Produit intérieur - Interior product

En mathématiques , le produit intérieur (également connu sous le dérivé intérieur , multiplication intérieur , multiplication interne , dérivé interne , opérateur d'insertion , ou dérivation interne ) est un degré -1 (anti) dérivation sur l' algèbre extérieure de formes différentielles sur une variété lisse . Le produit intérieur, nommé en opposition au produit extérieur , ne doit pas être confondu avec un produit intérieur . Le produit intérieur ι _X ω s'écrit parfois X ⨼ ω .

Définition

Le produit intérieur est défini comme étant la contraction d'une forme différentielle avec un champ vectoriel . Ainsi si X est un champ vectoriel sur la variété M , alors

${\ displaystyle \ iota _ {X} \ colon \ Omega ^ {p} (M) \ to \ Omega ^ {p-1} (M)}$

est l' application qui envoie une forme p ω à la forme ( p −1) ι _X ω définie par la propriété que

${\ displaystyle (\ iota _ {X} \ omega) (X_ {1}, \ ldots, X_ {p-1}) = \ omega (X, X_ {1}, \ ldots, X_ {p-1}) }$

pour tout champ vectoriel X ₁ , ..., X _{p −1} .

Le produit intérieur est l'unique antidérivation du degré -1 sur l' algèbre extérieure telle que sur les formes un α

${\ displaystyle \ displaystyle \ iota _ {X} \ alpha = \ alpha (X) = \ langle \ alpha, X \ rangle}$ ,

où ⟨,⟩ est l' appariement de la dualité entre α et le vecteur X . Explicitement, si β est une forme p et γ est une forme q, alors

${\ displaystyle \ iota _ {X} (\ beta \ wedge \ gamma) = (\ iota _ {X} \ beta) \ wedge \ gamma + (- 1) ^ {p} \ beta \ wedge (\ iota _ { X} \ gamma).}$

La relation ci-dessus dit que le produit intérieur obéit à une règle de Leibniz graduée . Une opération satisfaisant la linéarité et une règle de Leibniz est appelée une dérivation.

Propriétés

Par antisymétrie des formes,

${\ displaystyle \ iota _ {X} \ iota _ {Y} \ omega = - \ iota _ {Y} \ iota _ {X} \ omega}$

et ainsi de suite . Ceci peut être comparé à la dérivée extérieure d , qui a la propriété d ∘ d = 0 . ${\ displaystyle \ iota _ {X} \ circ \ iota _ {X} = 0}$

Le produit intérieur met en relation le dérivé extérieur et le dérivé de Lie des formes différentielles par la formule de Cartan (alias identité de Cartan , formule d'homotopie de Cartan ou formule magique de Cartan ) :

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = d (\ iota _ {X} \ omega) + \ iota _ {X} d \ omega = \ left \ {d, \ iota _ {X } \ right \} \ omega.}$

Cette identité définit une dualité entre les dérivés extérieurs et intérieurs. L'identité de Cartan est importante dans la géométrie symplectique et la relativité générale : voir la carte des moments . La formule d'homotopie de Cartan porte le nom d' Élie Cartan .

Le produit intérieur par rapport au commutateur de deux champs de vecteurs , satisfait l'identité ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ iota _ {[X, Y]} = \ left [{\ mathcal {L}} _ {X}, \ iota _ {Y} \ right].}$

Voir également

• Produit Cap
• Produit intérieur
• Contraction du tenseur

Remarques

Les références

• Theodore Frankel, La géométrie de la physique: une introduction ; Cambridge University Press, 3e éd. 2011
• Loring W. Tu, une introduction aux collecteurs , 2e, Springer. 2011. doi : 10.1007 / 978-1-4419-7400-6