Équations cohérentes et incohérentes - Consistent and inconsistent equations

En mathématiques et en particulier en algèbre , un système d'équations linéaire ou non linéaire est appelé cohérent s'il existe au moins un ensemble de valeurs pour les inconnues qui satisfont chaque équation du système, c'est-à-dire que lorsqu'elles sont substituées dans chacune des équations, elles font chaque équation est vraie en tant qu'identité . En revanche, un système d'équations linéaire ou non linéaire est dit incohérent s'il n'existe pas d'ensemble de valeurs pour les inconnues qui satisfasse toutes les équations.

Si un système d'équations est incohérent, il est alors possible de manipuler et de combiner les équations de manière à obtenir des informations contradictoires, telles que 2 = 1, ou x ³ + y ³ = 5 et x ³ + y ³ = 6 (ce qui implique 5 = 6).

Les deux types de système d'équations, cohérents et incohérents, peuvent être surdéterminés (ayant plus d'équations que d'inconnues), sous- déterminés (ayant moins d'équations que d'inconnues) ou exactement déterminés.

Exemples simples

Sous-déterminé et cohérent

Le système

${\style d'affichage x+y+z=3,}$

${\style d'affichage x+y+2z=4}$

a un nombre infini de solutions, toutes ayant z = 1 (comme on peut le voir en soustrayant la première équation de la seconde), et toutes ayant donc x+y = 2 pour toutes les valeurs de x et y .

Le système non linéaire

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}+z^{2}=10,}$

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}=5}$

a une infinité de solutions, toutes impliquant ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Puisque chacun de ces systèmes a plus d'une solution, il s'agit d'un système indéterminé .

Sous-déterminé et incohérent

Le système

${\style d'affichage x+y+z=3,}$

${\style d'affichage x+y+z=4}$

n'a pas de solution, comme on peut le voir en soustrayant la première équation de la seconde pour obtenir l'impossible 0 = 1.

Le système non linéaire

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}+z^{2}=17,}$

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}+z^{2}=14}$

n'a pas de solutions, car si une équation est soustraite de l'autre, nous obtenons l'impossible 0 = 3.

Exactement déterminé et cohérent

Le système

${\style d'affichage x+y=3,}$

${\style d'affichage x+2y=5}$

a exactement une solution : x = 1, y = 2.

Le système non linéaire

${\style d'affichage x+y=1,}$

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}=1}$

a les deux solutions ( x, y ) = (1, 0) et ( x, y ) = (0, 1), tandis que

${\style d'affichage x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\style d'affichage x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\displaystyle 3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=34}$

a un nombre infini de solutions car la troisième équation est la première équation plus deux fois la seconde et ne contient donc aucune information indépendante ; ainsi n'importe quelle valeur de z peut être choisie et les valeurs de x et y peuvent être trouvées pour satisfaire les deux premières (et donc la troisième) équations.

Exactement déterminé et incohérent

Le système

${\style d'affichage x+y=3,}$

${\style d'affichage 4x+4y=10}$

n'a pas de solutions ; l'incohérence peut être vue en multipliant la première équation par 4 et en soustrayant la deuxième équation pour obtenir l'impossible 0 = 2.

De même,

${\style d'affichage x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\style d'affichage x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\displaystyle 3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=32}$

est un système incohérent car la première équation plus deux fois la seconde moins la troisième contient la contradiction 0 = 2.

Surdéterminé et cohérent

Le système

${\style d'affichage x+y=3,}$

${\style d'affichage x+2y=7,}$

${\style d'affichage 4x+6y=20}$

a une solution, x = –1, y = 4, car les deux premières équations ne se contredisent pas et la troisième équation est redondante (puisqu'elle contient les mêmes informations que celles qui peuvent être obtenues à partir des deux premières équations en multipliant chacune par par 2 et en les additionnant).

Le système

${\style d'affichage x+2y=7,}$

${\style d'affichage 3x+6y=21,}$

${\style d'affichage 7x+14y=49}$

a une infinité de solutions puisque les trois équations donnent la même information (comme on peut le voir en multipliant par la première équation par 3 ou 7). Toute valeur de y fait partie d'une solution, la valeur correspondante de x étant 7-2y.

Le système non linéaire

${\style d'affichage x^{2}-1=0,}$

${\style d'affichage y^{2}-1=0,}$

${\style d'affichage (x-1)(y-1)=0}$

a les trois solutions ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1) et (1, 1).

Surdéterminé et incohérent

Le système

${\style d'affichage x+y=3,}$

${\style d'affichage x+2y=7,}$

${\style d'affichage 4x+6y=21}$

est incohérent car la dernière équation contredit les informations contenues dans les deux premières, comme on le voit en multipliant chacune des deux premières par 2 et en les additionnant.

Le système

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}=1,}$

${\style d'affichage x^{2}+2y^{2}=2,}$

${\style d'affichage 2x^{2}+3y^{2}=4}$

est incohérent car la somme des deux premières équations contredit la troisième.

Critères de cohérence

Comme le montrent les exemples ci-dessus, la cohérence par rapport à l'incohérence est un problème différent de la comparaison du nombre d'équations et d'inconnues.

Systèmes linéaires

Un système linéaire est cohérent si et seulement si sa matrice de coefficients a le même rang que sa matrice augmentée (la matrice de coefficients avec une colonne supplémentaire ajoutée, cette colonne étant le vecteur colonne des constantes).

Systèmes non linéaires

Les références