Collecteur isotrope - Isotropic manifold

En mathématiques , une variété isotrope est une variété dans laquelle la géométrie ne dépend pas des directions. Formellement, nous disons qu'une variété riemannienne est isotrope si pour tout vecteur ponctuel et unitaire , il existe une isométrie de avec et . Chaque variété isotrope connectée est homogène , c'est-à-dire que pour tout il existe une isométrie de avec Cela peut être vu en considérant une géodésique de à et en prenant l'isométrie qui fixe et mappe à${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle v, w \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi (p) = p}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ ast} (v) = w}$${\ displaystyle p, q \ in M}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi (p) = q.}$${\ displaystyle \ gamma: [0,2] \ à M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ gamma (1)}$${\ displaystyle \ gamma '(1)}$${\ Displaystyle - \ gamma '(1).}$

Exemples

Les formes d'espace simplement connectées (la n-sphère , l'espace hyperbolique et ) sont isotropes. Il n'est pas vrai en général que toute variété à courbure constante soit isotrope; par exemple, le tore plat n'est pas isotrope. Ceci peut être vu en notant que toute isométrie dont fixe un point doit s'élever à une isométrie dont fixe un point et préserve ; ainsi le groupe d'isométries dont la fixation est discrète. De plus, on peut voir de la même manière qu'aucune surface orientée à courbure constante et à caractéristique d'Euler négative n'est isotrope. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle T = \ mathbb {R} ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p \ in T}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p}$

De plus, il existe des variétés isotropes qui n'ont pas de courbure constante, comme l'espace projectif complexe ( ) équipé de la métrique Fubini-Study. En effet, toutes les variétés à courbure constante ont leur couverture universelle soit une sphère , soit un espace hyperbolique , ou , mais est simplement connectée mais pas une sphère (pour ), comme on peut le voir par exemple à partir des calculs de groupes d'homotopie à partir d'une longue séquence exacte de la fibration . ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle U (1) \ à S ^ {2n + 1} \ à \ mathbb {CP} ^ {n}}$

D' autres exemples de collecteurs isotropes sont donnés par le rang d' un des espaces symétriques, y compris les espaces projectives , , , et , ainsi que leurs analogues hyperboliques non compactes. ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {OP} ^ {2}}$

Un collecteur peut être homogène mais pas isotrope, comme le tore plat ou avec le produit métrique. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times S ^ {2}}$

Voir également

• Principe cosmologique
• Isotropic Manifold sur Math.StackExchange (juillet 2013)

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