Mathématiques indiennes - Indian mathematics

Les mathématiques indiennes ont émergé dans le sous-continent indien de 1200 avant JC jusqu'à la fin du XVIIIe siècle. Dans la période classique des mathématiques indiennes (400 à 1200 après JC), des contributions importantes ont été apportées par des érudits comme Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II et Varāhamihira . Le système de nombres décimaux utilisé aujourd'hui a été enregistré pour la première fois dans les mathématiques indiennes. Les mathématiciens indiens ont apporté des contributions précoces à l'étude du concept de zéro en tant que nombre, nombres négatifs , arithmétique et algèbre . De plus, la trigonométrie a été encore plus avancée en Inde et, en particulier, les définitions modernes du sinus et du cosinus y ont été développées. Ces concepts mathématiques ont été transmis au Moyen-Orient, en Chine et en Europe et ont conduit à de nouveaux développements qui constituent désormais les fondements de nombreux domaines des mathématiques.

Les travaux mathématiques indiens anciens et médiévaux, tous composés en sanskrit , consistaient généralement en une section de sutras dans lesquels un ensemble de règles ou de problèmes étaient énoncés avec une grande économie de vers afin d'aider l'étudiant à mémoriser. Cela a été suivi d'une deuxième section consistant en un commentaire en prose (parfois plusieurs commentaires de différents savants) qui expliquait le problème plus en détail et justifiait la solution. Dans la section de prose, la forme (et donc sa mémorisation) n'était pas considérée comme aussi importante que les idées impliquées. Tous les travaux mathématiques ont été transmis oralement jusqu'à environ 500 avant notre ère ; par la suite, ils ont été transmis à la fois oralement et sous forme manuscrite. Le plus ancien document mathématique existant produit sur le sous-continent indien est le manuscrit de Bakhshali en écorce de bouleau , découvert en 1881 dans le village de Bakhshali , près de Peshawar (aujourd'hui Pakistan ) et date probablement du 7e siècle de notre ère.

Un point de repère ultérieur dans les mathématiques indiennes a été le développement des développements en série pour les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et arc tangent ) par les mathématiciens de l' école du Kerala au XVe siècle de notre ère. Leurs travaux remarquables, achevés deux siècles avant l'invention du calcul en Europe, ont fourni ce qui est maintenant considéré comme le premier exemple de série entière (en dehors des séries géométriques). Cependant, ils n'ont pas formulé de théorie systématique de la différenciation et de l' intégration , et il n'y a aucune preuve directe de la transmission de leurs résultats en dehors du Kerala .

Préhistoire

Les fouilles à Harappa , Mohenjo-daro et d'autres sites de la civilisation de la vallée de l' Indus ont mis au jour des preuves de l'utilisation des « mathématiques pratiques ». Les habitants de la civilisation de la vallée de l'Indus fabriquaient des briques dont les dimensions étaient dans la proportion 4:2:1, considérées comme favorables à la stabilité d'une structure en briques. Ils ont utilisé un système standardisé de poids basé sur les rapports : 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 et 500, avec l'unité poids égal à environ 28 grammes (et approximativement égal à l'once anglaise ou à l'uncia grecque). Ils produisaient en masse des poids de formes géométriques régulières , qui comprenaient des hexaèdres , des barils , des cônes et des cylindres , démontrant ainsi une connaissance de la géométrie de base .

Les habitants de la civilisation de l'Indus ont également essayé de standardiser la mesure de la longueur avec un haut degré de précision. Ils ont conçu une règle, la règle Mohenjo-daro, dont l'unité de longueur (environ 1,32 pouces ou 3,4 centimètres) était divisée en dix parties égales. Les briques fabriquées dans l'ancien Mohenjo-daro avaient souvent des dimensions qui étaient des multiples entiers de cette unité de longueur.

Il a été démontré que les objets cylindriques creux faits de coquille et trouvés à Lothal (2200 avant notre ère) et à Dholavira ont la capacité de mesurer des angles dans un plan, ainsi que de déterminer la position des étoiles pour la navigation.

Période védique


Samhitas et Brahmanes

Les textes religieux de la période védique fournissent des preuves de l'utilisation de grands nombres . À l'époque du Yajurvedasaṃhitā- (1200-900 avant notre ère), des nombres aussi élevés que 10 12 étaient inclus dans les textes. Par exemple, le mantra (récitation sacrée) à la fin de l' annahoma (« rite d'oblation alimentaire ») exécuté pendant l' aśvamedha et prononcé juste avant, pendant et juste après le lever du soleil, invoque des pouvoirs de dix de cent à un billion :

Salut à śata (« cent », 10 2 ), salut à sahasra (« mille », 10 3 ), salut à ayuta (« dix mille », 10 4 ), salut à niyuta (« cent mille », 10 5 ), salut à Prayuta ("million," 10 6 ), salut à arbuda ("dix millions," 10 7 ), salut à nyarbuda ("cent millions," 10 8 ), salut à samudra ("milliard," 10 9 , littéralement "océan"), salut à madhya ("dix milliards," 10 10 , littéralement "milieu"), salut à anta ("cent milliards," 10 11 , lit., "fin"), salut à parārdha ("un trillion ," 10 12 lit., "au-delà des parties"), salut à uṣas (aube) , salut au vyuṣṭi (crépuscule), salut à udeṣyat (celui qui va se lever), salut à udyat (celui qui est levant), salut udita (à celui qui vient de se lever), salut à svarga (le ciel), salut à martya (le monde), salut à tous.

La solution de la fraction partielle était connue du peuple rigvédique sous le nom d'états dans le purush Sukta (RV 10.90.4) :

Avec les trois quarts Puruṣa monta : un quart de lui était encore ici.

Le Satapatha Brahmana ( vers le 7ème siècle avant notre ère) contient des règles pour les constructions géométriques rituelles qui sont similaires aux Sulba Sutras.

ulba Sûtras

Les Śulba Sūtras (littéralement, "Aphorismes des accords" en sanskrit védique ) (vers 700-400 avant notre ère) énumèrent les règles pour la construction d'autels de feu sacrificiels. La plupart des problèmes mathématiques considérés dans les Śulba Sūtras découlent « d'une seule exigence théologique », celle de construire des autels de feu qui ont des formes différentes mais occupent la même zone. Les autels devaient être construits de cinq couches de briques cuites, avec la condition supplémentaire que chaque couche se compose de 200 briques et qu'il n'y ait pas deux couches adjacentes d'arrangements de briques congruents.

Selon ( Hayashi 2005 , p. 363), les Śulba Sūtras contiennent « la première expression verbale existante du théorème de Pythagore dans le monde, bien qu'elle ait déjà été connue des anciens babyloniens ».

La corde diagonale ( akṣṇayā-rajju ) d'un oblong (rectangle) produit à la fois que le flanc ( pārśvamāni ) et l'horizontale ( tiryaṇmānī ) <cordes> produisent séparément."

Puisque l'énoncé est un sûtra , il est nécessairement comprimé et ce que produisent les cordes n'est pas élaboré, mais le contexte implique clairement les aires carrées construites sur leurs longueurs, et l'enseignant l'aurait expliqué ainsi à l'élève.

Ils contiennent des listes de triplets pythagoriciens , qui sont des cas particuliers d' équations diophantiennes . Ils contiennent également des déclarations (que, rétrospectivement, nous savons être approximatives) sur la quadrature du cercle et « entourer le carré ».

Baudhayana (c. 8ème siècle avant notre ère) a composé le Baudhayana Sulba Sutra , le plus connu Sulba Sutra , qui contient des exemples de simples triplets pythagoriciens, tels que : (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) , et (12, 35, 37) , ainsi qu'un énoncé du théorème de Pythagore pour les côtés d'un carré : « La corde qui est tendue sur la diagonale d'un square produit une surface double de la taille du carré d'origine." Il contient également l'énoncé général du théorème de Pythagore (pour les côtés d'un rectangle) : « La corde tendue le long de la diagonale d'un rectangle fait une zone que les côtés vertical et horizontal forment ensemble ». Baudhayana donne une expression pour la racine carrée de deux :

L'expression est précise jusqu'à cinq décimales, la vraie valeur étant 1,41421356... Cette expression est de structure similaire à l'expression trouvée sur une tablette mésopotamienne de la période babylonienne ancienne (1900-1600 avant notre ère ) :

qui exprime 2 dans le système sexagésimal, et qui est également précis jusqu'à 5 décimales.

Selon le mathématicien SG Dani, la tablette cunéiforme babylonienne Plimpton 322 écrite c. 1850 AEC "contient quinze triplets pythagoriciens avec des entrées assez grandes, y compris (13500, 12709, 18541) qui est un triplet primitif, indiquant, en particulier, qu'il y avait une compréhension sophistiquée sur le sujet" en Mésopotamie en 1850 AEC. "Étant donné que ces tablettes sont antérieures de plusieurs siècles à la période Sulbasutras, compte tenu de l'apparence contextuelle de certains des triplets, il est raisonnable de s'attendre à ce qu'une compréhension similaire ait existé en Inde." Dani poursuit en disant :

Comme l'objectif principal des Sulvasutras était de décrire les constructions des autels et les principes géométriques qui y sont impliqués, le sujet des triplets pythagoriciens, même s'il avait été bien compris, n'a peut-être pas encore figuré dans les Sulvasutras . L'occurrence des triplets dans les Sulvasutras est comparable aux mathématiques que l'on peut rencontrer dans un livre d'introduction à l'architecture ou à un autre domaine d'application similaire, et ne correspondrait pas directement à la connaissance globale sur le sujet à cette époque. Comme, malheureusement, aucune autre source contemporaine n'a été trouvée, il ne sera peut-être jamais possible de régler cette question de manière satisfaisante.

En tout, trois Sulba Sutras ont été composés. Les deux autres, le Manava Sulba Sutra composé par Manava (vers 750-650 avant notre ère) et l' Apastamba Sulba Sutra , composé par Apastamba (vers 600 avant notre ère), contenaient des résultats similaires au Baudhayana Sulba Sutra .

Viakarana

Une étape importante de la période védique fut l'œuvre de grammairien sanscrit , Pāṇini (c. 520-460 avant notre ère). Sa grammaire comprend l'utilisation précoce de la logique booléenne , de l' opérateur nul et des grammaires sans contexte , et comprend un précurseur de la forme Backus-Naur (utilisée dans les langages de programmation de description ).

Pingala (300 AEC – 200 AEC)

Parmi les érudits de la période post-védique qui ont contribué aux mathématiques, le plus notable est Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300-200 avant notre ère), un théoricien de la musique qui a écrit le Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , également Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ), un traité sanskrit sur la prosodie . Il est prouvé que dans son travail sur l'énumération des combinaisons syllabiques, Pingala est tombé sur le triangle de Pascal et les coefficients binomiaux , bien qu'il n'ait pas eu connaissance du théorème du binôme lui-même. Le travail de Pingala contient également les idées de base des nombres de Fibonacci (appelés maatraameru ). Bien que le sutra de Chandah n'ait pas survécu dans son intégralité, un commentaire du Xe siècle par Halāyudha a survécu. Halāyudha, qui se réfère au triangle pascal comme Meru -prastāra (littéralement "l'escalier vers le mont Meru"), a ceci à dire :

Dessinez un carré. En commençant à la moitié du carré, dessinez deux autres carrés similaires en dessous; en dessous de ces deux, trois autres carrés, et ainsi de suite. Le marquage doit commencer en mettant 1 dans le premier carré. Mettez 1 dans chacun des deux carrés de la deuxième ligne. Dans la troisième ligne, mettez 1 dans les deux carrés aux extrémités et, dans le carré du milieu, la somme des chiffres dans les deux carrés situés au-dessus. Dans la quatrième ligne, mettez 1 dans les deux carrés aux extrémités. Au milieu, mettez la somme des chiffres dans les deux carrés au-dessus de chacun. Procédez de cette façon. Parmi ces vers, le deuxième donne les combinaisons avec une syllabe, le troisième les combinaisons avec deux syllabes, ...

Le texte indique également que Pingala était au courant de l' identité combinatoire :

Kātyāyana

Kātyāyana (c. 3ème siècle avant notre ère) est remarquable pour être le dernier des mathématiciens védiques. Il a écrit le Katyayana Sulba Sutra , qui présentait beaucoup de géométrie , y compris le théorème général de Pythagore et un calcul de la racine carrée de 2 à cinq décimales près.

Mathématiques jaïnes (400 avant notre ère – 200 après J.-C.)

Bien que le jaïnisme soit une religion et que la philosophie soit antérieure à son représentant le plus célèbre, le grand Mahaviraswami (6ème siècle avant notre ère), la plupart des textes jaïns sur des sujets mathématiques ont été composés après le 6ème siècle avant notre ère. Les mathématiciens jaïns sont importants historiquement en tant que liens cruciaux entre les mathématiques de la période védique et celles de la « période classique ».

Une contribution historique importante des mathématiciens jaïns réside dans le fait qu'ils ont libéré les mathématiques indiennes de leurs contraintes religieuses et rituelles. En particulier, leur fascination pour l'énumération des très grands nombres et des infinis les a conduits à classer les nombres en trois classes : énumérables, innombrables et infinis . Non content d'une simple notion d'infini, leurs textes définissent cinq types différents d'infini : l'infini dans un sens, l'infini dans les deux sens, l'infini en superficie, l'infini partout et l'infini perpétuellement. De plus, les mathématiciens jaïns ont conçu des notations pour les puissances simples (et les exposants) des nombres comme les carrés et les cubes, ce qui leur a permis de définir des équations algébriques simples ( beejganita samikaran ). Les mathématiciens jaïns furent apparemment aussi les premiers à utiliser le mot shunya (littéralement vide en sanskrit ) pour désigner zéro. Plus d'un millénaire plus tard, leur appellation est devenue le mot anglais "zéro" après un voyage tortueux de traductions et de translittérations de l'Inde vers l'Europe. (Voir Zéro : Étymologie .)

En plus de Surya Prajnapti , d'importants travaux jaïns sur les mathématiques comprenaient le Sthananga Sutra (vers 300 avant notre ère - 200 après JC); le Sutra Anuyogadwara (vers 200 avant J.-C. – 100 après J.-C.) ; et le Satkhandagama (vers le IIe siècle de notre ère). D'importants mathématiciens jaïns comprenaient Bhadrabahu (mort en 298 avant notre ère), l'auteur de deux ouvrages astronomiques, le Bhadrabahavi-Samhita et un commentaire sur le Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (vers 176 avant notre ère), auteur d'un texte mathématique intitulé Tiloyapannati ; et Umasvati (vers 150 avant notre ère), qui, bien que mieux connu pour ses écrits influents sur la philosophie et la métaphysique jaïns , a composé un ouvrage mathématique appelé Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .

Tradition orale

Les mathématiciens de l'Inde ancienne et du début du Moyen Âge étaient presque tous des pandits sanskrits ( paṇḍita « homme érudit »), qui avaient été formés à la langue et à la littérature sanskrites, et possédaient « un stock commun de connaissances en grammaire ( vyākaraṇa ), en exégèse ( mīmāṃsā ) et en logique ( nyāya )." La mémorisation de « ce qui est entendu » ( śruti en sanskrit) par la récitation a joué un rôle majeur dans la transmission des textes sacrés dans l'Inde ancienne. La mémorisation et la récitation étaient également utilisées pour transmettre des œuvres philosophiques et littéraires, ainsi que des traités de rituel et de grammaire. Les érudits modernes de l'Inde ancienne ont noté les "réalisations vraiment remarquables des pandits indiens qui ont préservé oralement des textes extrêmement volumineux pendant des millénaires".

Styles de mémorisation

Une énergie prodigieuse a été dépensée par l'ancienne culture indienne pour faire en sorte que ces textes soient transmis de génération en génération avec une fidélité démesurée. Par exemple, la mémorisation des Védas sacrés comprenait jusqu'à onze formes de récitation du même texte. Les textes ont ensuite été « relus » en comparant les différentes versions récitées. Les formes de récitation comprenaient le jaṭā-pāṭha (littéralement "récitation en maille") dans laquelle deux mots adjacents dans le texte étaient d'abord récités dans leur ordre d'origine, puis répétés dans l'ordre inverse et enfin répétés dans l'ordre d'origine. La récitation se déroulait ainsi :

mot1mot2, mot2mot1, mot1mot2 ; mot2mot3, mot3mot2, mot2mot3 ; ...

Dans une autre forme de récitation, dhvaja-pāṭha (littéralement « récitation du drapeau »), une séquence de N mots a été récitée (et mémorisée) en associant les deux premiers et les deux derniers mots, puis en procédant comme suit :

mot 1 mot 2 , mot N − 1 mot N ; mot 2 mot 3 , mot N − 3 mot N − 2 ; ..; mot N − 1 mot N , mot 1 mot 2 ;

La forme de récitation la plus complexe, ghana-pāṭha (littéralement « récitation dense »), selon ( Filliozat 2004 , p. 139), a pris la forme :

mot1mot2, mot2mot1, mot1mot2mot3, mot3mot2mot1, mot1mot2mot3 ; mot2mot3, mot3mot2, mot2mot3mot4, mot4mot3mot2, mot2mot3mot4 ; ...

L'efficacité de ces méthodes est attestée par la préservation du plus ancien texte religieux indien, l' Ṛgveda (vers 1500 avant notre ère), en un seul texte, sans aucune variante de lecture. Des méthodes similaires ont été utilisées pour mémoriser des textes mathématiques, dont la transmission est restée exclusivement orale jusqu'à la fin de la période védique (vers 500 avant notre ère).

Le genre Sutra

L'activité mathématique dans l'Inde ancienne a commencé dans le cadre d'une « réflexion méthodologique » sur les Vedas sacrés , qui a pris la forme d'œuvres appelées Vedāṇgas , ou « auxiliaires des Védas » (7e-4e siècle avant notre ère). La nécessité de conserver le son du texte sacré en utilisant śikṣā ( phonétique ) et chhandas ( métrique ) ; conserver son sens en utilisant vyākaraṇa ( grammaire ) et nirukta ( étymologie ); et exécuter correctement les rites au bon moment par l'utilisation du kalpa ( rituel ) et de la jyotiṣa ( astrologie ), a donné naissance aux six disciplines des Vedāṇgas . Les mathématiques sont apparues dans le cadre des deux dernières disciplines, le rituel et l'astronomie (qui comprenait également l'astrologie). Comme les Vedāṇgas ont immédiatement précédé l'usage de l'écriture dans l'Inde ancienne, ils ont constitué la dernière de la littérature exclusivement orale. Ils étaient exprimés sous une forme mnémotechnique très compressée, le sūtra (littéralement, « fil ») :

Les connaissants des sūtra savent comme ayant peu phonèmes, étant dépourvue d'ambiguïté, contenant l'essence, face à tout, être sans pause et unobjectionable.

Une extrême brièveté a été obtenue par de multiples moyens, notamment l'utilisation de points de suspension "au-delà de la tolérance du langage naturel", l'utilisation de noms techniques au lieu de noms descriptifs plus longs, la réduction des listes en ne mentionnant que la première et la dernière entrées, et l'utilisation de marqueurs et de variables. Les sūtras donnent l'impression que la communication par le texte était « seulement une partie de l'instruction tout. Le reste de l'instruction doit avoir été transmis par le soi-disant Guru-shishya parampara , « succession ininterrompue de maître ( guru ) à l'étudiant ( śisya ),' et il n'était pas ouvert au grand public" et peut-être même gardé secret. La brièveté atteinte dans un sūtra est démontrée dans l'exemple suivant du Baudhāyana Śulba Sūtra (700 avant notre ère).

La conception de l'autel du feu domestique dans le ulba Sūtra

L'autel du feu domestique à l' époque védique devait par le rituel avoir une base carrée et être constitué de cinq couches de briques avec 21 briques dans chaque couche. Une méthode de construction de l'autel consistait à diviser un côté du carré en trois parties égales à l'aide d'une corde ou d'une corde, puis de diviser le côté transversal (ou perpendiculaire) en sept parties égales, et ainsi de subdiviser le carré en 21 rectangles congrus. . Les briques ont ensuite été conçues pour avoir la forme du rectangle constitutif et la couche a été créée. Pour former la couche suivante, la même formule a été utilisée, mais les briques ont été disposées transversalement. Le processus a ensuite été répété trois fois de plus (avec des directions alternées) afin de terminer la construction. Dans le Baudhāyana Śulba Sūtra , cette procédure est décrite dans les termes suivants :

II.64. Après avoir divisé le quadrilatère en sept, on divise la corde transversale en trois.
II.65. Dans une autre couche, on place les [briques] pointant vers le nord.

Selon ( Filliozat 2004 , p. 144), l'officiant qui construit l'autel ne dispose que de quelques outils et matériaux : une corde (sanskrit, rajju , f.), deux chevilles (sanskrit, śanku , m.), et l'argile pour faire les briques (sanskrit, iṣṭakā , f.). La concision est obtenue dans le Sûtra , en ne mentionnant pas explicitement ce que l'adjectif « transversal » qualifie ; cependant, à partir de la forme féminine de l'adjectif (sanskrit) utilisé, il est facilement déduit de qualifier "corde". De même, dans la deuxième strophe, les « briques » ne sont pas explicitement mentionnées, mais de nouveau déduites par la forme plurielle féminine de « pointant vers le nord ». Enfin, la première strophe, ne dit jamais explicitement que la première couche de briques est orientée dans la direction Est-Ouest, mais cela aussi est impliqué par la mention explicite de « pointant vers le nord » dans la deuxième strophe ; car, si l'orientation devait être la même dans les deux couches, soit elle ne serait pas mentionnée du tout, soit elle ne serait mentionnée que dans la première strophe. Toutes ces déductions sont faites par l'officiant lorsqu'il rappelle la formule de sa mémoire.

La tradition écrite : commentaire en prose

Avec la complexité croissante des mathématiques et d'autres sciences exactes, l'écriture et le calcul étaient nécessaires. Par conséquent, de nombreux travaux mathématiques ont commencé à être écrits dans des manuscrits qui ont ensuite été copiés et recopiés de génération en génération.

On estime aujourd'hui que l'Inde possède environ trente millions de manuscrits, le plus grand corpus de lecture manuscrite au monde. La culture lettrée de la science indienne remonte au moins au Ve siècle av.

Le premier commentaire en prose mathématique était celui de l'ouvrage, Āryabhaṭīya (écrit en 499 CE), un ouvrage sur l'astronomie et les mathématiques. La partie mathématique de l' Āryabhaṭīya était composée de 33 sūtras (sous forme de vers) composés d'énoncés ou de règles mathématiques, mais sans aucune preuve. Cependant, selon ( Hayashi 2003 , p. 123), « cela ne signifie pas nécessairement que leurs auteurs ne les ont pas prouvés. C'était probablement une question de style d'exposition. À partir de l'époque de Bhaskara I (600 de notre ère), les commentaires en prose ont de plus en plus commencé à inclure des dérivations ( upapatti ). Le commentaire de Bhaskara I sur l' Āryabhaṭīya avait la structure suivante :

  • Règle ('sûtra') en vers par ryabhaṭa
  • Commentaire de Bhāskara I, composé de :
    • Élucidation de la règle (les dérivations étaient encore rares à l'époque, mais sont devenues plus courantes plus tard)
    • Exemple ( uddeśaka ) généralement en vers.
    • Paramétrage ( nyāsa/sthāpanā ) des données numériques.
    • Travail ( karana ) de la solution.
    • Vérification ( pratyayakaraṇa , littéralement "faire conviction") de la réponse. Ceux-ci sont devenus rares au 13ème siècle, les dérivations ou les preuves étant alors favorisées.

En règle générale, pour tout sujet mathématique, les étudiants de l'Inde ancienne ont d'abord mémorisé les sûtras , qui, comme expliqué précédemment, étaient "délibérément inadéquats" dans les détails explicatifs (afin de transmettre de manière concise les règles mathématiques simples). Les élèves ont ensuite travaillé sur les sujets du commentaire en prose en écrivant (et en dessinant des diagrammes) sur des tableaux à craie et à poussière ( c'est -à- dire des tableaux recouverts de poussière). Cette dernière activité, un aliment de base du travail mathématique, était mathématicien astronome plus tard rapide, Brahmagupta ( . Fl CE 7ème siècle), pour caractériser les calculs astronomiques comme un « travail de poussière » (sanscrit: dhulikarman ).

Chiffres et système de nombres décimaux

Il est bien connu que le système de valeur de position décimale utilisé aujourd'hui a d'abord été enregistré en Inde, puis transmis au monde islamique, et finalement à l'Europe. L'évêque syrien Severus Sebokht a écrit au milieu du VIIe siècle après JC sur les « neuf signes » des Indiens pour exprimer les nombres. Cependant, comment, quand et où le premier système de valeur de position décimale a été inventé n'est pas si clair.

Le premier script existant utilisé en Inde était le script Kharoṣṭhī utilisé dans la culture Gandhara du nord-ouest. On pense qu'il est d' origine araméenne et qu'il était utilisé du 4ème siècle avant notre ère au 4ème siècle de notre ère. Presque à la même époque, une autre écriture, l' écriture Brāhmī , est apparue sur une grande partie du sous-continent, et deviendra plus tard la base de nombreuses écritures d'Asie du Sud et du Sud-Est. Les deux scripts avaient des symboles numériques et des systèmes numériques, qui n'étaient initialement pas basés sur un système de valeur de position.

La première preuve survivante de chiffres de valeur décimale en Inde et en Asie du Sud-Est date du milieu du premier millénaire de notre ère. Une plaque de cuivre du Gujarat, en Inde, mentionne la date 595 CE, écrite dans une notation de valeur décimale, bien qu'il y ait un doute quant à l'authenticité de la plaque. Des chiffres décimaux enregistrant les années 683 de notre ère ont également été trouvés dans des inscriptions en pierre en Indonésie et au Cambodge, où l'influence culturelle indienne était importante.

Il existe des sources textuelles plus anciennes, bien que les copies manuscrites existantes de ces textes datent de beaucoup plus tard. La plus ancienne de ces sources est probablement l'œuvre du philosophe bouddhiste Vasumitra datée probablement du 1er siècle de notre ère. Discutant des fosses de comptage des marchands, Vasumitra remarque : « Quand [la même] pièce de comptage en argile est à la place des unités, elle est notée un, quand en centaines, cent. Bien que de telles références semblent impliquer que ses lecteurs avaient connaissance d'une représentation à valeur de position décimale, la « brièveté de leurs allusions et l'ambiguïté de leurs dates, cependant, n'établissent pas solidement la chronologie du développement de ce concept ».

Une troisième représentation décimale a été utilisée dans une technique de composition de vers, plus tard appelée Bhuta-sankhya (littéralement, « numéros d'objets ») utilisée par les premiers auteurs sanskrits de livres techniques. Étant donné que de nombreuses premières œuvres techniques étaient composées en vers, les nombres étaient souvent représentés par des objets du monde naturel ou religieux qui leur correspondaient ; cela permettait une correspondance plusieurs-à-un pour chaque numéro et facilitait la composition des vers. Selon ( Plofker 2009 ), le chiffre 4, par exemple, pourrait être représenté par le mot « Veda » (puisqu'il y avait quatre de ces textes religieux), le chiffre 32 par le mot « dents » (puisqu'un ensemble complet se compose de 32), et le chiffre 1 par "lune" (puisqu'il n'y a qu'une seule lune). Ainsi, Veda/dents/lune correspondrait au nombre décimal 1324, car la convention pour les nombres était d'énumérer leurs chiffres de droite à gauche. La première référence employant des numéros d'objet est un c. 269 ​​CE Texte sanskrit, Yavanajātaka (littéralement "horoscopie grecque") de Sphujidhvaja, une versification d'une adaptation en prose indienne antérieure (vers 150 CE) d'un ouvrage perdu d'astrologie hellénistique. Une telle utilisation semble prouver qu'au milieu du IIIe siècle de notre ère, le système de valeur de position décimale était familier, du moins aux lecteurs de textes astronomiques et astrologiques en Inde.

Il a été émis l'hypothèse que le système indien de valeur de position décimale était basé sur les symboles utilisés sur les tableaux de comptage chinois dès le milieu du premier millénaire avant notre ère. Selon ( Plofker 2009 ),

Ces planches de comptage, comme les fosses de comptage indiennes, ..., avaient une structure de valeur de position décimale... Les Indiens peuvent très bien avoir appris ces "chiffres en bâtonnets" de valeur décimale de pèlerins bouddhistes chinois ou d'autres voyageurs, ou ils peuvent avoir développé le concept indépendamment de leur ancien système de non-valeur de position ; aucune preuve documentaire ne survit pour confirmer l'une ou l'autre des conclusions."

Manuscrit de Bakhshali

Le plus ancien manuscrit mathématique existant en Inde est le manuscrit Bakhshali , un manuscrit en écorce de bouleau écrit en « sanscrit hybride bouddhiste » dans l' écriture Śāradā , qui a été utilisé dans la région nord-ouest du sous-continent indien entre le VIIIe et le XIIe siècle de notre ère. Le manuscrit a été découvert en 1881 par un fermier en creusant dans un enclos de pierre dans le village de Bakhshali, près de Peshawar (alors en Inde britannique et maintenant au Pakistan ). De paternité inconnue et maintenant conservé à la Bodleian Library de l'Université d'Oxford , le manuscrit a été diversement daté, parfois dès les « premiers siècles de l'ère chrétienne ». Le 7e siècle de notre ère est maintenant considéré comme une date plausible.

Le manuscrit survivant a soixante-dix feuilles, dont certaines sont en fragments. Son contenu mathématique se compose de règles et d'exemples, écrits en vers, ainsi que de commentaires en prose, qui incluent des solutions aux exemples. Les sujets traités incluent l'arithmétique (fractions, racines carrées, profits et pertes, intérêt simple, la règle de trois et regula falsi ) et l'algèbre (équations linéaires simultanées et équations quadratiques ), et les progressions arithmétiques. De plus, il existe une poignée de problèmes géométriques (y compris des problèmes de volumes de solides irréguliers). Le manuscrit de Bakhshali « utilise également un système de valeur de position décimale avec un point pour zéro ». Bon nombre de ses problèmes appartiennent à une catégorie connue sous le nom de « problèmes d'égalisation » qui conduisent à des systèmes d'équations linéaires. Un exemple du Fragment III-5-3v est le suivant :

Un marchand a sept chevaux asava , un deuxième a neuf chevaux de haya et un troisième a dix chameaux. Ils sont également aisés dans la valeur de leurs animaux si chacun donne deux animaux, un à chacun des autres. Trouvez le prix de chaque animal et la valeur totale des animaux possédés par chaque marchand.

Le commentaire en prose accompagnant l'exemple résout le problème en le convertissant en trois équations (sous-déterminées) à quatre inconnues et en supposant que les prix sont tous des nombres entiers.

En 2017, trois échantillons du manuscrit ont été montrés par datation au radiocarbone comme provenant de trois siècles différents : de 224-383 après JC, 680-779 après JC et 885-993 après JC. On ne sait pas comment des fragments de différents siècles ont été emballés ensemble.

Période classique (400-1600)

Cette période est souvent connue comme l'âge d'or des mathématiques indiennes. Cette période a vu des mathématiciens tels qu'Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava de Sangamagrama et Nilakantha Somayaji donner une forme plus large et plus claire à de nombreuses branches des mathématiques. Leurs contributions s'étendraient à l'Asie, au Moyen-Orient et finalement à l'Europe. Contrairement aux mathématiques védiques, leurs travaux comprenaient à la fois des contributions astronomiques et mathématiques. En fait, les mathématiques de cette période étaient incluses dans la « science astrale » ( jyotiḥśāstra ) et se composaient de trois sous-disciplines : les sciences mathématiques ( gaṇita ou tantra ), l'astrologie horoscope ( horā ou jātaka ) et la divination ( saṃhitā ). Cette division tripartite est visible dans la compilation du 6ème siècle de Varāhamihira — Pancasiddhantika (littéralement panca , « cinq », siddhānta , « conclusion de la délibération », datée de 575 CE ) — de cinq œuvres antérieures, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta et Paitamaha Siddhanta , qui étaient des adaptations d'œuvres encore plus anciennes de l'astronomie mésopotamienne, grecque, égyptienne, romaine et indienne. Comme expliqué précédemment, les textes principaux étaient composés en vers sanskrit et étaient suivis de commentaires en prose.

Ve et VIe siècles

Surya Siddhanta

Bien que sa paternité soit inconnue, le Surya Siddhanta (vers 400) contient les racines de la trigonométrie moderne . Parce qu'il contient de nombreux mots d'origine étrangère, certains auteurs considèrent qu'il a été écrit sous l'influence de la Mésopotamie et de la Grèce.

Ce texte ancien utilise pour la première fois les fonctions suivantes comme fonctions trigonométriques :

Il contient également les premières utilisations de :

Plus tard, des mathématiciens indiens tels qu'Aryabhata ont fait référence à ce texte, tandis que les traductions ultérieures en arabe et en latin ont eu une grande influence en Europe et au Moyen-Orient.

Calendrier Chhedi

Ce calendrier Chhedi (594) contient une première utilisation du système numérique hindou-arabe moderne de valeur de position maintenant utilisé universellement.

Aryabhata I

Aryabhata (476-550) a écrit l' Aryabhatiya. Il a décrit les principes fondamentaux importants des mathématiques dans 332 shlokas . Le traité contenait :

Aryabhata a également écrit l' Arya Siddhanta , qui est maintenant perdu. Les contributions d'Aryabhata comprennent :

Trigonométrie:

(Voir aussi : Table des sinus d'Aryabhata )

  • Introduction des fonctions trigonométriques .
  • Défini le sinus ( jya ) comme la relation moderne entre un demi-angle et un demi-corde.
  • Défini le cosinus ( kojya ).
  • Défini le versin ( utkrama-jya ).
  • Définition du sinus inverse ( otkram jya ).
  • Donne des méthodes de calcul de leurs valeurs numériques approximatives.
  • Contient les premiers tableaux des valeurs sinus, cosinus et versin, par intervalles de 3,75° de 0° à 90°, avec une précision de 4 décimales.
  • Contient la formule trigonométrique sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
  • Trigonométrie sphérique .

Arithmétique:

Algèbre:

  • Solutions d'équations quadratiques simultanées.
  • Solutions en nombres entiers d' équations linéaires par une méthode équivalente à la méthode moderne.
  • Solution générale de l'équation linéaire indéterminée .

Astronomie mathématique :

  • Des calculs précis pour les constantes astronomiques, telles que :
Varahamihira

Varahamihira (505-587) a produit le Pancha Siddhanta ( Les cinq canons astronomiques ). Il a apporté d'importantes contributions à la trigonométrie, y compris les tables de sinus et de cosinus à 4 décimales de précision et les formules suivantes reliant les fonctions sinus et cosinus :

VIIe et VIIIe siècles

Le théorème de Brahmagupta énonce que AF = FD .

Au 7ème siècle, deux domaines distincts, l' arithmétique (qui comprenait la mesure ) et l' algèbre , ont commencé à émerger dans les mathématiques indiennes. Les deux domaines seraient plus tard appelés pāṭī-gaṇita (littéralement « mathématiques des algorithmes ») et bīja-gaṇita (litt. « mathématiques des graines », avec des « graines » – comme les graines des plantes – représentant des inconnues ayant le potentiel de générer, dans ce cas, les solutions des équations). Brahmagupta , dans son ouvrage astronomique Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 CE), a inclus deux chapitres (12 et 18) consacrés à ces domaines. Le chapitre 12, contenant 66 versets sanskrits, était divisé en deux sections : « opérations de base » (y compris les racines cubiques, les fractions, le rapport et la proportion, et le troc) et « mathématiques pratiques » (y compris les mélanges, les séries mathématiques, les figures planes, l'empilement de briques, sciage du bois et empilage du grain). Dans cette dernière section, il énonce son célèbre théorème sur les diagonales d'un quadrilatère cyclique :

Théorème de Brahmagupta : Si un quadrilatère cyclique a des diagonales perpendiculaires les unes aux autres, alors la ligne perpendiculaire tracée du point d'intersection des diagonales à n'importe quel côté du quadrilatère coupe toujours le côté opposé.

Le chapitre 12 comprenait également une formule pour l'aire d'un quadrilatère cyclique (une généralisation de la formule de Heron ), ainsi qu'une description complète des triangles rationnels ( c'est-à-dire des triangles avec des côtés rationnels et des aires rationnelles).

Formule de Brahmagupta : L'aire, A , d'un quadrilatère cyclique avec des côtés de longueurs a , b , c , d , respectivement, est donnée par

s , le demi - périmètre , donné par

Théorème de Brahmagupta sur les triangles rationnels : Un triangle avec des côtés rationnels et une aire rationnelle est de la forme :

pour certains nombres rationnels et .

Le chapitre 18 contenait 103 versets sanskrits qui commençaient par des règles pour les opérations arithmétiques impliquant des nombres nuls et négatifs et est considéré comme le premier traitement systématique du sujet. Les règles (qui incluaient et ) étaient toutes correctes, à une exception près : . Plus loin dans le chapitre, il a donné la première solution explicite (bien que pas encore complètement générale) de l' équation quadratique :

Au nombre absolu multiplié par quatre fois le [coefficient du] carré, ajoutez le carré du [coefficient du] terme moyen ; la racine carrée du même, moins le [coefficient du] terme moyen, étant divisée par deux fois le [coefficient du] carré est la valeur.

Cela équivaut à :

Toujours au chapitre 18, Brahmagupta a pu progresser dans la recherche de solutions (intégrales) de l'équation de Pell ,

où est un entier non carré. Il l'a fait en découvrant l'identité suivante :

Identité de Brahmagupta : qui était une généralisation d'une identité antérieure de Diophante : Brahmagupta a utilisé son identité pour prouver le lemme suivant :

Lemme (Brahmagupta) : Si est une solution de et, est une solution de , alors :

est une solution de

Il a ensuite utilisé ce lemme pour à la fois générer une infinité de solutions (intégrales) de l'équation de Pell, étant donné une solution, et énoncer le théorème suivant :

Théorème (Brahmagupta) : Si l'équation a une solution entière pour l'une des équations de Pell :

a aussi une solution entière.

Brahmagupta n'a pas réellement prouvé le théorème, mais a plutôt élaboré des exemples en utilisant sa méthode. Le premier exemple qu'il a présenté était :

Exemple (Brahmagupta) : Trouvez des nombres entiers tels que :

Dans son commentaire, Brahmagupta a ajouté, "une personne qui résout ce problème en un an est un mathématicien". La solution qu'il a fournie était:

Bhaskara I

Bhaskara I (vers 600-680) a développé le travail d'Aryabhata dans ses livres intitulés Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya et Laghu-bhaskariya . Il a produit:

  • Solutions d'équations indéterminées.
  • Une approximation rationnelle de la fonction sinus .
  • Une formule pour calculer le sinus d'un angle aigu sans utiliser de table, avec deux décimales près.

Neuvième au XIIe siècles

Virasena

Virasena (8ème siècle) était un mathématicien jaïn de la cour du roi Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. Il a écrit le Dhavala , un commentaire sur les mathématiques jaïnes, qui :

  • Traite du concept d' ardhaccheda , le nombre de fois qu'un nombre peut être divisé par deux, et énumère diverses règles impliquant cette opération. Cela coïncide avec le logarithme binaire lorsqu'il est appliqué aux puissances de deux , mais diffère sur d'autres nombres, ressemblant plus étroitement à l'ordre 2-adique .
  • Même concept pour la base 3 ( trakacheda ) et la base 4 ( caturthacheda ).

Virasena a également donné :

  • La dérivation du volume d'un tronc par une sorte de procédure infinie.

On pense qu'une grande partie du matériel mathématique du Dhavala peut être attribuée à des écrivains précédents, en particulier Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra et Bappadeva et date qui ont écrit entre 200 et 600 CE.

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800-870) du Karnataka , le dernier des mathématiciens jaïns notables, a vécu au 9ème siècle et a été patronné par le roi Rashtrakuta Amoghavarsha. Il a écrit un livre intitulé Ganit Saar Sangraha sur les mathématiques numériques, et a également écrit des traités sur un large éventail de sujets mathématiques. Ceux-ci incluent les mathématiques de:

Mahavira aussi :

  • A affirmé que la racine carrée d'un nombre négatif n'existait pas
  • A donné la somme d'une série dont les termes sont des carrés d'une progression arithmétique , et a donné des règles empiriques pour l'aire et le périmètre d'une ellipse.
  • Équations cubiques résolues.
  • Équations quartiques résolues.
  • Résolution de quelques équations quintiques et polynômes d' ordre supérieur .
  • Donne les solutions générales des équations polynomiales d'ordre supérieur :
  • Équations quadratiques indéterminées résolues.
  • Équations cubiques indéterminées résolues.
  • Résolution d'équations d'ordre supérieur indéterminées.
Shridhara

Shridhara (vers 870-930), qui vivait au Bengale , a écrit les livres intitulés Nav Shatika , Tri Shatika et Pati Ganita . Il a donné:

Le Pati Ganita est un ouvrage sur l'arithmétique et la mesure . Il traite diverses opérations, notamment :

  • Opérations élémentaires
  • Extraction des racines carrées et cubiques.
  • Fractions.
  • Huit règles données pour les opérations impliquant zéro.
  • Méthodes de sommation de différentes séries arithmétiques et géométriques, qui deviendront des références standard dans les travaux ultérieurs.
Manjula

Les équations différentielles d'Aryabhata ont été élaborées au 10ème siècle par Manjula (également Munjala ), qui s'est rendu compte que l'expression

pourrait s'exprimer approximativement par

Il a compris le concept de différenciation après avoir résolu l'équation différentielle résultant de la substitution de cette expression dans l'équation différentielle d'Aryabhata.

Aryabhata II

Aryabhata II (vers 920–1000) a écrit un commentaire sur Shridhara et un traité d'astronomie Maha-Siddhanta . Le Maha-Siddhanta compte 18 chapitres et traite :

  • Mathématiques numériques ( Ank Ganit ).
  • Algèbre.
  • Solutions d'équations indéterminées ( kuttaka ).
Shripati

Shripati Mishra (1019-1066) a écrit les livres Siddhanta Shekhara , un ouvrage majeur sur l'astronomie en 19 chapitres, et Ganit Tilaka , un traité d' arithmétique incomplet en 125 versets basé sur un ouvrage de Shridhara. Il a travaillé principalement sur :

Il est également l'auteur de Dhikotidakarana , un ouvrage de vingt vers sur :

Le Dhruvamanasa est un ouvrage de 105 versets sur :

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (vers 1100) est l'auteur d'un traité mathématique intitulé Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114-1185) était un mathématicien-astronome qui a écrit un certain nombre de traités importants, à savoir le Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam et Karan Kautoohal . Un certain nombre de ses contributions ont ensuite été transmises au Moyen-Orient et en Europe. Ses contributions comprennent :

Arithmétique:

  • Calcul des intérêts
  • Progressions arithmétiques et géométriques
  • Géométrie plane
  • Géométrie solide
  • L'ombre du gnomon
  • Solutions de combinaisons
  • A donné une preuve pour la division par zéro étant l' infini .

Algèbre:

  • La reconnaissance d'un nombre positif ayant deux racines carrées.
  • Surds .
  • Opérations avec des produits de plusieurs inconnues.
  • Les solutions de :
    • Équations du second degré.
    • Équations cubiques.
    • Équations quartiques.
    • Équations avec plus d'une inconnue.
    • Équations quadratiques avec plus d'une inconnue.
    • La forme générale de l'équation de Pell utilisant la méthode chakravala .
    • L'équation quadratique indéterminée générale utilisant la méthode chakravala .
    • Équations cubiques indéterminées.
    • Équations quartiques indéterminées.
    • Équations polynomiales d'ordre supérieur indéterminées.

Géométrie:

Calcul:

Trigonométrie:

  • Développements de la trigonométrie sphérique
  • Les formules trigonométriques :

Mathématiques du Kerala (1300-1600)

L' école d'astronomie et de mathématiques du Kerala a été fondée par Madhava de Sangamagrama au Kerala, en Inde du Sud et comprenait parmi ses membres : Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri et Achyuta Panikkar. Elle a prospéré entre les XIVe et XVIe siècles et les découvertes originales de l'école semblent avoir pris fin avec Narayana Bhattathiri (1559-1632). En tentant de résoudre des problèmes astronomiques, les astronomes de l'école du Kerala ont indépendamment créé un certain nombre de concepts mathématiques importants. Les résultats les plus importants, l'expansion des séries pour les fonctions trigonométriques , ont été donnés en vers sanskrit dans un livre de Neelakanta intitulé Tantrasangraha et un commentaire sur cet ouvrage intitulé Tantrasangraha-vakhya d'auteur inconnu. Les théorèmes ont été énoncés sans preuve, mais les preuves de la série pour le sinus , le cosinus et la tangente inverse ont été fournies un siècle plus tard dans l'ouvrage Yuktibhāṣā (c.1500–c.1610), écrit en malayalam , par Jyesthadeva .

Leur découverte de ces trois expansions en série importantes du calcul – plusieurs siècles avant que le calcul ne soit développé en Europe par Isaac Newton et Gottfried Leibniz – était un exploit. Cependant, l'école du Kerala n'a pas inventé le calcul , car, alors qu'elle était capable de développer des développements en série de Taylor pour les fonctions trigonométriques importantes , la différenciation , l' intégration terme par terme , les tests de convergence , les méthodes itératives pour les solutions d'équations non linéaires et la théorie que l'aire sous une courbe est son intégrale, ils n'ont développé ni une théorie de la différenciation ou de l' intégration , ni le théorème fondamental du calcul . Les résultats obtenus par l'école du Kerala comprennent :

  • La série géométrique (infinie) :
  • Une preuve semi-rigoureuse (voir remarque "induction" ci-dessous) du résultat : pour grand n .
  • Utilisation intuitive de l'induction mathématique , cependant, l' hypothèse inductive n'a pas été formulée ou utilisée dans les preuves.
  • Applications d'idées de (ce qui allait devenir) le calcul différentiel et intégral pour obtenir (Taylor-Maclaurin) des séries infinies pour sin x, cos x et arctan x. Le Tantrasangraha-vakhya donne la série en vers, qui une fois traduite en notation mathématique, peut être écrite comme :
où, pour r  = 1, la série se réduit à la série entière standard pour ces fonctions trigonométriques, par exemple :
et
  • Utilisation de la rectification (calcul de longueur) de l'arc de cercle pour donner une preuve de ces résultats. (La dernière méthode de Leibniz, utilisant la quadrature, c'est -à- dire le calcul de l' aire sous l'arc de cercle, n'a pas été utilisée.)
  • Utilisation du développement en série de pour obtenir la formule de Leibniz pour π :
  • Une approximation rationnelle de l' erreur pour la somme finie de leurs séries d'intérêt. Par exemple, l'erreur, , (pour n impair, et i = 1, 2, 3) pour la série :
  • Manipulation du terme d'erreur pour dériver une série convergente plus rapide pour :
  • En utilisant la série améliorée pour dériver une expression rationnelle, 104348/33215 pour π corriger jusqu'à neuf décimales, c'est-à - dire  3,141592653.
  • Utilisation d'une notion intuitive de limite pour calculer ces résultats.
  • Une méthode semi-rigoureuse (voir remarque sur les limites ci-dessus) de différenciation de certaines fonctions trigonométriques. Cependant, ils n'ont pas formulé la notion de fonction , ni connu les fonctions exponentielles ou logarithmiques.

Les travaux de l'école du Kerala ont été rédigés pour la première fois pour le monde occidental par l'Anglais CM Whish en 1835. Selon Whish, les mathématiciens du Kerala avaient " jeté les bases d'un système complet de fluxions " et ces travaux regorgeaient " de formes et de séries fluxionnelles. ne se trouve dans aucune œuvre des pays étrangers. »

Cependant, les résultats de Whish ont été presque complètement négligés, jusqu'à plus d'un siècle plus tard, lorsque les découvertes de l'école du Kerala ont été à nouveau étudiées par C. Rajagopal et ses associés. Leur travail comprend des commentaires sur les preuves de la série arctan dans Yuktibhāṣā donnés dans deux articles, un commentaire sur la preuve Yuktibhāṣā' s de la série sine et cosinus et deux articles qui fournissent les vers sanskrits du Tantrasangrahavakhya pour la série pour arctan, sin , et cosinus (avec traduction et commentaire en anglais).

Narayana Pandit est un mathématicien du XIVe siècle qui a composé deux ouvrages mathématiques importants, un traité d'arithmétique, Ganita Kaumudi , et un traité d'algébrique, Bijganita Vatamsa . Narayana est également considéré comme l'auteur d'un commentaire complexe de Bhaskara II de Lilavati , intitulé Karmapradipika (ou Karma-Paddhati ). Madhava de Sangamagrama (vers 1340-1425) était le fondateur de l'école du Kerala. Bien qu'il soit possible qu'il ait écrit Karana Paddhati un ouvrage écrit entre 1375 et 1475, tout ce que nous savons vraiment de son travail vient des travaux d'érudits ultérieurs.

Parameshvara (c. 1370-1460) a écrit des commentaires sur les œuvres de Bhaskara I , Aryabhata et Bhaskara II. Son Lilavati Bhasya , un commentaire sur le Lilavati de Bhaskara II , contient l'une de ses découvertes importantes : une version du théorème de la valeur moyenne . Nilakantha Somayaji (1444-1544) a composé le Tantra Samgraha (qui a « engendré » un commentaire anonyme ultérieur Tantrasangraha-vyakhya et un autre commentaire du nom de Yuktidipaika , écrit en 1501). Il a élaboré et étendu les contributions de Madhava.

Citrabhanu (vers 1530) était un mathématicien du Kerala du XVIe siècle qui a donné des solutions entières à 21 types de systèmes de deux équations algébriques simultanées à deux inconnues. Ces types sont toutes les paires d'équations possibles des sept formes suivantes :

Pour chaque cas, Citrabhanu a donné une explication et une justification de sa règle ainsi qu'un exemple. Certaines de ses explications sont algébriques, tandis que d'autres sont géométriques. Jyesthadeva (vers 1500-1575) était un autre membre de l'école du Kerala. Son œuvre clé était le Yukti-bhāṣā (écrit en malayalam, une langue régionale du Kerala). Jyesthadeva a présenté des preuves de la plupart des théorèmes mathématiques et des séries infinies découverts plus tôt par Madhava et d'autres mathématiciens de l'école du Kerala.

Les accusations d'eurocentrisme

Il a été suggéré que les contributions indiennes aux mathématiques n'ont pas été dûment reconnues dans l'histoire moderne et que de nombreuses découvertes et inventions des mathématiciens indiens sont actuellement attribuées culturellement à leurs homologues occidentaux , en raison de l' eurocentrisme . Selon le point de vue de GG Joseph sur " Ethnomathematics " :

[Leur travail] reprend certaines des objections soulevées à propos de la trajectoire eurocentrique classique. La prise de conscience [des mathématiques indiennes et arabes] est trop susceptible d'être tempérée par des rejets dédaigneux de leur importance par rapport aux mathématiques grecques. Les contributions d'autres civilisations, notamment la Chine et l'Inde, sont perçues soit comme des emprunteurs de sources grecques, soit comme n'ayant apporté que des contributions mineures au développement mathématique général. Une ouverture aux résultats de recherche plus récents, en particulier dans le cas des mathématiques indiennes et chinoises, fait malheureusement défaut"

L'historien des mathématiques, Florian Cajori , a suggéré que lui et d'autres "soupçonnent que Diophante a eu son premier aperçu de la connaissance algébrique de l'Inde". Cependant, il a également écrit qu'« il est certain que des parties des mathématiques hindoues sont d'origine grecque ».

Plus récemment, comme discuté dans la section ci-dessus, les séries infinies de calculs pour les fonctions trigonométriques (redécouvertes par Gregory, Taylor et Maclaurin à la fin du 17ème siècle) ont été décrites (avec des preuves et des formules pour l'erreur de troncature) en Inde, par des mathématiciens de l' école du Kerala , remarquablement deux siècles plus tôt. Certains chercheurs ont récemment suggéré que la connaissance de ces résultats pourrait avoir été transmise en Europe par la route commerciale du Kerala par des commerçants et des missionnaires jésuites . Le Kerala était en contact permanent avec la Chine et l' Arabie , et, à partir de 1500 environ, avec l'Europe. L'existence de voies de communication et d'une chronologie adaptée rendent certainement une telle transmission possible. Cependant, il n'y a aucune preuve directe au moyen de manuscrits pertinents qu'une telle transmission a réellement eu lieu. Selon David Bressoud , « il n'y a aucune preuve que le travail indien de série ait été connu au-delà de l'Inde, ou même en dehors du Kerala, jusqu'au XIXe siècle ».

Les érudits arabes et indiens ont fait des découvertes avant le 17ème siècle qui sont maintenant considérées comme faisant partie du calcul. Cependant, ils n'ont pas, comme Newton et Leibniz , "combiné de nombreuses idées différentes sous les deux thèmes unificateurs de la dérivée et de l' intégrale , montré le lien entre les deux et transformé le calcul en le grand outil de résolution de problèmes que nous avons aujourd'hui. " Les carrières intellectuelles de Newton et de Leibniz sont bien documentées et rien n'indique que leur travail ne soit pas le leur ; cependant, on ne sait pas avec certitude si les prédécesseurs immédiats de Newton et Leibniz, "y compris, en particulier, Fermat et Roberval, ont appris certaines des idées des mathématiciens islamiques et indiens par des sources que nous ne connaissons pas maintenant." C'est un domaine actif de recherche en cours, notamment dans les collections de manuscrits d'Espagne et du Maghreb . Ces recherches se poursuivent, entre autres, au Centre National de Recherche Scientifique à Paris.

Voir également

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Livres sources en sanskrit

  • Keller, Agathe (2006), Exposing the Mathematical Seed. Vol. 1 : La traduction : une traduction de Bhaskara I sur le chapitre mathématique de l'Aryabhatiya , Bâle, Boston et Berlin : Birkhäuser Verlag, 172 pages, ISBN 978-3-7643-7291-0.
  • Keller, Agathe (2006), Exposing the Mathematical Seed. Vol. 2 : Les suppléments : une traduction de Bhaskara I sur le chapitre mathématique de l'Aryabhatiya , Bâle, Boston et Berlin : Birkhäuser Verlag, 206 pages, ISBN 978-3-7643-7292-7.
  • Sarma, KV , éd. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa avec le commentaire de Sūryadeva Yajvan , édité de manière critique avec Introduction et Appendices, New Delhi : Indian National Science Academy.
  • Sen, SN; Sac, AK, éd. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava , avec texte, traduction en anglais et commentaire, New Delhi : Indian National Science Academy.
  • Shukla, KS, éd. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa avec le commentaire de Bhāskara I et Someśvara , édité de manière critique avec Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi : Indian National Science Academy.
  • Shukla, KS, éd. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , édité de manière critique avec Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, en collaboration avec KV Sarma , New Delhi : Indian National Science Academy.

Liens externes