L ^p espace - L^p space

En mathématiques , les espaces L ^p sont des espaces de fonctions définis en utilisant une généralisation naturelle de la norme p pour les espaces vectoriels de dimension finie . Ils sont parfois appelés espaces de Lebesgue , nommé d' après Henri Lebesgue ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), bien que selon le Bourbaki groupe ( Bourbaki 1987 ) , ils ont d' abord été introduits par Frigyes Riesz ( Riesz 1910 ). L ^p espaces forment une classe importante d' espaces de Banach dans l' analyse fonctionnelle , et des espaces vectoriels topologiques . En raison de leur rôle clé dans l'analyse mathématique des espaces de mesure et de probabilité, les espaces de Lebesgue sont également utilisés dans la discussion théorique des problèmes de physique, de statistique, de finance, d'ingénierie et d'autres disciplines.

Applications

Statistiques

En statistique , les mesures de tendance centrale et de dispersion statistique , telles que la moyenne , la médiane et l' écart type , sont définies en termes de métriques L ^p , et les mesures de tendance centrale peuvent être caractérisées comme des solutions à des problèmes variationnels .

Dans la régression pénalisée, "pénalité L1" et "pénalité L2" se réfèrent à pénaliser soit la norme L ¹ du vecteur de valeurs de paramètres d'une solution (c'est-à-dire la somme de ses valeurs absolues), soit sa norme L ² (sa longueur euclidienne ). Les techniques qui utilisent une pénalité L1, comme LASSO , encouragent les solutions où de nombreux paramètres sont nuls. Les techniques qui utilisent une pénalité L2, comme la régression de crête , encouragent les solutions où la plupart des valeurs des paramètres sont petites. La régularisation par filet élastique utilise un terme de pénalité qui est une combinaison de la norme L ¹ et de la norme L ² du vecteur de paramètres.

Inégalité Hausdorff-Young

La transformée de Fourier pour la ligne réelle (ou, pour les fonctions périodiques , voir les séries de Fourier ), fait correspondre respectivement L ^p ( R ) à L ^q ( R ) (ou L ^p ( T ) à ℓ ^q ), où 1 ≤ p ≤ 2 et 1/p + 1/q= 1 . Ceci est une conséquence du théorème d'interpolation de Riesz-Thorin , et est précisé avec l' inégalité de Hausdorff-Young .

En revanche, si p > 2 , la transformée de Fourier ne correspond pas à L ^q .

Espaces Hilbert

Les espaces de Hilbert sont au cœur de nombreuses applications, de la mécanique quantique au calcul stochastique . Les espaces L ² et ℓ ² sont les deux espaces de Hilbert. En fait, en choisissant une base de Hilbert (ie, un sous-ensemble orthonormal maximal de L ² ou de tout espace de Hilbert), on voit que tous les espaces de Hilbert sont isométriques à ℓ ² ( E ) , où E est un ensemble de cardinalité appropriée.

La norme p en dimensions finies

La longueur d'un vecteur x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) dans l' espace vectoriel réel à n dimensions R ⁿ est généralement donnée par la norme euclidienne :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n} }^{2}\droit)^{1/2}.}$

La distance euclidienne entre deux points x et y est la longueur || x − y || ₂ de la droite entre les deux points. Dans de nombreuses situations, la distance euclidienne est insuffisante pour capturer les distances réelles dans un espace donné. Une analogie à cela est suggérée par les chauffeurs de taxi dans un plan des rues en quadrillage qui devraient mesurer la distance non pas en termes de longueur de la ligne droite jusqu'à leur destination, mais en termes de distance rectiligne , qui tient compte du fait que les rues sont soit orthogonales, soit parallèles les uns aux autres. La classe des p- normes généralise ces deux exemples et a une abondance d'applications dans de nombreux domaines des mathématiques , de la physique et de l' informatique .

Définition

Pour un nombre réel p 1 , la p -norme ou L ^p -norme de x est définie par

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n} |^{p}\droit)^{1/p}.}$

Les barres de valeur absolue sont inutiles lorsque p est un nombre rationnel et, sous forme réduite, a un numérateur pair.

La norme euclidienne d'en haut appartient à cette classe et est la norme 2 , et la norme 1 est la norme qui correspond à la distance rectiligne .

La L ^∞ -norme ou norme maximale (ou norme uniforme) est la limite des L ^p -normes pour p → ∞ . Il s'avère que cette limite est équivalente à la définition suivante :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\ }}$

Voir L- infini .

Pour tout p 1 , les p -normes et la norme maximale telles que définies ci-dessus satisfont en effet les propriétés d'une « fonction longueur » (ou norme ), qui sont que :

• seul le vecteur zéro a une longueur nulle,
• la longueur du vecteur est homogène positive par rapport à la multiplication par un scalaire ( homogénéité positive ), et
• la longueur de la somme de deux vecteurs n'est pas supérieure à la somme des longueurs des vecteurs ( inégalité triangulaire ).

De manière abstraite, cela signifie que R ⁿ avec la norme p est un espace de Banach . Cet espace Banach est la L ^p -space sur R ⁿ .

Relations entre les p -normes

La distance de grille ou distance rectiligne (parfois appelée la « distance de Manhattan ») entre deux points n'est jamais plus courte que la longueur du segment de droite qui les sépare (la distance euclidienne ou « à vol d'oiseau »). Formellement, cela signifie que la norme euclidienne de tout vecteur est limitée par sa 1-norme :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}.}$

Ce fait se généralise aux p -normes en ce que la p -norme || x || _p d'un vecteur x donné ne croît pas avec p :

|| x || _{p + a} || x || _p pour tout vecteur x et nombres réels p 1 et a ≥ 0 . (En fait cela reste vrai pour 0 < p < 1 et a ≥ 0 .)

Pour le sens inverse, la relation suivante entre la norme 1 et la norme 2 est connue :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}.}$

Cette inégalité dépend de la dimension n de l'espace vectoriel sous-jacent et découle directement de l' inégalité de Cauchy-Schwarz .

En général, pour les vecteurs dans C ⁿ où 0 < r < p :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}\leq \left\|x\right\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\gauche\|x\droit\|_{p}.}$

Ceci est une conséquence de l'inégalité de Hölder .

Lorsque 0 < p < 1

Dans R ⁿ pour n > 1 , la formule

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p }\droit)^{1/p}}$

définit une fonction absolument homogène pour 0 < p < 1 ; cependant, la fonction résultante ne définit pas de norme, car elle n'est pas sous-additive . D'autre part, la formule

${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$

définit une fonction sous-additive au prix d'une perte d'homogénéité absolue. Il définit cependant une norme F , qui est homogène de degré p .

Par conséquent, la fonction

${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$

définit une métrique . L'espace métrique ( R ⁿ , d _p ) est désignée par ℓ _n ^p .

Bien que la boule p- unité B _n ^p autour de l'origine dans cette métrique soit "concave", la topologie définie sur R ⁿ par la métrique d _p est la topologie d'espace vectoriel habituelle de R ⁿ , donc ℓ _n ^p est une topologie localement convexe espace vectoriel. Au-delà de cet énoncé qualitatif, une façon quantitative de mesurer le manque de convexité de ℓ _n ^p est de noter par C _p ( n ) la plus petite constante C telle que le multiple C B _n ^p de la boule p- unité contienne l'enveloppe convexe de B _n ^p , égal à B _n ¹ . Le fait que pour p fixe < 1 on ait

${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\frac {1}{p}}-1}\à \infty ,\quad {\text{as }}n\à \infty }$

montre que l'espace des séquences de dimension infinie ℓ ^p défini ci-dessous, n'est plus localement convexe.

Quand p = 0

Il existe une norme ℓ ₀ et une autre fonction appelée la « norme » ℓ ₀ (avec des guillemets).

La définition mathématique de la norme ℓ _{0 a} été établie par la théorie des opérations linéaires de Banach . L' espace des séquences a une topologie métrique complète fournie par la norme F

${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$

qui est discuté par Stefan Rolewicz dans Metric Linear Spaces . L' espace normé ℓ ₀ est étudié en analyse fonctionnelle, en théorie des probabilités et en analyse harmonique.

Une autre fonction a été appelée la « norme » ℓ ₀ par David Donoho — dont les guillemets avertissent que cette fonction n'est pas une norme appropriée — est le nombre d'entrées non nulles du vecteur x . De nombreux auteurs abusent de la terminologie en omettant les guillemets. En définissant 0 ⁰ = 0 , la "norme" zéro de x est égale à

${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$

Ce n'est pas une norme car ce n'est pas homogène . Par exemple, la mise à l'échelle du vecteur x par une constante positive ne change pas la "norme". Malgré ces défauts en tant que norme mathématique, la "norme" de comptage non nulle a des utilisations dans le calcul scientifique , la théorie de l'information et les statistiques, notamment dans la détection compressée dans le traitement du signal et l'analyse informatique des harmoniques . Bien qu'elle ne soit pas une norme, la métrique associée, connue sous le nom de distance de Hamming , est une distance valide, car l'homogénéité n'est pas requise pour les distances.

Le p -norme en dimension infinie et ℓ ^p espaces

L'espace séquence ℓ ^p

Le p -norme peut être étendue à des vecteurs qui ont un certain nombre de composants infini ( séquences ), ce qui donne l'espace ℓ ^p . Celui-ci contient comme cas particuliers :

• ℓ ¹ , l'espace des séquences dontsérie est absolument convergente ,
• ℓ ² , l'espace dessuites carrées sommables , qui est un espace de Hilbert , et
• ℓ ^∞ , l'espace des suites bornées .

L'espace des séquences a une structure spatiale vectorielle naturelle en appliquant l'addition et la multiplication scalaire coordonnée par coordonnée. Explicitement, la somme vectorielle et l'action scalaire pour des séquences infinies de nombres réels (ou complexes ) sont données par :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2} ,\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_ {n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n} ,\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$

Définissez la norme p :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n} |^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$

Ici, une complication survient, à savoir que la série de droite n'est pas toujours convergente, donc par exemple, la suite composée de uns seulement, (1, 1, 1, ...) , aura une p -norme infinie pour 1 p < ∞ . L'espace ℓ ^p est alors défini comme étant l'ensemble de toutes les séquences infinies de réels (ou complexes) des nombres tels que le p -norme est fini.

On peut vérifier que lorsque p augmente, l'ensemble ℓ ^p grandit. Par exemple, la séquence

${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right )}$

n'est pas dans ℓ ¹ , mais il est dans ℓ ^p pour p > 1 , car la série

${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{( n+1)^{p}}}+\cdots ,}$

diverge pour p = 1 (la série harmonique ), mais est convergente pour p > 1 .

On définit aussi la ∞ -norme à l'aide du supremum :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+ 1}|,\ldots )}$

et l'espace correspondant ℓ ^∞ de toutes les séquences délimitées. Il se trouve que

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\|x\right\|_{p}}$

si le membre de droite est fini, ou le membre de gauche est infini. Ainsi, nous considérerons ℓ ^p espaces pour 1 ≤ p ≤ ∞ .

La p -norme ainsi définie sur ℓ ^p est bien une norme, et ℓ ^p avec cette norme est un espace de Banach . L' espace L ^p pleinement général s'obtient — comme on le voit ci-dessous — en considérant des vecteurs, non seulement à nombre fini ou dénombrable à nombre infini de composants, mais à « nombre arbitraire de composants » ; en d'autres termes, des fonctions . Une intégrale au lieu d'une somme est utilisée pour définir la norme p .

Général ℓ ^p -espace

Par analogie complète avec la définition précédente, on peut définir l'espace sur un ensemble d' indices général (et ) comme ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\style d'affichage I}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$

${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I }|x_{i}|^{p}<\infty \right\}\,}$,

où la convergence sur la droite signifie que seules de nombreuses sommes sont non nulles (voir aussi Convergence inconditionnelle ). Avec la norme

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$

l'espace devient un espace Banach. Dans le cas où est fini avec des éléments, cette construction donne R ⁿ avec la -norme définie ci-dessus. Si est dénombrable infini, c'est exactement l'espace de séquence défini ci-dessus. Pour les ensembles d' innombrables ceci est un non - séparable espace Banach qui peut être considéré comme le localement convexe limite directe des espaces de -Séquence. ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\style d'affichage I}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage I}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\style d'affichage I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

L'ensemble d'indices peut être transformé en un espace de mesure en lui donnant la -algèbre discrète et la mesure de comptage . Alors l'espace n'est qu'un cas particulier de l' espace plus général (voir ci-dessous). ${\style d'affichage I}$${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\displaystyle L^{p}}$

L ^p espaces et intégrales de Lebesgue

Un espace L ^p peut être défini comme un espace de fonctions mesurables dont la puissance -ième de la valeur absolue est intégrable de Lebesgue , où sont identifiées les fonctions qui s'accordent presque partout. Plus généralement, soit 1 ≤ p < ∞ et ( S , Σ, μ ) un espace de mesure . Considérons l'ensemble de toutes les fonctions mesurables de S à C ou R dont la valeur absolue élevée à la puissance p a une intégrale finie, ou de manière équivalente, que ${\style d'affichage p}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\equiv \left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\ infini }$

L'ensemble de ces fonctions forme un espace vectoriel , avec les opérations naturelles suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(\lambda f)(x)&=\lambda f(x)\end{ aligné}}}$

pour chaque scalaire λ .

Que la somme de deux fonctions intégrables de puissance p -ième soit à nouveau intégrable de puissance p -ième découle de l'inégalité

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_ {p}^{p}\droit).}$

(Cela vient de la convexité de for .) ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$${\style d'affichage p\geq 1}$

En fait, plus est vrai. L'inégalité de Minkowski dit que l' inégalité triangulaire est vraie pour || · || _p . Ainsi l'ensemble des fonctions intégrables de puissance p -ième, ainsi que la fonction || · || _p , est un espace vectoriel semi -normé, noté . ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$

Pour p = , l'espace est l'espace des fonctions mesurables borné presque partout, avec comme norme le supremum essentiel de sa valeur absolue : ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ pour presque tous les }}x\}.}$

Comme dans le cas discret, s'il existe q <∞ telle que f   ∈ L ^∞ ( S , μ ) ∩ L ^q ( S , μ ) , puis  

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$peut être transformé en un espace vectoriel normé d'une manière standard; on prend simplement l' espace quotient par rapport au noyau de || · || _p . Puisque pour toute fonction mesurable f , nous avons que || f  || _p = 0 si et seulement si f   = 0 presque partout , le noyau de || · || _p ne dépend pas de p ,    

${\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv \{f:f=0\ \mu {\text{-presque partout}}\}=\ker(\|\cdot \|_{p})\qquad \forall \ 1\leq p<\infty }$

Dans l'espace quotient, deux fonctions f et g sont identifiées si f   = g presque partout. L'espace vectoriel normé résultant est, par définition,    

${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\equiv {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}}$

En général, ce processus ne peut pas être inversé : il n'existe aucun moyen cohérent de définir un représentant « canonique » de chaque coset de dans . Pour , cependant, il existe une théorie des ascenseurs permettant une telle récupération. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{\infty }}$

Lorsque l'espace de mesure sous - jacente S est comprise, L ^p ( S , μ ) est souvent abrégé L ^p ( μ ) , ou tout simplement L ^p .

Pour 1 ≤ p ≤ ∞, L ^p ( S , μ ) est un espace de Banach . Le fait que L ^p est complet est souvent appelé théorème de Riesz-Fischer , et peut être prouvé en utilisant les théorèmes de convergence pour les intégrales de Lebesgue .

Les définitions ci-dessus se généralisent aux espaces de Bochner .

Cas spéciaux

Tout comme les ℓ ^p espaces, L ² est le seul espace de Hilbert entre L ^p espaces. Dans le cas complexe, le produit scalaire sur L ² est défini par

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}$

La structure de produit interne supplémentaire permet une théorie plus riche, avec des applications, par exemple, aux séries de Fourier et à la mécanique quantique . Les fonctions de L ² sont parfois appelées fonctions quadratiquement intégrables , fonctions de carré intégrable ou fonctions carré sommable , mais parfois , ces termes sont réservés pour des fonctions de carré intégrable dans un autre sens, comme dans le sens d'une intégrale de Riemann ( Titchmarsh 1976 ).

Si nous utilisons des fonctions valeurs complexes, l'espace L ^∞ est un commutative C * -algèbre avec la multiplication et la conjugaison pointwise. Pour de nombreux espaces de mesure, y compris tous les espaces sigma-finis, il s'agit en fait d'une algèbre de von Neumann commutative . Un élément de L ^∞ définit un opérateur borné sur tout espace L ^p par multiplication .

Pour 1 ≤ p ≤ ∞ l' ℓ ^p espaces sont un cas particulier de L ^p espaces, lorsque S = N , et μ est la mesure de comptage sur N . Plus généralement, si l' on considère un ensemble S de la mesure de comptage, la résultante L ^p espace est notée ℓ ^p ( S ) . Par exemple, l'espace ℓ ^p ( Z ) est l'espace de toutes les séquences indexées par des entiers, et lors de la définition de la p -norme sur l' espace d'un tel, on somme sur tous les nombres entiers. L'espace ℓ ^p ( n ) , où n est l'ensemble des n éléments, est R ⁿ avec son p -norme tel que défini ci - dessus. Comme tout espace de Hilbert, chaque espace L ² est linéairement isométrique d'un convenable ℓ ² ( I ) , où la cardinalité de l'ensemble I est la cardinalité d'une base hilbertienne arbitraire pour ce particulier L ² .

Propriétés des espaces L ^p

Espaces doubles

L' espace dual (l'espace Banach de toutes les formes linéaires continues) de L ^p ( μ ) pour 1 < p <∞ a un isomorphisme naturel avec L ^q ( μ ) , où q est tel que 1/p + 1/q= 1 (c'est-à-dire q =p/p − 1). Cet isomorphisme associe g ∈ L ^q ( μ ) à la fonctionnelle κ _p ( g ) ∈ L ^p ( μ ) ^∗ définie par

${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu \ }$ pour chaque ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$

Le fait que κ _p ( g ) est suit bien définie et continue de l'inégalité de Hölder . κ _p  : L ^q ( μ ) → L ^p ( μ ) ^∗ est une application linéaire qui est une isométrie par le cas extrême de l'inégalité de Hölder. Il est également possible de montrer (par exemple avec le théorème de Radon–Nikodym , voir) que tout G ∈ L ^p ( μ ) ^∗ peut être exprimé de cette façon : c'est-à-dire que κ _p est sur . Puisque κ _p est sur et isométrique, c'est un isomorphisme des espaces de Banach . Avec cet isomorphisme (isométrique) à l'esprit, il est habituel de dire simplement que L ^q est l'espace de Banach dual de L ^p .

Pour 1 < p <∞ , l'espace L ^p ( μ ) est réflexive . Soit κ _p comme ci-dessus et soit κ _q  : L ^p ( μ ) → L ^q ( μ ) ^∗ l'isométrie linéaire correspondante. Considérons l'application de L ^p ( μ ) à L ^p ( μ ) ^∗∗ , obtenue en composant κ _q avec la transposée (ou adjointe) de l'inverse de κ _p :

${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}$

Cette carte coïncide avec le plongement canonique J de L ^p ( μ ) dans sa bidual. De plus, l'application j _p est sur, comme composition de deux sur des isométries, ce qui prouve la réflexivité.

Si la mesure μ sur S est sigma-fini , puis le double de L ¹ ( μ ) est isométrique isomorphe à L ^∞ ( μ ) (plus précisément, la carte κ ₁ correspondant à p = 1 est une isométrie de L ^∞ ( μ ) sur L ¹ ( μ ) ^* ).

Le dual de L ^∞ est plus subtile. Éléments de L ^∞ ( μ ) ^* peuvent être identifiés avec borné signé finiment mesures additives sur S qui sont absolument continue par rapport à μ . Voir l' espace ba pour plus de détails. Si nous supposons l'axiome du choix, cet espace est beaucoup plus grand que L ¹ ( μ ) sauf dans quelques cas triviaux. Cependant, Saharon Shelah a prouvé qu'il existe des extensions relativement cohérentes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF + DC + "Chaque sous-ensemble des nombres réels a la propriété de Baire ") dans laquelle le dual de ℓ ^∞ est ℓ ¹ .

Incrustations

Familièrement, si 1 ≤ p < q ≤ ∞ , alors L ^p ( S , μ ) contient des fonctions qui sont plus localement singulier, tandis que les éléments de L ^q ( S , μ ) peuvent être plus dispersés. Considérons la mesure de Lebesgue sur la demi-droite (0, ∞) . Une fonction continue dans L ¹ peut exploser près de 0 mais doit décroître suffisamment rapidement vers l'infini. D'autre part, des fonctions continues dans L ^∞ n'a pas besoin du tout , mais la pourriture n'est autorisé blow-up. Le résultat technique précis est le suivant. Supposons que 0 < p < q ≤ ∞ . Puis:

1. L ^q ( S , μ ) ⊂ L ^p ( S , μ ) ssi S ne contient pas d'ensembles de mesure finie mais arbitrairement grande, et
2. L ^p ( S , μ ) ⊂ L ^q ( S , μ ) ssi S ne contient pasensembles de mesure non nulle mais arbitrairement petit.

Aucune des deux conditions ne tient pour la ligne réelle avec la mesure de Lebesgue. Dans les deux cas , l'enrobage est continue, en ce que l'opérateur de l' identité est un borné linéaire de L ^q de L ^p dans le premier cas, et L ^p à L ^q dans le second. (Ceci est une conséquence du théorème du graphe fermé et des propriétés des espaces L ^p .) En effet, si le domaine S a une mesure finie, on peut faire le calcul explicite suivant en utilisant l'inégalité de Hölder

${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(qp)}\|f^{p}\| _{q/p}}$

menant à

${\displaystyle \\|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}}$.

La constante apparaissant dans l'inégalité ci - dessus est optimale, en ce sens que la norme de l' opérateur de l'identité I  : L ^q ( S , μ ) → L ^p ( S , μ ) est précisément

${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$

le cas de l'égalité étant atteint exactement lorsque f   = 1 μ -presque-partout.  

Sous-espaces denses

Tout au long de cette section, nous supposons que : 1 ≤ p < ∞ .

Soit ( S , Σ, μ ) un espace de mesure. Une fonction simple intégrable f sur S est de la forme   

${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$

où a _j est scalaire, A _j ∈ Σ a une mesure finie et est la fonction indicatrice de l'ensemble , pour j = 1, ..., n . Par construction de l' intégrale , l'espace vectoriel des fonctions simples intégrables est dense dans L ^p ( S , Σ, μ ) . ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$${\style d'affichage A_{j}}$

Peut - on dire lorsque S est une normale espace topologique et Σ son Borel σ -algèbre , soit la plus petite σ -algèbre de sous - ensembles de S contenant les ensembles ouverts .

Supposons que V ⊂ S est un ensemble ouvert avec μ ( V ) <∞ . On peut montrer que pour tout Borel A Σ contenu dans V , et pour tout ε > 0 , il existe un fermé F et un ouvert U tels que

${\displaystyle F\sous-ensemble A\sous-ensemble U\sous-ensemble V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }$

Il en résulte qu'il existe une constante fonction de Urysohn 0 ≤ & phiv ≤ 1 sur S qui est 1 à F et 0 sur S ∖ U , avec

${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \ .}$

Si S peut être couvert par une suite croissante ( V _n ) d'ouverts de mesure finie, alors l'espace des p fonctions continues intégrables est dense dans L ^p ( S , , μ ) . Plus précisément, on peut utiliser des fonctions continues bornées qui s'annulent en dehors d'un des ouverts V _n .

Ceci s'applique en particulier lorsque S = R ^d et lorsque μ est la mesure de Lebesgue. L'espace des fonctions continues et à support compact est dense dans L ^p ( R ^d ) . De même, l'espace des fonctions échelons intégrables est dense dans L ^p ( R ^d ) ; cet espace est l'étendue linéaire des fonctions indicatrices d'intervalles bornés quand d = 1 , de rectangles bornés quand d = 2 et plus généralement des produits d'intervalles bornés.

Plusieurs propriétés de fonctions générales dans L ^p ( R ^d ) sont d'abord prouvées pour des fonctions continues et à support compact (parfois pour des fonctions échelons), puis étendues par densité à toutes les fonctions. Par exemple, on prouve ainsi que les translations sont continues sur L ^p ( R ^d ) , au sens suivant :

${\displaystyle \forall f\in L^{p}\left(\mathbf {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}ff\right\|_{p} \to 0,\quad {\text{as }}\mathbf {R} ^{d}\ni t\to 0,}$

où

${\style d'affichage (\tau _{t}f)(x)=f(xt).}$

L ^p (0 < p <1)

Soit ( S , Σ, μ ) un espace de mesure. Si 0 < p <1 , alors L ^p ( μ ) peut être défini comme ci - dessus: il est l'espace vectoriel de ces fonctions mesurables f de telle sorte que   

${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$

Comme précédemment, nous pouvons introduire la norme p || f  || _p = N _p (  f  ) ^{1/ p} , mais || · || _p ne satisfait pas l'inégalité triangulaire dans ce cas, et définit seulement une quasi-norme . L'inégalité ( a + b ) ^p ≤ a ^p + b ^p , valable pour un , b ≥ 0 implique que ( Rudin 1991 , §1.47)

${\style d'affichage N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$

et donc la fonction

${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(fg)=\|fg\|_{p}^{p}}$

est une métrique sur L ^p ( μ ) . L'espace métrique résultant est complet ; la vérification est similaire au cas familier lorsque p 1 .

Dans ce cadre L ^p satisfait une inégalité de Minkowski inverse , c'est-à-dire pour u , v dans L ^p

${\displaystyle {\Grand \|}|u|+|v|{\Grand \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$

Ce résultat peut être utilisé pour prouver les inégalités de Clarkson , qui sont à leur tour utilisées pour établir la convexité uniforme des espaces L ^p pour 1 < p < ( Adams & Fournier 2003 ).

L'espace L ^p pour 0 < p < 1 est un F-espace : il admet une métrique complète invariante à la translation par rapport à laquelle les opérations de l'espace vectoriel sont continues. Il est aussi localement borné , un peu comme le cas p 1 . C'est l'exemple prototypique d'un F-espace qui, pour la plupart des espaces de mesure raisonnables, n'est pas localement convexe : dans ℓ ^p ou L ^p ([0, 1]) , tout ouvert convexe contenant la fonction 0 est non borné pour le p -quasi-norme ; par conséquent, le vecteur 0 ne possède pas de système fondamental de voisinages convexes. Spécifiquement, cela est vrai si l'espace de mesure S contient une famille infinie d'ensembles mesurables disjoints de mesure positive finie.

Le seul ouvert convexe non vide dans L ^p ([0, 1]) est l'espace entier ( Rudin 1991 , §1.47). Par conséquent, il n'y a pas de fonctionnelles linéaires non nulles sur L ^p ([0, 1]) : l'espace dual est l'espace zéro. Dans le cas de la mesure de comptage sur les entiers naturels (produisant l'espace des séquences L ^p ( μ ) = ℓ ^p ), les fonctionnelles linéaires bornées sur ℓ ^p sont exactement celles qui sont bornées sur ℓ ¹ , à savoir celles données par les séquences dans ℓ ^∞ . Bien que ℓ ^p contienne des ensembles ouverts convexes non triviaux, il n'en a pas assez pour donner une base à la topologie.

La situation de ne pas avoir de fonctionnelles linéaires est hautement indésirable pour les besoins de l'analyse. Dans le cas de la mesure de Lebesgue sur R ⁿ , plutôt que de travailler avec L ^p pour 0 < p < 1 , il est courant de travailler avec l' espace de Hardy H ^p chaque fois que cela est possible, car celui-ci comporte pas mal de fonctionnelles linéaires : de quoi distinguer points les uns des autres. Cependant, le théorème de Hahn-Banach échoue toujours dans H ^p pour p < 1 ( Duren 1970 , §7.5).

L ⁰ , l'espace des fonctions mesurables

L'espace vectoriel des (classes d'équivalence de) fonctions mesurables sur ( S , Σ, μ ) est noté L ⁰ ( S , Σ, μ ) ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). Par définition, il contient tous les L ^p , et est doté de la topologie de convergence en mesure . Lorsque μ est une mesure de probabilité (ie, μ ( S ) = 1 ), ce mode de convergence est nommé convergence en probabilité .

La description est plus facile lorsque μ est finie. Si μ est une mesure finie sur ( S , Σ) , la fonction 0 admet pour la convergence en mesure le système fondamental de voisinages suivant

${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0}$

La topologie peut être définie par n'importe quelle métrique d de la forme

${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x )}$

où φ est concave continu borné et non décroissant sur [0, ∞) , avec φ (0) = 0 et φ ( t ) > 0 lorsque t > 0 (par exemple, φ ( t ) = min( t , 1) ) . Une telle métrique est appelée Lévy -métrique pour L ⁰ . Sous cette métrique l'espace L ⁰ est complet (c'est encore un F-espace). L'espace L ⁰ est en général non localement borné, et non localement convexe.

Pour la mesure de Lebesgue infinie λ sur R ⁿ , la définition du système fondamental des quartiers pourrait être modifié comme suit

${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ et }}|x|<{\frac { 1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$

L'espace résultant L ⁰ ( R ⁿ , λ ) coïncide comme espace vectoriel topologique avec L ⁰ ( R ⁿ , g ( x ) d λ (x)) , pour tout positif de intégrable densité g .

Généralisations et extensions

Faible L ^p

Soit ( S , Σ , μ ) un espace de mesure, et f une fonction mesurable à valeurs réelles ou complexes sur S . La fonction de distribution de f est définie pour t 0 par

${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \left\{x\in S:|f(x)|>t\right\}}$

Si f est dans L ^p ( S , μ ) pour une p avec 1 ≤ p <∞ , puis par l'inégalité de Markov ,

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$

Une fonction f est dit être dans l'espace faible L ^p ( S , μ ) , ou L ^{p , w} ( S , μ ) , s'il y a une constante C > 0 tel que, pour tout t > 0 ,

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$

La meilleure constante C pour cette inégalité est la L ^{p , w} -norme de f , et est notée

${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$

Les L ^p faibles coïncident avec les espaces de Lorentz L ^{p ,∞} , donc cette notation est également utilisée pour les noter.

La L ^{p , w} -norme n'est pas une vraie norme, puisque l' inégalité triangulaire ne tient pas. Néanmoins, pour f dans L ^p ( S , μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$

et en particulier L ^p ( S , μ ) ⊂ L ^{p , w} ( S , μ ) .

En fait, on a

${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f( x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\ {|f|>t\})}$,

et en élevant à la puissance 1/ p et en prenant le supremum en t on a

${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\ |f\|_{L^{p,w}}.}$

Sous la convention que deux fonctions sont égales si elles sont égales μ presque partout, alors les espaces L ^{p , w} sont complets ( Grafakos 2004 ).

Pour tout 0 < r < p l'expression

${\displaystyle |||f|||_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1 /p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$

est comparable à la L ^{p , w} -norme. De plus dans le cas p > 1 , cette expression définit une norme si r = 1 . Ainsi pour p > 1 les espaces L ^p faibles sont des espaces de Banach ( Grafakos 2004 ).

Un résultat majeur qui utilise les espaces L ^{p , w} est le théorème d' interpolation de Marcinkiewicz , qui a de larges applications à l' analyse harmonique et à l' étude des intégrales singulières .

Espaces L ^p pondérés

Comme précédemment, considérons un espace de mesure ( S , Σ, μ ) . Soit w  : S → [0, ∞) une fonction mesurable. Le w - pondéré L ^p espace est défini comme L ^p ( S , w  d μ ) , où w  j de les moyens de la mesure ν défini par

${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$

ou, en termes de dérivée Radon-Nikodym , w =d ν/d μ la norme pour L ^p ( S , w  d μ ) est explicitement

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x) |^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$

Comme L ^p -espaces, les espaces pondérés n'ont rien de spécial, puisque L ^p ( S , w  d μ ) est égal à L ^p ( S , d ν ) . Mais ils sont le cadre naturel de plusieurs résultats en analyse harmonique ( Grafakos 2004 ) ; ils apparaissent par exemple dans le théorème Muckenhoupt : pour 1 < p <∞ , la classique transformée de Hilbert est définie sur L ^p ( T , λ ) où T représente le cercle unité et X la mesure de Lebesgue; l' opérateur maximal (non linéaire) de Hardy–Littlewood est borné sur L ^p ( R ⁿ , λ ) . Le théorème de Muckenhoupt décrit des poids w de sorte que la transformée de Hilbert reste bornée L ^p ( T , w  d λ ) et l'opérateur maximal sur L ^p ( R ⁿ , w  d λ ) .

L ^p espaces sur les variétés

On peut aussi définir des espaces L ^p ( M ) sur une variété, appelés espaces intrinsèques L ^p de la variété, en utilisant des densités .

Espaces L ^{p à} valeur vectorielle

Étant donné un espace de mesure ( X , Σ, μ ) et un espace localement convexe E , on peut également définir un espace de fonctions p -intégrables à valeurs E de plusieurs manières. Les plus communs d'entre eux sont les espaces des fonctions intégrables de Bochner et Pettis-intégrables . En utilisant le produit tensoriel des espaces localement convexes, ceux-ci peuvent être respectivement définis comme et ; où et désignent respectivement les produits tensoriels projectifs et injectifs des espaces localement convexes. Lorsque E est un espace nucléaire , Grothendieck a montré que ces deux constructions sont indiscernables. ${\displaystyle L_{\mu }^{p}\left(X,\Sigma ,\mu \right)\otimes _{\pi }E}$${\displaystyle L_{\mu }^{p}\left(X,\Sigma ,\mu \right)\otimes _{\epsilon }E}$${\displaystyle \otimes _{\pi }}$${\displaystyle \otimes _{\epsilon }}$

Voir également

Remarques

Les références

• Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), Sobolev Spaces (deuxième éd.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Bourbaki, Nicolas (1987), Espaces vectoriels topologiques , Éléments de mathématiques, Berlin : Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Analyse réelle , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1958), Opérateurs linéaires, volume I , Wiley-Interscience.
• Duren, P. (1970), Theory of H ^p -Spaces , New York : Academic Press
• Grafakos, Loukas (2004), Analyse de Fourier classique et moderne , Pearson Education, Inc., pp. 253-257, ISBN 0-13-035399-X.
• Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Analyse réelle et abstraite , Springer-Verlag.
• Kalton, Nigel J. ; Peck, N. Tenney ; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler , London Mathematical Society Lecture Note Series, 89 , Cambridge : Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511662447 , ISBN 0-521-27585-7, MR  0808777
• Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" , Mathematische Annalen , 69 (4) : 449-497, doi : 10.1007/BF01457637 , S2CID  120242933
• Rudin, Walter (1991). Analyse fonctionnelle . Série Internationale de Mathématiques Pures et Appliquées. 8 (Deuxième éd.). New York, NY : McGraw-Hill Science/Ingénierie/Maths . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Rudin, Walter (1987), Analyse réelle et complexe (3e éd.), New York : McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, MR  0924157
• Titchmarsh, EC (1976), La théorie des fonctions , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Liens externes

• "Espace Lebesgue" , Encyclopédie des Mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Preuve que L ^p espaces sont complets