Incircle et excercles d'un triangle - Incircle and excircles of a triangle

UNE    triangle avec    incircle, incenter ( ),    exinscrits, excentriques ( , , ),    bissectrices d'angle internes et    bissectrices d'angle externes. le    le triangle vert est le triangle excentral.

En géométrie , le cercle incorporé ou le cercle inscrit d'un triangle est le plus grand cercle contenu dans le triangle; elle touche (est tangente ) les trois côtés. Le centre du cercle incarné est un centre de triangle appelé incitateur du triangle .

Un excircle ou cercle inscrit du triangle est un cercle situé à l'extérieur du triangle, tangent à l'un de ses côtés et tangent aux extensions des deux autres . Chaque triangle a trois excercles distincts, chacun tangent à l'un des côtés du triangle.

Le centre du cercle incurvé, appelé inciseur , se trouve à l'intersection des trois bissectrices d'angle internes . Le centre d'un excircle est l'intersection de la bissectrice interne d'un angle (au sommet , par exemple) et des bissectrices externes des deux autres. Le centre de cet excircle est appelé excentre par rapport au sommet , ou excentre de . Du fait que la bissectrice interne d'un angle est perpendiculaire à sa bissectrice externe, il s'ensuit que le centre du cercle incorporé avec les trois centres excirculaires forment un système orthocentrique .

Tous les polygones réguliers ont des cercles tangents à tous les côtés, mais pas tous les polygones; ceux qui le font sont des polygones tangentiels . Voir aussi Lignes tangentes aux cercles .

Incircle et incenter

Supposons qu'il y ait un cercle avec un rayon et un centre . Soit la longueur de , la longueur de et la longueur de . Laissez aussi , et être les points de contact où les touches de incircle , et .

Au centre

L'incitateur est le point où les bissectrices des angles internes se rencontrent.

La distance entre le sommet et le stimulateur est:

Coordonnées trilinéaires

Les coordonnées trilinéaires pour un point dans le triangle sont le rapport de toutes les distances aux côtés du triangle. Étant donné que l'incitateur est à la même distance de tous les côtés du triangle, les coordonnées trilinéaires de l'incitateur sont

Coordonnées barycentriques

Les coordonnées barycentriques d'un point dans un triangle donnent des poids tels que le point est la moyenne pondérée des positions des sommets du triangle. Les coordonnées barycentriques de l'incitateur sont données par

où , et sont les longueurs des côtés du triangle, ou de manière équivalente ( en utilisant la loi des sinus ) par

où , et sont les angles aux trois sommets.

Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes de l'incitateur sont une moyenne pondérée des coordonnées des trois sommets en utilisant les longueurs des côtés du triangle par rapport au périmètre (c'est-à-dire en utilisant les coordonnées barycentriques données ci-dessus, normalisées pour additionner à l'unité) comme poids. Les poids sont positifs, donc l'incitateur se trouve à l'intérieur du triangle comme indiqué ci-dessus. Si les trois sommets sont situés à , et , et les côtés opposés de ces sommets ont des longueurs correspondant , et , le incenter est à

Rayon

Le inradius du cercle inscrit dans un triangle avec des côtés de longueur , , est donnée par

Voir la formule de Heron .

Distances aux sommets

En désignant l'incitateur de as , les distances de l'incitateur aux sommets combinées aux longueurs des côtés du triangle obéissent à l'équation

Aditionellement,

où et sont respectivement le circumradius et l' inradius du triangle .

Autres propriétés

L'ensemble des centres triangulaires peut recevoir la structure d'un groupe sous multiplication par coordonnées de coordonnées trilinéaires; dans ce groupe, l'incitateur forme l' élément identitaire .

Incircle et ses propriétés de rayon

Distances entre le sommet et les points de contact les plus proches

Les distances entre un sommet et les deux points de contact les plus proches sont égales; par exemple:

Autres propriétés

Supposons que les points de tangence du cercle intérieur divisent les côtés en longueurs de et , et , et et . Ensuite, le cercle a le rayon

et l'aire du triangle est

Si les altitudes de côtés de longueurs , et sont , et , le inradius est un tiers de la moyenne harmonique de ces altitudes; C'est,

Le produit du rayon de cercle inscrit et le cercle circonscrit rayon d'un triangle dont les côtés , et est

Certaines relations entre les côtés, le rayon du cercle et le rayon du cercle sont:

Toute ligne passant par un triangle qui divise à la fois l'aire du triangle et son périmètre en deux passe par l'incenteur du triangle (le centre de son cercle). Il y en a un, deux ou trois pour un triangle donné.

Dénotant le centre du cercle incarné de as , nous avons

et

Le rayon du cercle ne dépasse pas un neuvième de la somme des altitudes.

La distance au carré de l'incitateur au circumcenter est donnée par

,

et la distance entre l'incitateur et le centre du cercle de neuf points est

L'encoureur se trouve dans le triangle médian (dont les sommets sont les milieux des côtés).

Relation à l'aire du triangle

Le rayon du cercle est lié à l' aire du triangle. Le rapport de l'aire du cercle à l'aire du triangle est inférieur ou égal à , l'égalité ne s'appliquant qu'aux triangles équilatéraux .

Supposons qu'il y ait un cercle avec un rayon et un centre . Soit la longueur de , la longueur de et la longueur de . Maintenant, le cercle incarné est tangent à un certain point , et il en va de même. Ainsi, le rayon est une altitude de . Par conséquent, a la longueur et la hauteur de base , ainsi que la surface . De même, a une superficie et a une superficie . Puisque ces trois triangles se décomposent , on voit que l'aire est:

     et     

où est l'aire de et est son demi-mètre .

Pour une formule alternative, considérez . Il s'agit d'un triangle rectangle avec un côté égal à et l'autre côté égal à . La même chose est vraie pour . Le grand triangle est composé de six de ces triangles et la superficie totale est:

Triangle et pointe de Gergonne

Un triangle`` avec    en cercle,    incitateur ( ),    triangle de contact ( ) et    Pointe de Gergonne ( )

Le triangle de Gergonne (de ) est défini par les trois points de contact du cercle sur les trois côtés. Le point de contact opposé est noté , etc.

Ce triangle de Gergonne , est également connu sous le nom de triangle de contact ou triangle intouch de . Sa zone est

où , et sont le centre, le rayon du cercle inscrit , et semiperimeter du triangle d' origine, et , , et sont les longueurs des côtés du triangle d' origine. C'est la même zone que celle du triangle extouch .

Les trois lignes , et se coupent en un seul point appelé le point de Gergonne , noté (ou triangle centre X 7 ). Le point de Gergonne se trouve dans le disque orthocentroïde ouvert percé en son propre centre, et peut être n'importe quel point à l'intérieur.

Le point de Gergonne d'un triangle a un certain nombre de propriétés, dont le fait qu'il est le point symédien du triangle de Gergonne.

Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle intouch sont données par

Les coordonnées trilinéaires du point de Gergonne sont données par

ou, de manière équivalente, par la loi des sinus ,

Excircles et excentres

UNE    triangle avec    incircle, incenter ),    exinscrits, excentriques ( , , ),    bissectrices d'angle internes et    bissectrices d'angle externes. le    le triangle vert est le triangle excentral.

Un excircle ou cercle inscrit du triangle est un cercle situé à l'extérieur du triangle, tangent à l'un de ses côtés et tangent aux extensions des deux autres . Chaque triangle a trois excercles distincts, chacun tangent à l'un des côtés du triangle.

Le centre d'un excircle est l'intersection de la bissectrice interne d'un angle (au sommet , par exemple) et des bissectrices externes des deux autres. Le centre de cet excircle est appelé excentre par rapport au sommet , ou excentre de . Du fait que la bissectrice interne d'un angle est perpendiculaire à sa bissectrice externe, il s'ensuit que le centre du cercle incorporé avec les trois centres excirculaires forment un système orthocentrique .

Coordonnées trilinéaires des excentres

Alors que le incenter des a coordonnées trilinéaire , les ont trilinears excentriques , et .

Exradii

Les rayons des excercles sont appelés les exradii .

L'exradius de l'excircle opposé (si touchant , centré sur ) est

Voir la formule de Heron .

Dérivation de la formule exradii

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Laissez le cercle excentrique sur le côté toucher le côté étendu à , et laissez le rayon de cet excercle être et son centre être .

Alors est une altitude de , a donc la zone . Par un argument similaire, a aire et a aire . Ainsi l'aire du triangle est

.

Donc, par symétrie, désignant le rayon du cercle,

.

Par la loi des cosinus , nous avons

En combinant cela avec l'identité , nous avons

Mais , et ainsi

qui est la formule de Heron .

En combinant cela avec , nous avons

De même, donne

et

Autres propriétés

À partir des formules ci-dessus, on peut voir que les excercles sont toujours plus grands que le cercle incurvé et que le plus grand excircle est celui tangent au côté le plus long et le plus petit excircle est tangent au côté le plus court. De plus, la combinaison de ces formules donne:

Autres propriétés du cercle

La coque circulaire des excercles est tangente intérieurement à chacun des excercles et est donc un cercle d'Apollonius . Le rayon de ce cercle d'Apollonius est l' endroit où se trouve le rayon du cercle et est le demi-diamètre du triangle.

Les relations suivantes parmi les inradius , le cercle circonscrit , le semiperimeter , et les rayons de excircle , , :

Le cercle passant par les centres des trois cercles a un rayon .

Si est l' orthocentre de , alors

Triangle de Nagel et point de Nagel

le    extouch triangle ( ) et le    Point de Nagel ( ) d'un    triangle ( ). Les cercles orange sont les excercles du triangle.

Le triangle Nagel ou triangle extouch de est désigné par les sommets , et qui sont les trois points où les exinscrits touchent la référence et où se trouve en face de , etc. Ceci est également connu comme le triangle extouch de . Le cercle circonscrit du extouch est appelé le cercle Mandart .

Les trois lignes , et sont appelés les séparateurs du triangle; ils coupent chacun en deux le périmètre du triangle,

Les séparateurs se coupent en un seul point, le point de Nagel du triangle (ou centre du triangle X 8 ).

Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle extouch sont données par

Les coordonnées trilinéaires du point de Nagel sont données par

ou, de manière équivalente, par la loi des sinus ,

Le point de Nagel est le conjugué isotomique du point de Gergonne.

Constructions connexes

Cercle à neuf points et point Feuerbach

Le cercle à neuf points est tangent au cercle incurvé et fait des cercles

En géométrie , le cercle à neuf points est un cercle qui peut être construit pour n'importe quel triangle donné . Il est ainsi nommé car il passe par neuf points concycliques significatifs définis à partir du triangle. Ces neuf points sont:

En 1822, Karl Feuerbach découvrit que le cercle de neuf points de tout triangle est extérieurement tangent aux trois excercles de ce triangle et intérieurement tangent à son cercle incorporé ; ce résultat est connu sous le nom de théorème de Feuerbach . Il a prouvé que:

... le cercle qui passe par les pieds des altitudes d'un triangle est tangent aux quatre cercles qui à leur tour sont tangents aux trois côtés du triangle ... ( Feuerbach 1822 )

Le centre du triangle auquel le cercle incurvé et le cercle à neuf points se touchent est appelé le point de Feuerbach .

Triangles incentral et excentral

Les points d'intersection de l'angle intérieur bissectrices avec les segments , , et sont des sommets du triangle incentral . Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle incentral sont données par

Le triangle excentral d'un triangle de référence a des sommets au centre des excercles du triangle de référence. Ses côtés sont sur les bissectrices externes du triangle de référence (voir figure en haut de page ). Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle excentral sont données par

Equations pour quatre cercles

Laissez - être un point variable en coordonnées trilinéaire , et que , , . Les quatre cercles décrits ci-dessus sont donnés de manière équivalente par l'une ou l'autre des deux équations données:

  • Incircle:
  • - excircle:
  • - excircle:
  • - excircle:

Théorème d'Euler

Le théorème d'Euler stipule que dans un triangle:

où et sont respectivement le circumradius et inradius, et est la distance entre le circumcenter et le incenter.

Pour les excercles, l'équation est similaire:

où est le rayon de l'un des excercles, et est la distance entre le circumcenter et le centre de cet excircle.

Généralisation à d'autres polygones

Certains quadrilatères (mais pas tous) ont un cercle. Ceux-ci sont appelés quadrilatères tangentiels . Parmi leurs nombreuses propriétés, la plus importante est peut-être que leurs deux paires de côtés opposés ont des sommes égales. C'est ce qu'on appelle le théorème de Pitot .

Plus généralement, un polygone avec un nombre quelconque de côtés qui a un cercle inscrit (c'est-à-dire un qui est tangent à chaque côté) est appelé un polygone tangentiel .

Voir également

Remarques

Références

  • Altshiller-Court, Nathan (1925), Collège Géométrie: Introduction à la géométrie moderne du triangle et du cercle (2e éd.), New York: Barnes & Noble , LCCN   52013504
  • Kay, David C. (1969), Géométrie College , New York: Holt, Rinehart et Winston , LCCN   69012075
  • Kimberling, Clark (1998). "Centres Triangle et Triangles Centraux". Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
  • Kiss, Sándor (2006). "Les Triangles Orthique-d'Intouch et Intouch-d'Orthique". Forum Geometricorum (6): 171–177.

Liens externes

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