Inclusion (algèbre booléenne) - Inclusion (Boolean algebra)

En algèbre booléenne , la relation d'inclusion est définie comme et est l'analogue booléen de la relation de sous - ensemble dans la théorie des ensembles . L'inclusion est un ordre partiel . ${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle ab '= 0}$

La relation d'inclusion peut être exprimée de plusieurs manières: ${\ displaystyle a <b}$

• ${\ displaystyle a <b}$
• ${\ displaystyle ab '= 0}$
• ${\ displaystyle a '+ b = 1}$
• ${\ displaystyle b '<a'}$
• ${\ displaystyle a + b = b}$
• ${\ displaystyle ab = a}$

La relation d'inclusion a une interprétation naturelle dans diverses algèbres booléennes: dans l'algèbre de sous-ensemble, la relation de sous - ensemble ; en algèbre booléenne arithmétique, divisibilité ; dans l' algèbre des propositions , implication matérielle ; dans l'algèbre à deux éléments, l'ensemble {(0,0), (0,1), (1,1)}.

Certaines propriétés utiles de la relation d'inclusion sont:

• ${\ displaystyle a \ leq a + b}$
• ${\ displaystyle ab \ leq a}$

La relation d'inclusion peut être utilisée pour définir des intervalles booléens tels que . Une algèbre booléenne dont l'ensemble de porteurs est restreint aux éléments d'un intervalle est elle-même une algèbre booléenne. ${\ Displaystyle a \ leq x \ leq b}$

Les références

• Frank Markham Brown, Raisonnement booléen: La logique des équations booléennes , 2e édition, 2003, p. 34, 52