Loi du tiers exclu - Law of excluded middle

En logique , la loi du tiers exclu (ou le principe du tiers exclu ) stipule que pour toute proposition , soit cette proposition soit sa négation est vraie . C'est l'une des soi-disant trois lois de la pensée , avec la loi de non - contradiction et la loi de l'identité . Cependant, aucun système logique n'est construit sur ces seules lois, et aucune de ces lois ne fournit de règles d'inférence , telles que le modus ponens ou les lois de De Morgan.

La loi est aussi appelée loi (ou principe ) du tiers exclu , en latin principium tertii exclusi . Une autre désignation latine pour cette loi est tertium non datur : "aucun tiers [possibilité] n'est donné". C'est une tautologie .

Le principe ne doit pas être confondu avec le principe sémantique de bivalence , qui stipule que toute proposition est vraie ou fausse. Le principe de bivalence implique toujours la loi du tiers exclu, alors que l'inverse n'est pas toujours vrai. Un contre-exemple couramment cité utilise des déclarations non prouvables maintenant, mais prouvables à l'avenir pour montrer que la loi du tiers exclu peut s'appliquer lorsque le principe de bivalence échoue.

Histoire

Aristote

La première formulation connue se trouve dans la discussion d'Aristote sur le principe de non-contradiction , proposé pour la première fois dans Sur l'interprétation , où il dit que de deux propositions contradictoires (c'est-à-dire où une proposition est la négation de l'autre) l'une doit être vraie, et l'autre faux. Il l'énonce aussi comme principe dans le livre de Métaphysique 3, disant qu'il faut dans tous les cas affirmer ou nier, et qu'il est impossible qu'il y ait quoi que ce soit entre les deux parties d'une contradiction.

Aristote a écrit que l'ambiguïté peut provenir de l'utilisation de noms ambigus, mais ne peut pas exister dans les faits eux-mêmes :

Il est donc impossible que « être un homme » signifie précisément « ne pas être un homme », si « homme » signifie non seulement quelque chose sur un sujet mais a aussi une signification. ... Et il ne sera pas possible d'être et de ne pas être la même chose, sauf en vertu d'une ambiguïté, comme si celui que nous appelons « homme », et d'autres appelaient « non-homme » ; mais il ne s'agit pas de savoir si la même chose peut à la fois être et ne pas être un homme de nom, mais si elle peut être en fait. ( Métaphysique 4.4, WD Ross (traduction), GBWW 8, 525-526).

L'affirmation d'Aristote selon laquelle « il ne sera pas possible d'être et de ne pas être la même chose », qui s'écrirait en logique propositionnelle ¬( P ∧ ¬ P ), est une affirmation que les logiciens modernes pourraient appeler la loi du tiers exclu ( P ∨ ¬ P ), car la distribution de la négation de l'assertion d'Aristote les rend équivalentes, indépendamment du fait que la première prétend qu'aucune déclaration n'est à la fois vraie et fausse, tandis que la seconde exige que toute déclaration soit vraie ou fausse.

Mais Aristote écrit aussi : « puisqu'il est impossible que les contradictoires soient en même temps vrais de la même chose, évidemment les contraires ne peuvent pas non plus appartenir en même temps à la même chose » (Livre IV, CH 6, p. 531). Il propose alors qu'« il ne peut y avoir d'intermédiaire entre les contradictoires, mais d'un sujet nous devons soit affirmer soit nier un seul prédicat » (Livre IV, CH 7, p. 531). Dans le contexte de la logique traditionnelle d'Aristote , il s'agit d'un énoncé remarquablement précis de la loi du tiers exclu, P ¬ P .

Toujours dans De l'interprétation , Aristote semble nier la loi du tiers exclu dans le cas des contingents futurs , dans sa discussion sur la bataille navale.

Leibniz

Sa forme habituelle, « Tout jugement est soit vrai, soit faux » [note 9]... » (extrait de Kolmogorov in van Heijenoort, p. 421) note 9 : « C'est la formulation très simple de Leibniz (voir Nouveaux Essais , IV ,2)" (ibid p 421)

Bertrand Russell et Principia Mathematica

Le principe a été énoncé comme un théorème de logique propositionnelle par Russell et Whitehead dans Principia Mathematica comme :

${\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}$.

Alors, qu'est-ce que la « vérité » et le « mensonge » ? A l'ouverture le PM annonce rapidement quelques définitions :

Valeurs de vérité . La "valeur de vérité" d'une proposition est la vérité si elle est vraie et la fausseté si elle est fausse* [*Cette phrase est due à Frege]... la valeur de vérité de "p q" est la vérité si la vérité- la valeur de p ou de q est la vérité, et est fausse sinon... celle de "~ p" est l'opposé de celle de p..." (p. 7-8)

Ce n'est pas beaucoup d'aide. Mais plus tard, dans une discussion beaucoup plus approfondie ("Définition et ambiguïté systématique de la Vérité et du Mensonge" Chapitre II partie III, p. 41 ff), PM définit la vérité et le mensonge en termes de relation entre le "a" et le "b" et le « percevant ». Par exemple "Ce 'a' est 'b'" (par exemple "Cet 'objet a' est 'rouge'") signifie en réalité "'l'objet a' est une donnée sensorielle" et "'rouge' est une donnée sensorielle" , et ils "se tiennent en relation" les uns avec les autres et en relation avec "je". Ainsi, ce que nous voulons vraiment dire, c'est : "Je perçois que 'Cet objet a est rouge'" et c'est une "vérité" indéniable par un tiers.

PM définit en outre une distinction entre un "sens-donnée" et une "sensation":

C'est-à-dire que lorsque nous jugeons (disons) « ceci est rouge », ce qui se produit est une relation de trois termes, l'esprit, et « ceci » et « rouge ». D'autre part, lorsque nous percevons « la rougeur de ceci », il y a une relation de deux termes, à savoir l'esprit et l'objet complexe « la rougeur de ceci » (p. 43-44).

Russell a réitéré sa distinction entre « sens-donnée » et « sensation » dans son livre The Problems of Philosophy (1912), publié en même temps que PM (1910-1913) :

Donnons le nom de « sense-data » aux choses qui sont immédiatement connues dans la sensation : des choses telles que les couleurs, les sons, les odeurs, les duretés, les rugosités, etc. Nous donnerons le nom de « sensation » à l'expérience d'être immédiatement conscient de ces choses... La couleur elle-même est une donnée sensible, pas une sensation. (p.12)

Russell a décrit plus en détail son raisonnement derrière ses définitions de « vérité » et de « mensonge » dans le même livre (chapitre XII, Vérité et mensonge ).

Conséquences de la loi du tiers exclu dans les Principia Mathematica

De la loi du tiers exclu, la formule ✸2.1 dans Principia Mathematica , Whitehead et Russell dérivent certains des outils les plus puissants de la boîte à outils d'argumentation du logicien. (Dans les Principia Mathematica, les formules et les propositions sont identifiées par un astérisque en tête et deux nombres, tels que "✸2.1".)

✸2.1 ~ p ∨ p "Telle est la loi du milieu exclu" ( PM , p. 101).

La preuve de ✸2.1 est grosso modo la suivante : "idée primitive" 1.08 définit p → q = ~ p ∨ q . Substituer p pour q dans cette règle donne p → p = ~ p ∨ p . Puisque p → p est vrai (c'est le théorème 2.08, qui est prouvé séparément), alors ~ p ∨ p doit être vrai.

✸2.11 p ∨ ~ p (La permutation des assertions est permise par l'axiome 1.4)
✸2.12 p → ~(~ p ) (Principe de double négation, partie 1 : si "cette rose est rouge" est vrai alors ce n'est pas vrai que " 'cette rose n'est pas rouge' est vrai".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (Lemme avec 2.12 utilisé pour dériver 2.14)
✸2.14 ~(~ p ) → p (Principe de double négation, partie 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p ) (Un des quatre "Principes de transposition". Similaire à 1.03, 1.16 et 1.17. Une très longue démonstration a été nécessaire ici.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Si c'est vrai que "Si cette rose est rouge alors ce cochon vole" alors c'est vrai que "Si ce cochon ne vole pas alors cette rose n'est pas rouge.")
✸ 2.17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Un autre des "Principes de transposition".)
✸2.18 (~ p → p ) → p (Appelé "Le complément de reductio ad absurdum . Il énonce qu'une proposition qui découle de l'hypothèse de sa propre fausseté est vraie" ( PM , pp. 103-104).)

La plupart de ces théorèmes, en particulier ✸2.1, 2.11, et ✸2.14, sont rejetés par l'intuitionnisme. Ces outils sont refondus sous une autre forme que Kolmogorov cite comme « les quatre axiomes d'implication de Hilbert » et « les deux axiomes de négation de Hilbert » (Kolmogorov dans van Heijenoort, p. 335).

✸2.12 et ✸2.14 propositions, « double négation »: Les intuitionniste écrits de LEJ Brouwer font référence à ce qu'il appelle « le principe de la réciprocité des multiples espèces , qui est le principe que pour chaque système , l'exactitude d'une propriété découle de l'impossibilité de l'impossibilité de cette propriété » (Brouwer, ibid, p. 335).

Ce principe est communément appelé « le principe de la double négation » ( PM , p. 101–102). De la loi du tiers exclu (✸2.1 et ✸2.11), PM dérive immédiatement le principe ✸2.12. Nous substituons ~ p pour p dans 2.11 pour donner ~ p ∨ ~(~ p ), et par la définition de l'implication (c'est-à-dire 1.01 p → q = ~p ∨ q) alors ~p ∨ ~(~p)= p → ~ (~p). QED (La dérivation de 2.14 est un peu plus compliquée.)

Reichenbach

Il est exact, du moins pour la logique bivalente — c'est-à-dire qu'on peut le voir avec une carte de Karnaugh — que cette loi supprime « le milieu » de l' inclusif – ou utilisé dans sa loi (3). Et c'est le point de la démonstration de Reichenbach que certains croient que l' exclusif -ou devrait prendre la place de l' inclusif -ou .

A propos de cette question (en termes certes très techniques) Reichenbach observe :

Le tertium non datur

29. ( x )[ f ( x ) ~ f ( x )]

n'est pas exhaustive dans ses termes principaux et est donc une formule gonflée. Ce fait peut peut-être expliquer pourquoi certaines personnes considèrent qu'il est déraisonnable d'écrire (29) avec le "ou" inclusif, et veulent qu'il soit écrit avec le signe de l' exclusif -"ou"

30. ( x )[ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )], où le symbole "⊕" signifie ou exclusif

sous quelle forme il serait pleinement exhaustif et donc nomologique au sens strict. (Reichenbach, p. 376)

À la ligne (30), le « (x) » signifie « pour tous » ou « pour tous », une forme utilisée par Russell et Reichenbach ; aujourd'hui, le symbolisme est généralement x . Ainsi, un exemple de l'expression ressemblerait à ceci: ${\displaystyle \forall }$

• ( cochon ): ( Mouches ( cochon ) ⊕ ~ Mouches ( cochon ))
• (Pour toutes les instances de "cochon" vu et invisible) : ("Le cochon vole" ou "Le cochon ne vole pas" mais pas les deux simultanément)

Logiciens contre intuitionnistes

De la fin des années 1800 aux années 1930, un débat amer et persistant fit rage entre Hilbert et ses partisans contre Hermann Weyl et LEJ Brouwer . La philosophie de Brouwer, appelée intuitionnisme , a commencé sérieusement avec Leopold Kronecker à la fin des années 1800.

Hilbert n'aimait pas du tout les idées de Kronecker :

Kronecker a insisté sur le fait qu'il ne pouvait y avoir d'existence sans construction. Pour lui, comme pour Paul Gordan [un autre mathématicien âgé], la preuve de Hilbert de la finitude de la base du système invariant n'était tout simplement pas mathématique. Hilbert, d'autre part, tout au long de sa vie insistera sur le fait que si l'on peut prouver que les attributs attribués à un concept ne conduiront jamais à une contradiction, l'existence mathématique du concept est ainsi établie (Reid p. 34)

C'était l'affirmation de son [Kronecker] que rien ne pouvait être dit avoir une existence mathématique à moins qu'il ne puisse être réellement construit avec un nombre fini d'entiers positifs (Reid p. 26)

Le débat a eu un effet profond sur Hilbert. Reid indique que le deuxième problème de Hilbert (l'un des problèmes de Hilbert de la deuxième conférence internationale à Paris en 1900) a évolué à partir de ce débat (en italique dans l'original) :

Dans son deuxième problème [Hilbert] avait demandé une preuve mathématique de la cohérence des axiomes de l'arithmétique des nombres réels.

Pour montrer l'importance de ce problème, il a ajouté l'observation suivante :

« Si des attributs contradictoires sont attribués à un concept, je dis que mathématiquement le concept n'existe pas » (Reid p. 71)

Ainsi Hilbert disait : « Si p et ~ p sont tous les deux avérés vrais, alors p n'existe pas », et invoquait ainsi la loi du tiers exclu sous la forme de la loi de contradiction.

Et enfin les constructivistes... ont restreint les mathématiques à l'étude d'opérations concrètes sur des structures finies ou potentiellement (mais pas réellement) infinies ; les totalités infinies achevées ... ont été rejetées, de même que la preuve indirecte basée sur la loi du milieu exclu. Les plus radicaux parmi les constructivistes étaient les intuitionnistes, dirigés par l'ancien topologue LEJ Brouwer (Dawson p. 49)

Le débat rancunier s'est poursuivi du début des années 1900 aux années 1920; en 1927, Brouwer se plaignait de « polémir contre lui [l'intuitionnisme] d'un ton moqueur » (Brouwer in van Heijenoort, p. 492). Mais le débat a été fertile : il a abouti aux Principia Mathematica (1910-1913), et ces travaux ont donné une définition précise de la loi du tiers exclu, et tout cela a fourni un cadre intellectuel et les outils nécessaires aux mathématiciens du début du XXe siècle. :

De la rancœur, et engendré en partie par elle, il y a eu plusieurs développements logiques importants... L'axiomatisation de la théorie des ensembles par Zermelo (1908a)... qui a été suivie deux ans plus tard par le premier volume de Principia Mathematica ... dans lequel Russell et Whitehead ont montré comment, via la théorie des types, une grande partie de l'arithmétique pouvait être développée par des moyens logicistes (Dawson p. 49)

Brouwer a réduit le débat à l'utilisation de preuves conçues à partir de preuves « négatives » ou « de non-existence » par rapport à des preuves « constructives » :

Selon Brouwer, une déclaration selon laquelle un objet existe ayant une propriété donnée signifie que, et n'est prouvée, que lorsqu'une méthode est connue qui en principe au moins permettra à un tel objet d'être trouvé ou construit...

Hilbert n'était naturellement pas d'accord.

« Les preuves d'existence pures ont été les jalons les plus importants dans le développement historique de notre science », a-t-il affirmé. (Reid p. 155)

Brouwer... refusa d'accepter le principe logique du tiers exclu... Son argumentation était la suivante :

« Supposons que A soit l'énoncé « Il existe un membre de l'ensemble S ayant la propriété P . » Si l'ensemble est fini, il est possible, en principe, d'examiner chaque membre de S et de déterminer s'il existe un membre de S avec la propriété P ou que tout membre de S n'a pas la propriété P. Pour les ensembles finis, donc, Brouwer a accepté le principe du tiers exclu comme valide. Il a refusé de l'accepter pour les ensembles infinis parce que si l'ensemble S est infini, nous ne pouvons — même en principe — examinez chaque membre de l'ensemble. Si, au cours de notre examen, nous trouvons un membre de l'ensemble avec la propriété P , la première alternative est justifiée ; mais si nous ne trouvons jamais un tel membre, le second alternative n'est toujours pas justifiée.

Puisque les théorèmes mathématiques sont souvent prouvés en établissant que la négation nous entraînerait dans une contradiction, cette troisième possibilité suggérée par Brouwer remettrait en question nombre d'énoncés mathématiques actuellement acceptés.

"Prendre le principe du milieu exclu du mathématicien", a déclaré Hilbert, "est la même chose que ... interdire au boxeur l'utilisation de ses poings."

"L'éventuelle perte n'a pas semblé déranger Weyl... Le programme de Brouwer était à venir, a-t-il insisté auprès de ses amis à Zürich." (Reid, p. 149)}}

Dans sa conférence en 1941 à Yale et dans l'article qui a suivi, Gödel a proposé une solution : « que la négation d'une proposition universelle devait être comprise comme affirmant l'existence ... d'un contre-exemple » (Dawson, p. 157))

L'approche de Gödel à la loi du tiers exclu était d'affirmer que les objections contre « l'utilisation de « définitions imprédicatives » » « avaient plus de poids » que « la loi du tiers exclu et les théorèmes connexes du calcul propositionnel » (Dawson p. 156). Il proposa son « système Σ ... et il conclut en mentionnant plusieurs applications de son interprétation. Parmi elles se trouvaient une preuve de la cohérence avec la logique intuitionniste du principe ~ (∀A : (A ∨ ~A)) (malgré de l'hypothèse ∃ A: ~ (A ∨ ~A)" (Dawson, p. 157)

Le débat semble s'affaiblir : mathématiciens, logiciens et ingénieurs continuent d'utiliser la loi du tiers exclu (et la double négation) dans leur travail quotidien.

Définitions intuitionnistes de la loi (principe) du tiers exclu

Ce qui suit met en évidence le profond problème mathématique et philosophique derrière ce que signifie « savoir », et aide également à élucider ce que la « loi » implique (c'est-à-dire ce que la loi signifie réellement). Leurs difficultés avec la loi émergent : qu'ils ne veulent pas accepter comme vraies implications tirées de ce qui est invérifiable (intestable, inconnaissable) ou de l'impossible ou du faux. (Toutes les citations sont de van Heijenoort, italiques ajoutés).

Brouwer propose sa définition du « principe du tiers exclu » ; on voit ici aussi la question de la « testabilité » :

Sur la base de la testabilité qui vient d'être mentionnée, il existe, pour les propriétés conçues à l'intérieur d'un système principal fini spécifique, le "principe du tiers exclu", c'est-à-dire le principe selon lequel pour chaque système, chaque propriété est soit correcte [richtig], soit impossible , et en particulier le principe de la réciprocité des espèces complémentaires, c'est-à-dire le principe que pour tout système la justesse d'une propriété découle de l'impossibilité de l'impossibilité de cette propriété. (335)

La définition de Kolmogorov cite les deux axiomes de négation de Hilbert

5. A → (~ A → B )
6. ( A → B ) → { (~ A → B ) → B }

Le premier axiome de négation de Hilbert, "tout découle du faux", n'a fait son apparition qu'avec la montée de la logique symbolique, tout comme le premier axiome d'implication... tandis que... l'axiome considéré [axiome 5] affirme quelque chose sur les conséquences de quelque chose d'impossible : il faut accepter B si le vrai jugement A est considéré comme faux...

Le deuxième axiome de négation de Hilbert exprime le principe du tiers exclu. Le principe est exprimé ici sous la forme sous laquelle il est utilisé pour les dérivations : si B découle de A aussi bien que de ~ A , alors B est vrai. Sa forme habituelle, " tout jugement est soit vrai, soit faux " est équivalente à celle donnée ci-dessus ".

De la première interprétation de la négation, c'est-à-dire de l'interdiction de considérer le jugement comme vrai, il est impossible d'obtenir la certitude que le principe du tiers exclu est vrai... Brouwer a montré que dans le cas de tels jugements transfinis le principe de le milieu exclu ne peut pas être considéré comme évident

note de bas de page 9 : « C'est la formulation très simple de Leibniz (voir Nouveaux Essais , IV,2). La formulation « A est B ou non- B » n'a rien à voir avec la logique des jugements.

note 10 : « Symboliquement, la deuxième forme s'exprime ainsi

A ~ A

où signifie "ou". L'équivalence des deux formes est facilement prouvée (p. 421)

Exemples

Par exemple, si P est la proposition :

Socrate est mortel.

alors la loi du tiers exclu considère que la disjonction logique :

Socrate est mortel, ou Socrate n'est pas mortel.

n'est vraie que par sa forme. C'est-à-dire que la position « médiane », selon laquelle Socrate n'est ni mortel ni non mortel, est exclue par la logique, et donc soit la première possibilité ( Socrate est mortel ) soit sa négation ( ce n'est pas le cas que Socrate est mortel ) doit Sois sincère.

Un exemple d'argument qui dépend de la loi du tiers exclu suit. On cherche à prouver que

il existe deux nombres irrationnels et tel qui est rationnel.${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a^{b}}$

On sait que c'est irrationnel (voir preuve ). Considérez le nombre ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$.

Clairement (milieu exclu) ce nombre est soit rationnel, soit irrationnel. S'il est rationnel, la preuve est complète et

${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$et .${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Mais si est irrationnel, alors laissez ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$et .${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Puis

${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left ({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2}$,

et 2 est certainement rationnel. Ceci conclut la preuve.

Dans l'argument ci-dessus, l'affirmation « ce nombre est soit rationnel, soit irrationnel » invoque la loi du tiers exclu. Un intuitionniste , par exemple, n'accepterait pas cet argument sans un soutien supplémentaire pour cette affirmation. Cela pourrait prendre la forme d'une preuve que le nombre en question est en fait irrationnel (ou rationnel, selon le cas) ; ou un algorithme fini qui pourrait déterminer si le nombre est rationnel.

Preuves non constructives sur l'infini

La preuve ci-dessus est un exemple de preuve non constructive rejetée par les intuitionnistes :

La preuve est non constructive car elle ne donne pas de nombres spécifiques et qui satisfont le théorème mais seulement deux possibilités distinctes, dont l'une doit fonctionner. (C'est en fait irrationnel mais il n'y a pas de preuve facile connue de ce fait.) (Davis 2000:220)${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

(Les preuves constructives de l'exemple spécifique ci-dessus ne sont pas difficiles à produire ; par exemple et sont à la fois facilement démontrées comme irrationnelles, et ; une preuve autorisée par les intuitionnistes). ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$${\displaystyle b=\log _{2}9}$${\style d'affichage a^{b}=3}$

Par non-constructif, Davis veut dire qu'« une preuve qu'il existe réellement des entités mathématiques satisfaisant certaines conditions n'aurait pas à fournir une méthode pour exposer explicitement les entités en question ». (p. 85). De telles preuves supposent l'existence d'une totalité qui est complète, une notion rejetée par les intuitionnistes lorsqu'elle est étendue à l' infini — pour eux l'infini ne peut jamais être complété :

Dans les mathématiques classiques, il existe des preuves d'existence non constructives ou indirectes , que les intuitionnistes n'acceptent pas. Par exemple, pour prouver qu'il existe un n tel que P ( n ), le mathématicien classique peut déduire une contradiction de l'hypothèse pour tout n , pas P ( n ). Dans la logique classique comme dans la logique intuitionniste, par reductio ad absurdum cela ne donne pas pour tout n, pas P ( n ). La logique classique permet ce résultat à transformer en il existe un n tel que P ( n ), mais pas en général la intuitionniste ... le sens classique, que quelque part dans l'ensemble terminé infinie des nombres naturels , il se produit un n tel que P ( n ), ne lui est pas disponible, puisqu'il ne conçoit pas les nombres naturels comme une totalité achevée. (Kleene 1952 : 49-50)

David Hilbert et Luitzen EJ Brouwer donnent tous deux des exemples de la loi du tiers exclu étendue à l'infini. L'exemple de Hilbert : « l'affirmation selon laquelle soit il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers, soit il y en a une infinité » (cité dans Davis 2000 : 97) ; et celle de Brouwer : « Toute espèce mathématique est soit finie, soit infinie. (Brouwer 1923 dans van Heijenoort 1967:336). En général, les intuitionnistes autorisent l'utilisation de la loi du tiers exclu lorsqu'elle est confinée au discours sur des collections finies (ensembles), mais pas lorsqu'elle est utilisée dans le discours sur des ensembles infinis (par exemple les nombres naturels). Ainsi les intuitionnistes rejettent absolument l'assertion générale : « Pour toutes les propositions P concernant les ensembles infinis D : P ou ~ P » (Kleene 1952 :48).

Les contre-exemples putatifs à la loi du tiers exclu incluent le paradoxe du menteur ou le paradoxe de Quine . Certaines résolutions de ces paradoxes, en particulier le dialéthéisme de Graham Priest comme formalisé dans LP, ont la loi du tiers exclu comme théorème, mais résolvent le Menteur comme à la fois vrai et faux. Ainsi, la loi du tiers exclu est vraie, mais parce que la vérité elle-même, et donc la disjonction, n'est pas exclusive, elle ne dit presque rien si l'une des disjonctions est paradoxale, ou à la fois vraie et fausse.

des reproches

De nombreux systèmes logiques modernes remplacent la loi du tiers exclu par le concept de négation en tant qu'échec . Au lieu qu'une proposition soit vraie ou fausse, une proposition est soit vraie, soit ne peut pas être prouvée vraie. Ces deux dichotomies ne diffèrent que par des systèmes logiques qui ne sont pas complets . Le principe de la négation en tant qu'échec est utilisé comme fondement de la logique autoépistémique et est largement utilisé dans la programmation logique . Dans ces systèmes, le programmeur est libre d'affirmer la loi du tiers exclu comme un fait réel, mais elle n'est pas intégrée a priori dans ces systèmes.

Des mathématiciens tels que L. E. J. Brouwer et Arend Heyting ont également contesté l'utilité de la loi du tiers exclu dans le contexte des mathématiques modernes.

En logique mathématique

Dans la logique mathématique moderne , il a été démontré que le tiers exclu entraîne une possible auto-contradiction . Il est possible en logique de faire des propositions bien construites qui ne peuvent être ni vraies ni fausses ; un exemple courant en est le « paradoxe du menteur », l'énoncé « cet énoncé est faux », qui lui-même ne peut être ni vrai ni faux. La loi du tiers exclu est toujours valable ici car la négation de cette affirmation "Cette affirmation n'est pas fausse", peut être attribuée à vraie. En théorie des ensembles , un tel paradoxe auto-référentiel peut être construit en examinant l'ensemble « l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas ». Cet ensemble est défini sans ambiguïté, mais conduit à un paradoxe de Russell : l'ensemble contient-il, comme l'un de ses éléments, lui-même ? Cependant, dans la théorie des ensembles moderne de Zermelo-Fraenkel , ce type de contradiction n'est plus admis.

Lois analogues

Certains systèmes logiques ont des lois différentes mais analogues. Pour certaines logiques finies à n valeurs , il existe une loi analogue appelée la loi des exclus n +1ème . Si la négation est cyclique et "∨" est un "opérateur max", alors la loi peut être exprimée dans le langage objet par (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P), où " ~...~" représente n -1 signes de négation et "∨ ... ∨" n -1 signes de disjonction. Il est facile de vérifier que la phrase doit recevoir au moins une des n valeurs de vérité (et non une valeur qui ne fait pas partie des n ).

D'autres systèmes rejettent entièrement la loi.

Voir également

• Controverse Brouwer-Hilbert : un exposé sur le clivage formaliste-intuitionniste autour de la Loi du tiers exclu
• Consequentia mirabilis  – Modèle de raisonnement en logique propositionnelle
• Le théorème de Diaconescu
• Loi du quatrième exclu
• La loi du tiers exclu est fausse dans les logiques multivaluées telles que la logique ternaire et la logique floue  - Système de raisonnement sur l'imprécision
• Les lois de la pensée
• Principe limité d'omniscience  – Concept mathématique
• Graphes logiques : une syntaxe graphique pour la logique propositionnelle
• Loi de Peirce  – Axiome utilisé en logique et en philosophie : une autre façon de rendre l'intuition classique
• Déterminisme logique : l'application du milieu exclu au modal  – Type de propositions de logique formelle
• Négation non affirmative dans l' école du bouddhisme Prasangika , un autre système dans lequel la loi du tiers exclu est fausse
• Constructivisme mathématique
• Théorie des ensembles constructifs

Notes de bas de page

Les références

• Thomas d'Aquin, " Summa Theologica ", Pères de la Province dominicaine anglaise (trad.), Daniel J. Sullivan (éd.), vol. 19-20 dans Robert Maynard Hutchins (éd.), Great Books of the Western World , Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Cité comme GB 19-20.
• Aristote , « Métaphysique », WD Ross (trad.), vol. 8 dans Robert Maynard Hutchins (éd.), Great Books of the Western World , Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Cité comme GB 8. 1ère publication, WD Ross (trad.), The Works of Aristotle , Oxford University Press, Oxford, Royaume-Uni.
• Martin Davis 2000, Moteurs de logique : les mathématiciens et l'origine de l'ordinateur , WW Norton & Company, NY, ISBN  0-393-32229-7 pbk.
• Dawson, J. , Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
• van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Réimprimé avec des corrections, 1977.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1923, Sur la signification du principe du tiers exclu en mathématiques, en particulier en théorie des fonctions [réimprimé avec commentaire, p. 334, van Heijenoort]
• Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Sur le principe du tiers exclu , [réimprimé avec commentaire, p. 414, van Heijenoort]
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927, Sur les domaines de définitions de fonctions ,[réimprimé avec commentaire, p. 446, van Heijenoort] Bien que cela ne soit pas directement pertinent, dans son (1923) Brouwer utilise certains mots définis dans cet article.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927(2), Réflexions intuitionnistes sur le formalisme ,[réimprimé avec commentaire, p. 490, van Heijenoort]
• Stephen C. Kleene 1952 impression originale, 1971 6e impression avec corrections, 10e impression 1991, Introduction to Metamathematics , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Kneale, W. et Kneale, M. , The Development of Logic , Oxford University Press, Oxford, Royaume-Uni, 1962. Réimprimé avec des corrections, 1975.
• Alfred North Whitehead et Bertrand Russell , Principia Mathematica to *56 , Cambridge at University Press 1962 (deuxième édition de 1927, réimprimée). Extrêmement difficile à cause du symbolisme obscur, mais indispensable pour les logiciens sérieux.
• Bertrand Russell , Une enquête sur le sens et la vérité . Les conférences William James pour 1940 prononcées à l'Université de Harvard.
• Bertrand Russell , The Problems of Philosophy, With a New Introduction by John Perry , Oxford University Press, New York, édition 1997 (publié pour la première fois en 1912). Très facile à lire : Russell était un écrivain merveilleux.
• Bertrand Russell , The Art of Philosophizing and Other Essays , Littlefield, Adams & Co., Totowa, NJ, édition 1974 (publié pour la première fois en 1968). Comprend un merveilleux essai sur "L'art de dessiner des inférences".
• Hans Reichenbach , Éléments de logique symbolique , Douvres, New York, 1947, 1975.
• Tom Mitchell , Machine Learning , WCB McGraw-Hill, 1997.
• Constance Reid , Hilbert , Copernicus : Springer-Verlag New York, Inc. 1996, publié pour la première fois en 1969. Contient une mine d'informations biographiques, en grande partie dérivées d'entretiens.
• Bart Kosko , Pensée floue : la nouvelle science de la logique floue , Hyperion, New York, 1993. La pensée floue à son meilleur. Mais une bonne introduction aux concepts.
• David Hume , An Inquiry Concerning Human Understanding , réimprimé dans Great Books of the Western World Encyclopædia Britannica, Volume 35, 1952, p. 449 et suiv. Ce travail a été publié par Hume en 1758 comme sa réécriture de son Traité « juvénile » de la nature humaine : être une tentative d'introduire la méthode expérimentale de raisonnement dans les sujets moraux Vol. I, Of The Understanding, publié pour la première fois en 1739, réimprimé sous le titre : David Hume, A Treatise of Human Nature , Penguin Classics, 1985. Voir également : David Applebaum , The Vision of Hume , Vega, London, 2001 : a reprint of a portion of An L'enquête commence à la p. 94 sqq

Liens externes

• Entrée « Contradiction » dans l'Encyclopédie de philosophie de Stanford