Cerf-volant (géométrie) - Kite (geometry)
cerf-volant | |
---|---|
Taper | Quadrilatère |
Arêtes et sommets | 4 |
Groupe Symétrie | D 1 (*) |
Double polygone | trapèze isocèle |
En géométrie euclidienne , un cerf - volant est un quadrilatère dont les quatre côtés peuvent être regroupés en deux paires de côtés de même longueur qui sont adjacents les uns aux autres. En revanche, un parallélogramme a également deux paires de côtés de même longueur, mais ils sont opposés l'un à l'autre au lieu d'être adjacents. Les quadrilatères de cerf-volant sont nommés pour les cerfs - volants soufflés par le vent , qui ont souvent cette forme et qui sont à leur tour nommés pour un oiseau . Les cerfs-volants sont également connus sous le nom de deltoïdes , mais le mot "deltoïde" peut également faire référence à une courbe deltoïde , un objet géométrique sans rapport.
Un cerf-volant, tel que défini ci-dessus, peut être convexe ou concave , mais le mot « cerf-volant » est souvent limité à la variété convexe. Un cerf-volant concave est parfois appelé « dard » ou « pointe de flèche », et est un type de pseudotriangle .
Cas spéciaux
Il est possible de classer les quadrilatères soit de manière hiérarchique (dans laquelle certaines classes de quadrilatères sont des sous-ensembles d'autres classes) soit de manière partitionnelle (dans laquelle chaque quadrilatère appartient à une seule classe). Avec une classification hiérarchique, un losange (un quadrilatère avec quatre côtés de même longueur) est considéré comme un cas particulier d'un cerf-volant, car il est possible de diviser ses bords en deux paires adjacentes de longueur égale, et un carré est un cas particulier d'un losange qui a des angles droits égaux, et est donc aussi un cas particulier d'un cerf-volant. Selon cette classification, tous les cerfs-volants équilatéraux sont des losanges et tous les cerfs-volants équiangulaires (qui sont par définition équilatéraux) sont des carrés. Cependant, avec une classification de partitionnement, les losanges et les carrés ne sont pas considérés comme des cerfs-volants, et il n'est pas possible qu'un cerf-volant soit équilatéral ou équiangulaire. Pour la même raison, avec une classification de partitionnement, les formes répondant aux contraintes supplémentaires d'autres classes de quadrilatères, telles que les bons cerfs - volants discutés ci-dessous, ne seraient pas considérées comme des cerfs-volants.
Le reste de cet article suit une classification hiérarchique, dans laquelle les losanges, les carrés et les cerfs-volants droits sont tous considérés comme des cerfs-volants. En évitant de traiter différemment les cas particuliers, cette classification hiérarchique peut aider à simplifier l'énoncé des théorèmes sur les cerfs-volants.
Un cerf-volant avec trois angles égaux de 108° et un angle de 36° forme l' enveloppe convexe du luth de Pythagore .
Les cerfs-volants qui sont aussi des quadrilatères cycliques (c'est-à-dire les cerfs-volants qui peuvent être inscrits dans un cercle) sont exactement ceux formés de deux triangles rectangles congrus . C'est-à-dire que pour ces cerfs-volants, les deux angles égaux sur les côtés opposés de l'axe de symétrie sont chacun de 90 degrés. Ces formes sont appelées cerfs-volants droits . Parce qu'ils circonscrivent un cercle et sont inscrits dans un autre cercle, ce sont des quadrilatères bicentriques . Parmi tous les quadrilatères bicentriques ayant deux rayons de cercle donnés , celui dont l'aire est maximale est un cerf-volant droit.
Il n'y a que huit polygones qui peuvent carreler le plan de telle manière que la réflexion de n'importe quelle tuile sur l'un de ses bords produit une autre tuile ; un pavage ainsi réalisé s'appelle un pavage de bords . L'un d'eux est un carrelage par un cerf-volant droit, avec des angles de 60°, 90° et 120°. Le pavage qu'il produit par ses reflets est le pavage deltoïdal trihexagonal .
Un cerf-volant droit |
Un cerf-volant équidiagonal inscrit dans un triangle de Reuleaux |
Parmi tous les quadrilatères, la forme qui a le plus grand rapport entre son périmètre et son diamètre est un cerf-volant équidiagonal avec des angles π/3, 5π/12, 5π/6, 5π/12. Ses quatre sommets se situent aux trois coins et à l'un des milieux latéraux du triangle de Reuleaux (en haut à droite).
En géométrie non euclidienne , un quadrilatère de Lambert est un cerf-volant droit à trois angles droits.
Caractérisations
Un quadrilatère est un cerf - volant si et seulement si l'une des conditions suivantes est vraie :
- Deux paires disjointes de côtés adjacents sont égales (par définition).
- Une diagonale est la médiatrice de l'autre diagonale. (Dans le cas concave, c'est le prolongement d'une des diagonales.)
- Une diagonale est une ligne de symétrie (elle divise le quadrilatère en deux triangles congrus qui sont des images miroir l'un de l'autre).
- Une diagonale coupe une paire d'angles opposés.
Symétrie
Les cerfs-volants sont les quadrilatères qui ont un axe de symétrie le long d'une de leurs diagonales . Tout quadrilatère non auto- croissant qui a un axe de symétrie doit être soit un cerf-volant (si l'axe de symétrie est une diagonale) soit un trapèze isocèle (si l'axe de symétrie passe par les milieux de deux côtés); ceux-ci incluent comme cas particuliers le losange et le rectangle respectivement, qui ont chacun deux axes de symétrie, et le carré qui est à la fois un cerf-volant et un trapèze isocèle et a quatre axes de symétrie. Si les croisements sont autorisés, la liste des quadrilatères avec des axes de symétrie doit être élargie pour inclure également les antiparallélogrammes .
Propriétés de base
Chaque cerf-volant est orthodiagonal , ce qui signifie que ses deux diagonales sont perpendiculaires l'une à l'autre. De plus, l'une des deux diagonales (l'axe de symétrie) est la médiatrice de l'autre, et est aussi la bissectrice des deux angles qu'elle rencontre.
L'une des deux diagonales d'un cerf-volant convexe le divise en deux triangles isocèles ; l'autre (l'axe de symétrie) divise le cerf-volant en deux triangles congrus . Les deux angles intérieurs d'un cerf-volant situés de part et d'autre de l'axe de symétrie sont égaux.
Zone
Comme c'est le cas plus généralement pour tout quadrilatère orthodiagonal , l'aire A d'un cerf-volant peut être calculée comme la moitié du produit des longueurs des diagonales p et q :
En variante, si une et b sont les longueurs des deux côtés inégaux, et θ est l' angle entre des côtés inégaux, puis la zone est
Cercles tangents
Chaque cerf-volant convexe a un cercle inscrit ; c'est-à-dire qu'il existe un cercle tangent aux quatre côtés. Par conséquent, tout cerf-volant convexe est un quadrilatère tangentiel . De plus, si un cerf-volant convexe n'est pas un losange, il existe un autre cercle, extérieur au cerf-volant, tangent aux lignes qui passent par ses quatre côtés ; par conséquent, tout cerf-volant convexe qui n'est pas un losange est un quadrilatère ex-tangentiel .
Pour chaque cerf-volant concave, il existe deux cercles tangents aux quatre côtés (éventuellement prolongés) : l'un est intérieur au cerf-volant et touche les deux côtés opposés de l'angle concave, tandis que l'autre cercle est extérieur au cerf-volant et touche le cerf-volant sur le deux arêtes incidentes à l'angle concave.
Propriétés doubles
Les cerfs-volants et les trapèzes isocèles sont doubles : la figure polaire d'un cerf-volant est un trapèze isocèle, et vice versa. La dualité des angles latéraux des cerfs-volants et des trapèzes isocèles est comparée dans le tableau ci-dessous.
trapèze isocèle | cerf-volant |
---|---|
Deux paires d'angles adjacents égaux | Deux paires de côtés adjacents égaux |
Une paire de côtés opposés égaux | Une paire d'angles opposés égaux |
Un axe de symétrie passant par une paire de côtés opposés | Un axe de symétrie passant par une paire d'angles opposés |
Cercle circonscrit | Cercle inscrit |
Carrelages et polyèdres
Tous les cerfs-volants carrelent le plan par inversion répétée autour des milieux de leurs bords, comme le font plus généralement tous les quadrilatères. Un cerf-volant avec des angles π/3, π/2, 2π/3, π/2 peut également carreler le plan par réflexion répétée sur ses bords ; le pavage résultant, le pavage trihexagonal deltoïdal , superpose un pavage du plan par des hexagones réguliers et des triangles isocèles.
Le icositétraèdre trapézoïdal , hexacontaèdre trapézoïdal , et trapezohedron sont des polyèdres avec congruents en forme de cerf - volant facettes . Il existe une infinité de pavages uniformes du plan hyperbolique par les cerfs-volants, dont le plus simple est le pavage deltoïdal triheptagonal.
Les cerfs-volants et les fléchettes dans lesquels les deux triangles isocèles formant le cerf-volant ont des angles au sommet de 2π/5 et 4π/5 représentent l'un des deux ensembles de carreaux essentiels dans le pavage de Penrose , un pavage apériodique du plan découvert par le physicien mathématicien Roger Penrose .
L'auto-pavage face-transitive de la sphère, du plan euclidien et du plan hyperbolique avec des cerfs-volants se produit sous forme de duels uniformes : pour le groupe de Coxeter [p,q], avec tout ensemble de p,q compris entre 3 et l'infini, comme ce tableau le montre partiellement jusqu'à q=6. Lorsque p=q, les cerfs-volants deviennent des losanges ; lorsque p=q=4, ils deviennent des carrés .
Polyèdres | euclidien | Pavages hyperboliques | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
V4.3.4.3 |
V4.3.4.4 |
V4.3.4.5 |
V4.3.4.6 |
V4.3.4.7 |
V4.3.4.8 |
... |
V4.3.4.∞ |
Polyèdres | euclidien | Pavages hyperboliques | |||||
V4.4.4.3 |
V4.4.4.4 |
V4.4.4.5 |
V4.4.4.6 |
V4.4.4.7 |
V4.4.4.8 |
... |
V4.4.4.∞ |
Polyèdres | Pavages hyperboliques | ||||||
V4.3.4.5 |
V4.4.4.5 |
V4.5.4.5 |
V4.6.4.5 |
V4.7.4.5 | V4.8.4.5 | ... | V4.∞.4.5 |
euclidien | Pavages hyperboliques | ||||||
V4.3.4.6 |
V4.4.4.6 |
V4.5.4.6 |
V4.6.4.6 |
V4.7.4.6 |
V4.8.4.6 |
... |
V4.∞.4.6 |
Pavages hyperboliques | |||||||
V4.3.4.7 |
V4.4.4.7 |
V4.5.4.7 | V4.6.4.7 | V4.7.4.7 | V4.8.4.7 | ... | V4.∞.4.7 |
Pavages hyperboliques | |||||||
V4.3.4.8 |
V4.4.4.8 |
V4.5.4.8 |
V4.6.4.8 |
V4.7.4.8 |
V4.8.4.8 |
... |
V4.∞.4.8 |
Conditions pour quand un quadrilatère tangentiel est un cerf-volant
Un quadrilatère tangentiel est un cerf - volant si et seulement si l'une des conditions suivantes est vraie :
- L'aire est la moitié du produit des diagonales .
- Les diagonales sont perpendiculaires . (Ainsi les cerfs-volants sont exactement les quadrilatères qui sont à la fois tangentiels et orthodiagonaux .)
- Les deux segments de droite reliant des points de tangence opposés ont la même longueur.
- Une paire de longueurs tangentes opposées a la même longueur.
- Les bimédianes ont la même longueur.
- Les produits des côtés opposés sont égaux.
- Le centre du cercle inscrit se trouve sur une ligne de symétrie qui est également une diagonale.
Si les diagonales d'un quadrilatère tangentiel ABCD se coupent en P et que les cercles inscrits des triangles ABP , BCP , CDP , DAP ont respectivement des rayons r 1 , r 2 , r 3 et r 4 , alors le quadrilatère est un cerf-volant si et seulement si
Si les cercles extérieurs aux mêmes quatre triangles opposés au sommet P ont respectivement des rayons R 1 , R 2 , R 3 et R 4 , alors le quadrilatère est un cerf-volant si et seulement si
Les références
Liens externes
- Weisstein, Eric W. « Cerf-volant » . MathWorld .
- formules d'aire avec animation interactive sur Mathopenref.com