Involution (mathématiques) - Involution (mathematics)

Une involution est une fonction qui, appliquée deux fois, ramène au point de départ.${\style d'affichage f:X\à X}$

En mathématiques , une involution , fonction involutive , ou la fonction d' auto-inverse est une fonction f qui est son propre inverse ,

f ( f ( x )) = x

pour tout x dans le domaine de f . De manière équivalente, appliquer f deux fois produit la valeur d'origine.

Le terme anti-involution désigne des involutions basées sur des antihomomorphismes (voir § Algèbre des quaternions, groupes, semi - groupes ci - dessous)

f ( xy ) = f ( y ) f ( x )

tel que

xy = f ( f ( xy )) = f ( f ( y ) f ( x ) ) = f ( f ( x )) f ( f ( y )) = xy .

Les propriétés générales

Toute involution est une bijection .

La carte d'identité est un exemple trivial d'involution. Des exemples courants en mathématiques d'involutions non triviales incluent la multiplication par -1 en arithmétique , la prise d' inverses , la complémentation en théorie des ensembles et la conjugaison complexe . D'autres exemples incluent l' inversion de cercle , la rotation d'un demi-tour et les chiffrements réciproques tels que la transformation ROT13 et le chiffrement polyalphabétique de Beaufort .

Le nombre d'involutions, y compris l'involution identité, sur un ensemble avec n = 0, 1, 2, ... éléments est donné par une relation de récurrence trouvée par Heinrich August Rothe en 1800 :

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1}$et pour${\style d'affichage a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}$${\style d'affichage n>1.}$

Les premiers termes de cette séquence sont 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (séquence A000085 dans l' OEIS ); ces nombres sont appelés les numéros de téléphone , et ils comptent aussi le nombre de tableaux de Young avec un nombre donné de cellules. La composition g ∘ f de deux involutions f et g est une involution si et seulement s'ils commutent: g ∘ f = f ∘ g .

Toute involution sur un nombre impair d'éléments a au moins un point fixe . Plus généralement, pour une involution sur un ensemble fini d'éléments, le nombre d'éléments et le nombre de points fixes ont la même parité .

Involution dans tous les domaines des mathématiques

Pré-calcul

Des exemples de base d'involutions sont les fonctions :

${\style d'affichage f_{1}(x)=-x}$, ou   , ainsi que leur composition${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle (f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=f_{3}(x)=-{\frac {1} {X}}.}$

Ce ne sont pas les seules involutions pré-calcul. Un autre dans les réels positifs est :

${\displaystyle f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right).}$

Le graphique d'une involution (sur les nombres réels) est symétrique sur la ligne . Cela est dû au fait que l'inverse de toute fonction générale sera sa réflexion sur la ligne à 45° . Cela peut être vu en "échangeant" avec . Si, en particulier, la fonction est une involution , alors elle lui servira de reflet. ${\style d'affichage y=x}$${\style d'affichage y=x}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$

D'autres involutions élémentaires sont utiles pour résoudre des équations fonctionnelles .

Géométrie euclidienne

Un exemple simple d'une involution de l' espace euclidien tridimensionnel est la réflexion à travers un plan . Effectuer une réflexion deux fois ramène un point à ses coordonnées d'origine.

Une autre involution est la réflexion par l'origine ; pas une réflexion dans le sens ci-dessus, et donc, un exemple distinct.

Ces transformations sont des exemples d' involutions affines .

Géométrie projective

Une involution est une projectivité de période 2, c'est-à-dire une projectivité qui échange des paires de points.

• Toute projectivité qui échange deux points est une involution.
• Les trois paires de côtés opposés d'un quadrilatère complet rencontrent n'importe quelle ligne (pas par un sommet) dans trois paires d'une involution. Ce théorème a été appelé théorème d'involution de Desargues . Ses origines peuvent être vues dans le Lemme IV des lemmes aux Porismes d'Euclide dans le Volume VII de la Collection de Pappus d'Alexandrie .
• Si une involution a un point fixe , elle en a un autre, et consiste en la correspondance entre les conjugués harmoniques par rapport à ces deux points. Dans ce cas, l'involution est dite "hyperbolique", tandis que s'il n'y a pas de points fixes, elle est "elliptique". Dans le cadre des projectivités, les points fixes sont appelés points doubles .

Un autre type d'involution se produisant en géométrie projective est une polarité qui est une corrélation de période 2.

Algèbre linéaire

En algèbre linéaire, une involution est un opérateur linéaire T sur un espace vectoriel, tel que . À l'exception de la caractéristique 2, ces opérateurs sont diagonalisables pour une base donnée avec seulement 1 et −1 sur la diagonale de la matrice correspondante. Si l'opérateur est orthogonal (une involution orthogonale ), il est orthonormément diagonalisable. ${\style d'affichage T^{2}=I}$

Par exemple, supposons qu'une base pour un espace vectoriel V soit choisie, et que e ₁ et e ₂ soient des éléments de base. Il existe une transformation linéaire f qui envoie e ₁ à e ₂ , et e ₂ à e ₁ , et qui est l'identité sur tous les autres vecteurs de base. On peut vérifier que f ( f ( x )) = x pour tout x dans V . Autrement dit, f est une involution de V .

Pour une base particulière, tout opérateur linéaire peut être représenté par une matrice T . Chaque matrice a une transposition , obtenue en échangeant des lignes contre des colonnes. Cette transposition est une involution sur l'ensemble des matrices.

La définition de l'involution s'étend facilement aux modules . Étant donné un module M sur un anneau R , un endomorphisme R f de M est appelé une involution si f ² est l'homomorphisme d'identité sur M .  

Les involutions sont liées aux idempotents ; si 2 est inversible alors ils correspondent de manière univoque .

Algèbre des quaternions, groupes, semi-groupes

Dans une algèbre de quaternions , une (anti-)involution est définie par les axiomes suivants : si l'on considère une transformation alors c'est une involution si ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$

• ${\style d'affichage f(f(x))=x}$ (c'est son propre inverse)
• ${\style d'affichage f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}$et (c'est linéaire)${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$
• ${\style d'affichage f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

Une anti-involution n'obéit pas au dernier axiome mais

• ${\style d'affichage f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})}$

Cette ancienne loi est parfois appelée antidistributive . Il apparaît également dans les groupes comme ( xy ) ^-1 = y ^-1 x ^-1 . Pris comme un axiome, il conduit à la notion de semi - groupe avec involution , dont il existe des exemples naturels qui ne sont pas des groupes, par exemple la multiplication matricielle carrée (c'est-à-dire le monoïde linéaire complet ) avec transposition comme involution.

Théorie des anneaux

Dans la théorie des anneaux , le mot involution est généralement interprété comme un antihomomorphisme qui est sa propre fonction inverse. Exemples d'involutions dans les anneaux communs :

• conjugaison complexe sur le plan complexe
• multiplication par j dans les nombres complexes fractionnés
• prenant la transposée dans un anneau matriciel.

Théorie des groupes

En théorie des groupes , un élément d'un groupe est une involution s'il est d' ordre 2 ; soit une involution est un élément de telle sorte que un ≠ e et un ² = e , où e est l' élément d'identité .

A l'origine, cette définition s'accordait avec la première définition ci-dessus, puisque les membres des groupes étaient toujours des bijections d'un ensemble en lui-même ; c'est-à-dire que le groupe a été pris pour signifier le groupe de permutation . À la fin du XIXe siècle, le groupe était défini de manière plus large, de même que l' involution .

Une permutation est une involution précisément si elle peut être écrite comme le produit d'une ou plusieurs transpositions non chevauchantes .

Les involutions d'un groupe ont un impact important sur la structure du groupe. L'étude des involutions a contribué à la classification des groupes simples finis .

Un élément x d'un groupe G est dit fortement réel s'il existe une involution t avec x ^t = x ⁻¹ (où x ^t = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ).

Les groupes de Coxeter sont des groupes engendrés par des involutions dont les relations sont déterminées uniquement par des relations données pour des paires d'involutions génératrices. Les groupes de Coxeter peuvent être utilisés, entre autres, pour décrire les polyèdres réguliers possibles et leurs généralisations à des dimensions supérieures .

Logique mathématique

L'opération de complément dans les algèbres booléennes est une involution. En conséquence, la négation en logique classique satisfait la loi de double négation : ¬¬ A est équivalent à A .

Généralement dans les logiques non classiques, la négation qui satisfait à la loi de la double négation est dite involutive. En sémantique algébrique, une telle négation se réalise comme une involution sur l'algèbre des valeurs de vérité . Des exemples de logiques qui ont la négation involutive sont Kleene et Bochvar trois valeurs logiques , Łukasiewicz logiques de valeurs multiples , la logique floue IMTL, etc. négation involutive est parfois ajouté comme conjonctifs supplémentaire à des logiques avec négation non involutive; c'est habituel, par exemple, dans les logiques floues t-norm .

L'involutivité de la négation est une propriété de caractérisation importante pour les logiques et les variétés correspondantes d'algèbres . Par exemple, la négation involutive caractérise les algèbres booléennes parmi les algèbres de Heyting . En conséquence, la logique booléenne classique apparaît en ajoutant la loi de la double négation à la logique intuitionniste . La même relation est également titulaire entre MV-algèbres et BL-algèbres (et donc de façon correspondante entre la logique Łukasiewicz et logique floue BL ), et IMTL MTL , et d' autres paires de variétés importantes de algèbres (resp. Logiques correspondant).

Dans l'étude des relations binaires , chaque relation a une relation inverse . Puisque la réciproque de la réciproque est la relation d'origine, l'opération de conversion est une involution sur la catégorie des relations . Les relations binaires sont ordonnées par inclusion . Alors que cet ordre est inversé avec l' involution de complémentation , il est conservé lors de la conversion.

L'informatique

L' opération XOR au niveau du bit avec une valeur donnée pour un paramètre est une involution. Les masques XOR étaient autrefois utilisés pour dessiner des graphiques sur les images de telle sorte que les dessiner deux fois sur l'arrière-plan ramène l'arrière-plan à son état d'origine. L' opération NOT au niveau du bit est également une involution, et est un cas particulier de l'opération XOR où un paramètre a tous les bits mis à 1.

Un autre exemple est un masque de bits et une fonction de décalage fonctionnant sur des valeurs de couleur stockées sous forme d'entiers, disons sous la forme RVB, qui permute R et B, ce qui donne la forme BGR. f(f(RGB))=RGB, f(f(BGR))=BGR.

Le chiffrement cryptographique RC4 est une involution, car les opérations de chiffrement et de déchiffrement utilisent la même fonction.

Pratiquement toutes les machines de chiffrement mécaniques implémentent un chiffrement réciproque , une involution sur chaque lettre tapée. Au lieu de concevoir deux types de machines, une pour le cryptage et l'autre pour le décryptage, toutes les machines peuvent être identiques et peuvent être configurées (saisies) de la même manière.

Voir également

• Automorphisme
• Idempotence
• ROT13

Les références

Lectures complémentaires

• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). « Involutions et anti-involutions de quaternions ». Informatique et mathématiques avec applications . 53 (1) : 137-143. arXiv : math/0506034 . doi : 10.1016/j.camwa.2006.10.029 . S2CID  45639619 .
• Knus, Max-Albert ; Merkurjev, Alexandre ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), Le livre des involutions , Colloque Publications, 44 , Avec une préface de J. Tits, Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl  0955.16001
• "Involution" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]