Théorème de Lüroth - Lüroth's theorem

En mathématiques , le théorème de Lüroth affirme que tout champ situé entre deux autres champs K et K ( X ) doit être généré comme une extension de K par un seul élément de K ( X ). Ce résultat porte le nom de Jacob Lüroth , qui l'a prouvé en 1876.

Déclaration

Soit un champ et un champ intermédiaire entre et , pour un X indéterminé . Alors il existe une fonction rationnelle telle que . En d'autres termes, chaque extension intermédiaire entre et est une simple extension . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K (X)}$ ${\ Displaystyle f (X) \ in K (X)}$${\ Displaystyle M = K (f (X))}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K (X)}$

Preuves

La preuve du théorème de Lüroth peut être facilement dérivée de la théorie des courbes rationnelles , en utilisant le genre géométrique . Cette méthode n'est pas élémentaire, mais plusieurs courtes preuves utilisant uniquement les bases de la théorie des champs sont connues depuis longtemps. Beaucoup de ces preuves simples utilisent le lemme de Gauss sur les polynômes primitifs comme étape principale.

Les références