{b,d\},}$ ${\displaystyle \{\,\}=\varnothing .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ Défini par ${\style d'affichage f(x)=x^{2}.}$
   L' image de sous est et l' image de est (l'ensemble de tous les nombres réels positifs et zéro). La préimage de under est La préimage de set under est l'ensemble vide, car les nombres négatifs n'ont pas de racines carrées dans l'ensemble des réels.${\style d'affichage \{-2,3\}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle f^{-1}(\{-2,3\})=\{4,9\},}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\style d'affichage \{4,9\}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$${\style d'affichage f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ Défini par ${\style d'affichage f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   Les fibres sont des cercles concentriques autour de l' origine , l'origine elle-même et l' ensemble vide , selon que ce soit respectivement. (si alors la fibre est l'ensemble de tous satisfaisant l'équation de l'anneau concentrique d'origine )${\style d'affichage f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle a>0,a=0,{\text{ ou }}a<0,}$${\style d'affichage a>0,}$${\style d'affichage f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\style d'affichage x^{2}+y^{2}=a.}$
4. Si est une variété et est la projection canonique du faisceau tangent à alors les fibres de sont les espaces tangents C'est aussi un exemple d'un faisceau de fibres .${\style d'affichage M}$${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$${\style d'affichage M,}$${\style d'affichage \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. Un groupe quotient est une image homomorphe.

Propriétés

Contre-exemples basés sur les nombres réels définis en montrant que l'égalité n'a généralement pas besoin d' être vérifiée pour certaines lois : ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
Image montrant des ensembles non égaux : les ensembles et sont affichés en bleu immédiatement en dessous de l' axe - tandis que leur intersection est affichée en vert .${\displaystyle f\left(A\cap B\right)\subsetneq f(A)\cap f(B).}$${\style d'affichage A=[-4,2]}$${\style d'affichage B=[-2,4]}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage A_{3}=[-2,2]}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}\left(B_{3}\right)\right)\subsetneq B_{3}.}$
${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(A_{4}\right)\right)\supsetneq A_{4}.}$

Général

Pour chaque fonction et tous les sous - ensembles et les propriétés suivantes sont valables : ${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$

Image	Préimage
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\style d'affichage f^{-1}(Y)=X}$
${\style d'affichage f\gauche(f^{-1}(Y)\droit)=f(X)}$	${\style d'affichage f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B}$ (égal si par exemple, si est surjectif) ${\displaystyle B\subseteq f(X);}$${\style d'affichage f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (égal si est injectif) ${\style d'affichage f}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle \left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\style d'affichage f\gauche(f^{-1}(f(A))\droit)=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \,{\text{ si et seulement si }}\,A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ si et seulement si }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\,{\text{ si et seulement si }}{\text{ il existe }}C\subseteq A{\text{ tel que }}f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ si et seulement si }}\,f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ si et seulement si }}\,f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ si et seulement si }}\,f^{-1}(B)= X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f\gauche(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$

Aussi:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ si et seulement si }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Fonctions multiples

Pour les fonctions et avec des sous - ensembles et les propriétés suivantes sont valables : ${\style d'affichage f:X\à Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\style d'affichage A\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\style d'affichage (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\style d'affichage (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Plusieurs sous-ensembles de domaine ou codomaine

Pour la fonction et les sous-ensembles et les propriétés suivantes sont valables : ${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage A,B\subseteq X}$${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

Image	Préimage
${\displaystyle A\subseteq B\,{\text{ implique }}\,f(A)\subseteq f(B)}$	${\displaystyle S\subseteq T\,{\text{ implique }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}$	${\displaystyle f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}$ (égal si est injectif) ${\style d'affichage f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)}$ (égal si est injectif) ${\style d'affichage f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f\gauche(A\triangle B\droite)\supseteq f(A)\triangle f(B)}$ (égal si est injectif) ${\style d'affichage f}$	${\displaystyle f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)}$

Les résultats reliant les images et les préimages à l' algèbre ( booléenne ) d' intersection et d' union fonctionnent pour toute collection de sous-ensembles, pas seulement pour des paires de sous-ensembles :

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s }\droit)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s }\droit)}$

(Ici, peut être infini, voire infiniment infini .) ${\style d'affichage S}$

En ce qui concerne l'algèbre des sous-ensembles décrite ci-dessus, la fonction image inverse est un homomorphisme de réseau , tandis que la fonction image n'est qu'un homomorphisme de demi- réseau (c'est-à-dire qu'elle ne préserve pas toujours les intersections).

Voir également

• Bijection, injection et surjection  – Propriétés des fonctions mathématiques
• Image (théorie des catégories)
• Noyau d'une fonction
• Inversion d'ensemble  - problème mathématique consistant à trouver l'ensemble mappé par une fonction spécifiée à une certaine plage

Remarques

Les références

• Artin, Michel (1991). Algèbre . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, TS (2005). Réseaux et structures algébriques ordonnées . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). Fondements de convergence de la topologie . New Jersey : Société d'édition scientifique mondiale. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Halmos, Paul R. (1960). Théorie des ensembles naïf . La série universitaire en mathématiques de premier cycle. Société van Nostrand. ISBN 9780442030643. Zbl  0087.04403 .
• Kelley, John L. (1985). Topologie générale . Textes d'études supérieures en mathématiques . 27 (2 éd.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topologie (Deuxième éd.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

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