Conjugué isotomique - Isotomic conjugate
En géométrie , le conjugué isotomique d'un point P par rapport à un triangle ABC est un autre point, défini de manière spécifique à partir de P et ABC : Si les points de base des droites PA , PB et PC sur les côtés opposés A, B , et C sont réfléchi sur les points médians de leurs côtés respectifs, les lignes résultantes se coupent au conjugué isotomic de P .
Construction
Nous supposons que P n'est pas colinéaire avec deux sommets quelconques de ABC . Soit A ', B ' et C 'les points où les lignes AP , BP , CP rencontrent les lignes de touche BC , CA et AB ( prolongées si nécessaire). Réfléchir A ', B ', C 'aux milieux des côtés BC , CA , AB donnera respectivement les points A ", B " et C ". Les lignes isotomiques AA ", BB "et CC " joignant ces nouveaux points aux sommets se rencontrent en un point (qui peut être prouvée en utilisant le théorème de Ceva ), le conjugué isotomic de P .
Coordonnées
Si les trilinéaires pour P sont p : q : r , alors les trilinéaires pour le conjugué isotomique de P sont
- a −2 p −1 : b −2 q −1 : c −2 r −1 ,
où a, b et c sont les longueurs de côté opposées aux sommets A, B et C respectivement.
Propriétés
Le conjugué isotomique du centre de gravité du triangle ABC est le centre de gravité lui-même.
Le conjugué isotomique du point symédien est le troisième point de Brocard , et le conjugué isotomique du point de Gergonne est le point de Nagel .
Les conjugués isotomiques des lignes sont des circoncones, et inversement, les conjugués isotomiques des circonconiques sont des lignes. (Cette propriété s'applique également aux conjugués isogonaux .)
Voir également
Les références
- Robert Lachlan, Un traité élémentaire sur la géométrie pure moderne , Macmillan and Co., 1893, page 57.
- Roger A. Johnson: Géométrie euclidienne avancée . Douvres 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , pp. 157-159, 278
Liens externes
- Weisstein, Eric W. "Conjugué isotomique" . MathWorld .
- Pauk Yiu: conjugués isotomiques et isogonaux
- Navneel Singhal: conjugués isotomiques et isogonaux