Élasticité linéaire - Linear elasticity

L'élasticité linéaire est un modèle mathématique de la façon dont les objets solides se déforment et subissent des contraintes internes en raison des conditions de chargement prescrites. Il s'agit d'une simplification de la théorie non linéaire plus générale de l'élasticité et d'une branche de la mécanique des milieux continus .

Les hypothèses "linéarisantes" fondamentales de l'élasticité linéaire sont : les déformations infinitésimales ou "petites" déformations (ou déformations) et les relations linéaires entre les composantes de contrainte et de déformation. En plus linéaire élasticité est valable uniquement pour les états de stress qui ne produisent pas céder .

Ces hypothèses sont raisonnables pour de nombreux matériaux d'ingénierie et scénarios de conception d'ingénierie. L'élasticité linéaire est donc largement utilisée dans l' analyse structurelle et la conception technique, souvent à l'aide de l' analyse par éléments finis .

Formulation mathématique

Les équations gouvernant un problème de valeur limite élastique linéaire sont basées sur trois équations aux dérivées partielles tensorielles pour l' équilibre de la quantité de mouvement linéaire et six relations déformation - déplacement infinitésimales . Le système d'équations différentielles est complété par un ensemble de relations constitutives algébriques linéaires .

Forme tensorielle directe

Sous forme de tenseur direct indépendant du choix du système de coordonnées, ces équations gouvernantes sont :

  • Équations constitutives . Pour les matériaux élastiques, la loi de Hooke représente le comportement du matériau et relie les contraintes et déformations inconnues. L'équation générale de la loi de Hooke est

où est le tenseur de contrainte de Cauchy , est le tenseur de déformation infinitésimal , est le vecteur de déplacement , est le tenseur de rigidité du quatrième ordre , est la force corporelle par unité de volume, est la masse volumique, représente l' opérateur de nabla , représente une transposée , représente le dérivée seconde par rapport au temps, et est le produit interne de deux tenseurs du second ordre (la sommation sur des indices répétés est implicite).

Forme de coordonnées cartésiennes

Remarque : la convention de sommation d'Einstein de sommation sur des indices répétés est utilisée ci-dessous.

Exprimées en termes de composantes par rapport à un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires , les équations régissant l'élasticité linéaire sont :

où l' indice est un raccourci pour et indique , est le tenseur de contrainte de Cauchy , est la densité de force du corps, est la densité de masse et est le déplacement.
Ce sont 3 équations indépendantes avec 6 inconnues indépendantes (contraintes).
où est la tension. Il s'agit de 6 équations indépendantes mettant en relation déformations et déplacements avec 9 inconnues indépendantes (déformations et déplacements).
où est le tenseur de rigidité. Ce sont 6 équations indépendantes reliant les contraintes et les déformations. L'exigence de la symétrie des tenseurs de contrainte et de déformation conduit à l'égalité de nombreuses constantes élastiques, réduisant le nombre d'éléments différents à 21 .

Un problème de valeur limite élastostatique pour un milieu isotrope-homogène est un système de 15 équations indépendantes et un nombre égal d'inconnues (3 équations d'équilibre, 6 équations déformation-déplacement et 6 équations constitutives). En spécifiant les conditions aux limites, le problème de la valeur aux limites est complètement défini. Pour résoudre le système, deux approches peuvent être prises en fonction des conditions aux limites du problème aux limites : une formulation de déplacement , et une formulation de contrainte .

Forme de coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques ( ) les équations du mouvement sont

Les relations déformation-déplacement sont

et les relations constitutives sont les mêmes que dans les coordonnées cartésiennes, sauf que les indices , , représentent maintenant , , , respectivement.

Forme de coordonnées sphériques

En coordonnées sphériques ( ) les équations du mouvement sont

Les coordonnées sphériques ( r , θ , & phiv ) que celle couramment utilisée dans la physique : la distance radiale r , l' angle polaire thetav ( thêta ), et l' angle azimutal φ ( phi ). Le symbole ρ ( rho ) est souvent utilisé au lieu de r .

Le tenseur de déformation en coordonnées sphériques est

Milieu (an)isotrope (in)homogène

En milieu isotrope , le tenseur de rigidité donne la relation entre les contraintes (contraintes internes résultantes) et les déformations (déformations résultantes). Pour un milieu isotrope, le tenseur de raideur n'a pas de direction privilégiée : une force appliquée donnera les mêmes déplacements (par rapport à la direction de la force) quelle que soit la direction dans laquelle la force est appliquée. Dans le cas isotrope, le tenseur de raideur peut s'écrire :

où est le delta de Kronecker , K   est le module d'encombrement (ou d'incompressibilité), et est le module de cisaillement (ou de rigidité), deux modules d'élasticité . Si le milieu est inhomogène, le modèle isotrope est sensible si soit le milieu est constant par morceaux, soit faiblement inhomogène ; dans le modèle lisse fortement inhomogène, l'anisotropie doit être prise en compte. Si le milieu est homogène , alors les modules d'élasticité seront indépendants de la position dans le milieu. L'équation constitutive peut maintenant s'écrire :

Cette expression sépare la contrainte en une partie scalaire à gauche qui peut être associée à une pression scalaire, et une partie sans trace à droite qui peut être associée à des efforts tranchants. Une expression plus simple est :

où λ est le premier paramètre de Lamé . Puisque l'équation constitutive est simplement un ensemble d'équations linéaires, la déformation peut être exprimée en fonction des contraintes comme :

qui est à nouveau une partie scalaire à gauche et une partie de cisaillement sans trace à droite. Plus simplement:

où est le coefficient de Poisson et est le module de Young .

Élastostatique

L'élastostatique est l'étude de l'élasticité linéaire dans des conditions d'équilibre, dans lesquelles toutes les forces exercées sur le corps élastique sont nulles et les déplacements ne sont pas fonction du temps. Les équations d'équilibre sont alors

Cette section ne traitera que du cas homogène isotrope.

Formulation de déplacement

Dans ce cas, les déplacements sont prescrits partout dans la frontière. Dans cette approche, les déformations et les contraintes sont éliminées de la formulation, laissant les déplacements comme inconnues à résoudre dans les équations gouvernantes. Tout d'abord, les équations de déformation-déplacement sont substituées dans les équations constitutives (loi de Hooke), éliminant les déformations comme inconnues :

Différencier (en supposant et sont spatialement uniformes) les rendements :

La substitution dans l'équation d'équilibre donne :

ou (en remplaçant les indices doubles (factices) (=sommation) k,k par j,j et en interchangeant les indices, ij à, ji après le, en vertu du théorème de Schwarz )

où et sont des paramètres de Lamé . De cette façon, les seules inconnues qui restent sont les déplacements, d'où le nom de cette formulation. Les équations gouvernantes obtenues de cette manière sont appelées les équations élastostatiques , le cas particulier des équations de Navier-Cauchy donnés ci-dessous.

Une fois que le champ de déplacement a été calculé, les déplacements peuvent être remplacés dans les équations déformation-déplacement pour résoudre les déformations, qui sont ensuite utilisées dans les équations constitutives pour résoudre les contraintes.

L'équation biharmonique

L'équation élastostatique peut s'écrire :

En prenant la divergence des deux côtés de l'équation élastostatique et en supposant que les forces du corps ont une divergence nulle (homogène dans le domaine) ( ) nous avons

En notant que les indices sommés n'ont pas besoin de correspondre et que les dérivées partielles commutent, les deux termes différentiels sont considérés comme les mêmes et nous avons :

d'où l'on conclut que :

En prenant le laplacien des deux côtés de l'équation élastostatique, et en supposant en plus , nous avons

D'après l'équation de divergence, le premier terme à gauche est zéro (Remarque : encore une fois, les indices additionnés n'ont pas besoin de correspondre) et nous avons :

d'où l'on conclut que :

ou, en notation sans coordonnées qui n'est que l' équation biharmonique dans .

Formulation des contraintes

Dans ce cas, les tractions surfaciques sont prescrites partout sur la frontière surfacique. Dans cette approche, les déformations et les déplacements sont éliminés, laissant les contraintes comme inconnues à résoudre dans les équations gouvernantes. Une fois le champ de contraintes trouvé, les déformations sont ensuite trouvées à l'aide des équations constitutives.

Il y a six composantes indépendantes du tenseur des contraintes qui doivent être déterminées, mais dans la formulation de déplacement, il n'y a que trois composantes du vecteur de déplacement qui doivent être déterminées. Cela signifie qu'il y a des contraintes qui doivent être placées sur le tenseur des contraintes, pour réduire le nombre de degrés de liberté à trois. En utilisant les équations constitutives, ces contraintes sont dérivées directement des contraintes correspondantes qui doivent être valables pour le tenseur de déformation, qui a également six composantes indépendantes. Les contraintes sur le tenseur de déformations sont directement dérivables de la définition du tenseur de déformations en fonction du champ de vecteurs de déplacement, ce qui signifie que ces contraintes n'introduisent pas de nouveaux concepts ou informations. Ce sont les contraintes sur le tenseur de déformation qui sont les plus faciles à comprendre. Si le milieu élastique est visualisé comme un ensemble de cubes infinitésimaux à l'état non contraint, alors une fois le milieu tendu, un tenseur de déformation arbitraire doit produire une situation dans laquelle les cubes déformés s'emboîtent toujours sans se chevaucher. En d'autres termes, pour une déformation donnée, il doit exister un champ vectoriel continu (le déplacement) à partir duquel ce tenseur de déformation peut être dérivé. Les contraintes sur le tenseur de déformation qui sont nécessaires pour s'assurer que c'est le cas ont été découvertes par Saint Venant, et sont appelées les « équations de compatibilité de Saint Venant ». Il s'agit de 81 équations, dont 6 équations indépendantes non triviales, qui relient les différentes composantes de la déformation. Celles-ci sont exprimées en notation index comme suit :

Les déformations dans cette équation sont ensuite exprimées en termes de contraintes en utilisant les équations constitutives, ce qui donne les contraintes correspondantes sur le tenseur des contraintes. Ces contraintes sur le tenseur des contraintes sont connues sous le nom d' équations de compatibilité de Beltrami-Michell :

Dans la situation particulière où la force du corps est homogène, les équations ci-dessus se réduisent à

Une condition nécessaire, mais insuffisante, de compatibilité dans cette situation est ou .

Ces contraintes, ainsi que l'équation d'équilibre (ou équation du mouvement pour l'élastodynamique) permettent le calcul du champ du tenseur des contraintes. Une fois le champ de contraintes calculé à partir de ces équations, les déformations peuvent être obtenues à partir des équations constitutives, et le champ de déplacement à partir des équations déformation-déplacement.

Une technique de solution alternative consiste à exprimer le tenseur de contrainte en termes de fonctions de contrainte qui donnent automatiquement une solution à l'équation d'équilibre. Les fonctions de contraintes obéissent alors à une seule équation différentielle qui correspond aux équations de compatibilité.

Solutions pour les cas élastostatiques

Autres solutions :

  • Force ponctuelle à l'intérieur d'un demi-espace isotrope infini.
  • Force ponctuelle sur une surface d'un demi-espace isotrope.
  • Contact de deux corps élastiques : la solution de Hertz (voir code Matlab ). Voir aussi la page Mécanique des contacts .

Élastodynamique en termes de déplacements

L'élastodynamique est l'étude des ondes élastiques et implique une élasticité linéaire avec variation dans le temps. Une onde élastique est un type d' onde mécanique qui se propage dans des matériaux élastiques ou viscoélastiques . L'élasticité du matériau fournit la force de rappel de la vague. Lorsqu'elles se produisent dans la Terre à la suite d'un tremblement de terre ou d'une autre perturbation, les ondes élastiques sont généralement appelées ondes sismiques .

L'équation de la quantité de mouvement linéaire est simplement l'équation d'équilibre avec un terme inertiel supplémentaire :

Si le matériau est régi par la loi de Hooke anisotrope (avec le tenseur de raideur homogène dans tout le matériau), on obtient l' équation de déplacement de l'élastodynamique :

Si le matériau est isotrope et homogène, on obtient l' équation de Navier-Cauchy :

L'équation d'onde élastodynamique peut également être exprimée sous la forme

est l' opérateur différentiel acoustique , et est Kronecker delta .

En milieu isotrope , le tenseur de rigidité a la forme

où est le module d'encombrement (ou d'incompressibilité), et est le module de cisaillement (ou de rigidité), deux modules d'élasticité . Si le matériau est homogène (ie le tenseur de raideur est constant dans tout le matériau), l'opérateur acoustique devient :

Pour les ondes planes , l' opérateur différentiel ci - dessus devient l' opérateur algébrique acoustique :

sont les valeurs propres de avec des vecteurs propres parallèles et orthogonaux à la direction de propagation , respectivement. Les ondes associées sont appelées ondes élastiques longitudinales et de cisaillement . Dans la littérature sismologique, les ondes planes correspondantes sont appelées ondes P et ondes S (voir Onde sismique ).

Élastodynamique en termes de contraintes

L'élimination des déplacements et des déformations des équations gouvernantes conduit à l' équation d'Ignaczak de l'élastodynamique

Dans le cas de l'isotropie locale, cela se réduit à

Les principales caractéristiques de cette formulation comprennent : (1) évite les gradients de compliance mais introduit des gradients de masse volumique ; (2) il est dérivé d'un principe variationnel ; (3) il est avantageux pour traiter les problèmes de valeur aux limites initiales de traction, (4) permet une classification tensorielle des ondes élastiques, (5) offre une gamme d'applications dans les problèmes de propagation d'ondes élastiques ; (6) peut être étendu à la dynamique des solides classiques ou micropolaires avec des champs en interaction de divers types (thermoélastique, poreux saturé de fluide, piézoélectro-élastique...) ainsi que des milieux non linéaires.

Milieu homogène anisotrope

Pour les milieux anisotropes, le tenseur de rigidité est plus compliqué. La symétrie du tenseur des contraintes signifie qu'il y a au plus 6 éléments de contraintes différents. De même, il y a au plus 6 éléments différents du tenseur des déformations . Par conséquent, le tenseur de rigidité du quatrième ordre peut être écrit sous la forme d'une matrice (un tenseur du deuxième ordre). La notation Voigt est le mappage standard pour les indices tensoriels,

Avec cette notation, on peut écrire la matrice d'élasticité pour tout milieu linéairement élastique comme :

Comme indiqué, la matrice est symétrique, c'est le résultat de l'existence d'une fonction de densité d'énergie de déformation qui satisfait . Par conséquent, il y a au plus 21 éléments différents de .

Le cas particulier isotrope a 2 éléments indépendants :

Le cas anisotrope le plus simple, celui de la symétrie cubique comporte 3 éléments indépendants :

Le cas de l' isotropie transverse , aussi appelée anisotropie polaire, (avec un seul axe (le 3-axe) de symétrie) comporte 5 éléments indépendants :

Lorsque l'isotropie transverse est faible (c'est-à-dire proche de l'isotropie), une paramétrisation alternative utilisant les paramètres de Thomsen , convient pour les formules des vitesses des vagues.

Le cas de l'orthotropie (la symétrie d'une brique) comporte 9 éléments indépendants :

Élastodynamique

L'équation d'onde élastodynamique pour les milieux anisotropes peut être exprimée comme

est l' opérateur différentiel acoustique , et est Kronecker delta .

Ondes planes et équation de Christoffel

Une onde plane a la forme

avec de longueur unitaire. C'est une solution de l'équation d'onde avec forçage nul, si et seulement si et constituent un couple valeur propre/vecteur propre de l' opérateur algébrique acoustique

Cette condition de propagation (également connue sous le nom d' équation de Christoffel ) peut être écrite comme

où désigne la direction de propagation et la vitesse de phase.

Voir également

Les références