Théorème de Krull - Krull's theorem
En mathématiques , et plus spécifiquement en théorie des anneaux , le théorème de Krull , nommé d'après Wolfgang Krull , affirme qu'un anneau non nul a au moins un idéal maximal . Le théorème a été prouvé en 1929 par Krull, qui a utilisé l'induction transfinie . Le théorème admet une preuve simple utilisant le lemme de Zorn , et est en fait équivalent au lemme de Zorn , qui à son tour est équivalent à l' axiome de choix .
Variantes
- Pour les anneaux non commutatifs , les analogues pour les idéaux maximaux à gauche et les idéaux maximaux à droite sont également valables.
- Pour les pseudo-anneaux , le théorème est valable pour les idéaux réguliers .
- Un résultat légèrement plus fort (mais équivalent), qui peut être prouvé de la même manière, est le suivant:
- Laissez - R un anneau, et que je sois un idéal propre de R . Ensuite , il y a un idéal maximal de R contenant I .
- Ce résultat implique le théorème original, en prenant I comme l' idéal nul (0). Inversement, l'application du théorème original à R / I conduit à ce résultat.
- Pour prouver le résultat plus fort directement, considérons l'ensemble S de tous les idéaux appropriés de R contenant I . L'ensemble S est non vide puisque je ∈ S . En outre, pour toute chaîne T de S , l'union des idéaux en T est un idéal J , et une union des idéaux ne contenant pas de 1 ne contient pas de 1, alors J ∈ S . Par lemme de Zorn, S a un élément maximal M . Ce M est un idéal maximal contenant I .
Hauptidealsatz de Krull
Un autre théorème communément appelé théorème de Krull:
- Soit un anneau noéthérien et dont un élément n'est ni un diviseur nul ni une unité . Alors chaque idéal premier minimal contenant a la hauteur 1.
Remarques
Références
- Krull, W. (1929). "Idealtheorie dans Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen". Mathematische Annalen . 101 (1): 729–744. doi : 10.1007 / BF01454872 .
- Hodges, W. (1979). "Krull implique Zorn". Journal de la London Mathematical Society . s2-19 (2): 285-287. doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.285 .