Mesure de la Jordanie - Jordan measure

En mathématiques , la mesure Peano-Jordan (également appelée contenu Jordan ) est une extension de la notion de taille ( longueur , aire , volume ) à des formes plus compliquées que, par exemple, un triangle , un disque ou un parallélépipède .

Il s'avère que pour qu'un ensemble soit mesuré par la Jordanie, il doit se comporter correctement dans un certain sens restrictif. Pour cette raison, il est maintenant plus courant de travailler avec la mesure de Lebesgue , qui est une extension de la mesure de Jordan à une plus grande classe d'ensembles. Historiquement, la mesure jordanienne est venue en premier, vers la fin du XIXe siècle. Pour des raisons historiques, le terme mesure de Jordan est maintenant bien établi, bien qu'il ne s'agisse pas d'une véritable mesure dans sa définition moderne, puisque les ensembles mesurables en Jordanie ne forment pas une σ-algèbre. Par exemple, les ensembles de singleton dans chacun ont une mesure Jordan de 0, tandis qu'une union dénombrable d'entre eux n'est pas mesurable en Jordanie. Pour cette raison, certains auteurs préfèrent utiliser le terme contenu Jordan (voir l'article sur le contenu ) .

La mesure Peano-Jordan doit son nom à ses auteurs, le mathématicien français Camille Jordan et le mathématicien italien Giuseppe Peano .

Mesure jordanienne des "ensembles simples"

Un ensemble simple est, par définition, une union de rectangles (éventuellement superposés).
L'ensemble simple d'en haut se décompose en une union de rectangles non superposés.

Considérons l' espace euclidien R n . On commence par considérer les produits d' intervalles bornés

qui sont fermés à l'extrémité gauche et ouverts à l'extrémité droite (les intervalles semi-ouverts sont un choix technique; comme nous le voyons ci-dessous, on peut utiliser des intervalles fermés ou ouverts si on préfère). Un tel ensemble sera appelé n - rectangle de dimension , ou tout simplement un rectangle . On définit la mesure de Jordan d'un tel rectangle comme étant le produit des longueurs des intervalles:

Ensuite, on considère des ensembles simples , parfois appelés polyrectangles , qui sont des unions finies de rectangles,

pour tout  k  ≥ 1.

On ne peut pas définir la mesure de Jordan de S comme simplement la somme des mesures des rectangles individuels, car une telle représentation de S est loin d'être unique et il pourrait y avoir des chevauchements significatifs entre les rectangles.

Heureusement, un tel ensemble simple S peut être réécrit comme une union d'une autre famille finie de rectangles, rectangles qui cette fois sont mutuellement disjoints , puis on définit la mesure de Jordan m ( S ) comme la somme des mesures des rectangles disjoints.

On peut montrer que cette définition de la mesure de Jordan de S est indépendante de la représentation de S comme union finie de rectangles disjoints. C'est dans l'étape de "réécriture" que l'on utilise l'hypothèse de rectangles constitués d'intervalles semi-ouverts.

Extension à des ensembles plus compliqués

Un ensemble (représenté sur l'image par la région à l'intérieur de la courbe bleue) est Jordan mesurable si et seulement s'il peut être bien approché à la fois de l'intérieur et de l'extérieur par des ensembles simples (leurs limites sont indiquées en vert foncé et rose foncé respectivement) .

Notez qu'un ensemble qui est un produit d'intervalles fermés,

n'est pas un simple ensemble, pas plus qu'une balle . Ainsi, jusqu'à présent, l'ensemble des ensembles jordaniens mesurables est encore très limité. L'étape clé est alors de définir un ensemble borné pour être Jordan mesurable s'il est "bien approximé" par des ensembles simples, exactement de la même manière qu'une fonction est intégrable de Riemann si elle est bien approximée par des fonctions constantes par morceaux.

Formellement, pour un ensemble borné B , définissez sa mesure de Jordan interne comme

et sa mesure extérieure comme

où la borne inférieure et borne supérieure sont prises sur des ensembles simples S . L'ensemble B est dit jordanien mesurable si la mesure interne de B est égale à la mesure externe. La valeur commune des deux mesures est alors simplement appelé la mesure du Jourdain B .

Il s'avère que tous les rectangles (ouverts ou fermés), ainsi que toutes les boules, simplexes , etc., sont mesurables en Jordanie. De plus, si l'on considère deux fonctions continues , l'ensemble des points entre les graphiques de ces fonctions est Jordan mesurable tant que cet ensemble est borné et que le domaine commun des deux fonctions est Jordan mesurable. Toute union finie et intersection d'ensembles mesurables de Jordanie est mesurable en Jordanie, ainsi que la différence d'ensemble de deux ensembles mesurables de Jordanie. Un ensemble compact n'est pas nécessairement mesurable en Jordanie. Par exemple, le jeu Fat Cantor ne l'est pas. Sa mesure intérieure du Jourdain disparaît, puisque son complément est dense ; cependant, sa mesure extérieure de la Jordanie ne disparaît pas, puisqu'elle ne peut être inférieure (en fait, est égale à) sa mesure Lebesgue. En outre, un ensemble ouvert limité n'est pas nécessairement mesurable en Jordanie. Par exemple, le complément de l'ensemble Fat Cantor (dans l'intervalle) ne l'est pas. Un ensemble borné est Jordan mesurable si et seulement si sa fonction d'indicateur est Riemann-intégrable , et la valeur de l'intégrale est sa mesure de Jordan. [1]

De manière équivalente, pour un ensemble borné B, la mesure de Jordan interne de B est la mesure de Lebesgue de l' intérieur de B et la mesure de Jordan externe est la mesure de Lebesgue de la fermeture . De là, il s'ensuit qu'un ensemble borné est Jordan mesurable si et seulement si sa frontière a la mesure de Lebesgue zéro. (Ou de manière équivalente, si la frontière a Jordan mesure zéro; l'équivalence tient en raison de la compacité de la frontière.)

La mesure Lebesgue

Cette dernière propriété limite considérablement les types d'ensembles jordaniens mesurables. Par exemple, l'ensemble des nombres rationnels contenus dans l'intervalle [0,1] n'est alors pas mesurable Jordan, car sa frontière est [0,1] qui n'est pas de Jordan mesure zéro. Intuitivement cependant, l'ensemble des nombres rationnels est un "petit" ensemble, car il est dénombrable , et il devrait avoir une "taille" zéro. C'est effectivement vrai, mais seulement si l'on remplace la mesure Jordan par la mesure Lebesgue . La mesure Lebesgue d'un ensemble est la même que sa mesure Jordan tant que cet ensemble a une mesure Jordan. Cependant, la mesure de Lebesgue est définie pour une classe d'ensembles beaucoup plus large, comme l'ensemble des nombres rationnels dans un intervalle mentionné précédemment, ainsi que pour les ensembles qui peuvent être illimités ou fractales . En outre, la mesure de Lebesgue, contrairement à la mesure de Jordan, est une mesure vraie , c'est-à-dire que toute union dénombrable d'ensembles mesurables de Lebesgue est mesurable par Lebesgue, alors que les unions dénombrables d'ensembles mesurables de Jordanie n'ont pas besoin d'être mesurables en Jordanie.

Références

  • Emmanuele DiBenedetto (2002). Véritable analyse . Bâle, Suisse: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
  • Richard Courant; Fritz John (1999). Introduction au calcul et à l'analyse Volume II / 1: Chapitres 1 à 4 (Classiques de mathématiques) . Berlin: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

Liens externes