Lemme des nombres de Lebesgue - Lebesgue's number lemma

En topologie , le lemme des nombres de Lebesgue , du nom d' Henri Lebesgue , est un outil utile dans l'étude des espaces métriques compacts . Il est dit:

Si l'espace métrique est compact et un couvercle ouvert de est donnée, alors il existe un nombre tel que chaque sous - ensemble d' avoir un diamètre inférieur est contenu dans un membre du couvercle.

{\ displaystyle (X, d)}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ delta> 0}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ delta}

Un tel numéro est appelé un numéro Lebesgue de cette couverture. La notion de nombre de Lebesgue elle-même est également utile dans d'autres applications. ${\ displaystyle \ delta}$

Preuve

Soyons une couverture ouverte de . Comme il est compact, nous pouvons extraire une sous-couverture finie . Si l'un des 's est égal à alors n'importe lequel servira de numéro de Lebesgue. Sinon pour chacun , notons que ce n'est pas vide, et définissons une fonction par . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ {A_ {1}, \ dots, A_ {n} \} \ subseteq {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$ ${\ displaystyle C_ {i}: = X \ setminus A_ {i}}$ ${\ displaystyle C_ {i}}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (x): = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d (x, C_ {i})}$

Puisqu'il est continu sur un ensemble compact, il atteint un minimum . L'observation clé est que, puisque tout est contenu dans certains , le théorème des valeurs extrêmes le montre . Nous pouvons maintenant vérifier qu'il s'agit du numéro de Lebesgue souhaité. Si est un sous-ensemble de diamètre inférieur à , alors il existe tel que , où désigne la boule de rayon centrée à (à savoir, on peut choisir comme n'importe quel point dans ). Puisqu'il doit exister au moins un tel que . Mais cela signifie cela et ainsi, en particulier ,. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$ ${\ displaystyle Y \ subseteq B _ {\ delta} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) \ geq \ delta}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle d (x_ {0}, C_ {i}) \ geq \ delta}$ ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x_ {0}) \ subseteq A_ {i}}$ ${\ displaystyle Y \ subseteq A_ {i}}$