Carte linéaire - Linear map

En mathématiques , et plus précisément dans l' algèbre linéaire , une carte linéaire (également appelé un mappage linéaire , transformation linéaire , vecteur espace homomorphism ou , dans certains contextes linéaires fonction ) est un mappage entre deux espaces vectoriels qui préserve les opérations d' addition vectorielle et scalaire multiplicateur . Les mêmes noms et la même définition sont également utilisés pour le cas plus général des modules sur un anneau ; voir Homomorphisme de module .

Si une application linéaire est une bijection, on l'appelle un isomorphisme linéaire . Dans le cas où , une application linéaire est appelée un endomorphisme (linéaire) . Parfois, le terme opérateur linéaire fait référence à ce cas, mais le terme « opérateur linéaire » peut avoir différentes significations pour différentes conventions : par exemple, il peut être utilisé pour souligner que et sont de vrais espaces vectoriels (pas nécessairement avec ), ou il peut être utilisé pour souligner qu'il s'agit d'un espace de fonction , qui est une convention courante en analyse fonctionnelle . Parfois, le terme fonction linéaire a la même signification que carte linéaire , alors qu'en analyse ce n'est pas le cas.

Une application linéaire de V à W mappe toujours l'origine de V à l'origine de W . De plus, il mappe des sous-espaces linéaires dans V sur des sous-espaces linéaires dans W (éventuellement de dimension inférieure ); par exemple, il mappe un plan passant par l' origine de V à un plan passant par l'origine de W , une ligne passant par l'origine de W , ou simplement l'origine de W . Les cartes linéaires peuvent souvent être représentées sous forme de matrices , et des exemples simples incluent des transformations linéaires de rotation et de réflexion .

Dans le langage de la théorie des catégories , les applications linéaires sont les morphismes des espaces vectoriels.

Définition et premières conséquences

Laisser et être des espaces vectoriels sur le même champ . Une fonction est dite une application linéaire si, pour deux vecteurs et un scalaire quelconques, les deux conditions suivantes sont satisfaites :

Additivité / opération d'addition
Homogénéité de degré 1 / opération de multiplication scalaire

Ainsi, une application linéaire est dite préservant l'opération . En d'autres termes, peu importe que l'application linéaire soit appliquée avant (les côtés droits des exemples ci-dessus) ou après (les côtés gauches des exemples) les opérations d'addition et de multiplication scalaire.

Par l'associativité de l'opération d'addition notée +, pour tous les vecteurs et scalaires, l'égalité suivante est vérifiée :

En désignant les éléments nuls des espaces vectoriels et par et respectivement, il s'ensuit que Let et dans l'équation d'homogénéité de degré 1 :

Occasionnellement, et peut être des espaces vectoriels sur différents champs. Il est alors nécessaire de préciser lequel de ces champs terrestres est utilisé dans la définition de "linéaire". Si et sont des espaces sur le même champ que ci-dessus, alors nous parlons de cartes -linéaires. Par exemple, la conjugaison des nombres complexes est une -linéaire carte , mais ce n'est pas -linéaire, où et sont des symboles représentant les ensembles de nombres réels et les nombres complexes, respectivement.

Une carte linéaire avec considéré comme un espace vectoriel unidimensionnel sur elle - même est appelée une fonctionnelle linéaire .

Ces déclarations se généralisent à tout module de gauche sur un anneau sans modification, et à tout module de droite lors de l'inversion de la multiplication scalaire.

Exemples

  • Un exemple prototypique qui donne leur nom aux cartes linéaires est une fonction , dont le graphique est une ligne passant par l'origine.
  • De manière plus générale, toute homothétie où centrée sur l'origine d'un espace vectoriel est une carte linéaire.
  • La carte zéro entre deux espaces vectoriels (sur le même champ ) est linéaire.
  • La carte d'identité sur n'importe quel module est un opérateur linéaire.
  • Pour les nombres réels, la carte n'est pas linéaire.
  • Pour les nombres réels, la carte n'est pas linéaire (mais est une transformation affine ).
  • Si est une matrice réelle , alors définit une application linéaire de à en envoyant un vecteur colonne au vecteur colonne . Inversement, toute application linéaire entre des espaces vectoriels de dimension finie peut être représentée de cette manière ; voir les § Matrices , ci-dessous.
  • Si est une isométrie entre espaces normés réels telle que then est une application linéaire. Ce résultat n'est pas nécessairement vrai pour l'espace normé complexe.
  • La différentiation définit une application linéaire de l'espace de toutes les fonctions différentiables à l'espace de toutes les fonctions. Il définit également un opérateur linéaire sur l'espace de toutes les fonctions lisses (un opérateur linéaire est un endomorphisme linéaire , c'est-à-dire une application linéaire où le domaine et le codomaine sont les mêmes). Un exemple est
  • Une intégrale définie sur un intervalle I est une application linéaire de l'espace de toutes les fonctions intégrables à valeur réelle sur I à . Par exemple,
  • Une intégrale indéfinie (ou primitive ) avec un point de départ d'intégration fixe définit une application linéaire de l'espace de toutes les fonctions intégrables à valeur réelle sur l'espace de toutes les fonctions dérivables à valeur réelle sur . Sans point de départ fixe, la primitive correspond à l' espace quotient des fonctions dérivables par l'espace linéaire des fonctions constantes.
  • Si et sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps F , de dimensions respectives m et n , alors la fonction qui mappe des applications linéaires à n × m matrices de la manière décrite dans § Matrices (ci-dessous) est une application linéaire, et même un isomorphisme linéaire .
  • L' espérance d'une variable aléatoire (qui est en fait une fonction, et donc un élément d'un espace vectoriel) est linéaire, comme pour les variables aléatoires et on a et , mais la variance d'une variable aléatoire n'est pas linéaire.

Matrices

Si et sont des espaces vectoriels de dimension finie et qu'une base est définie pour chaque espace vectoriel, alors chaque application linéaire de à peut être représentée par une matrice . Ceci est utile car cela permet des calculs concrets. Les matrices donnent des exemples d'applications linéaires : si est une matrice réelle , alors décrit une application linéaire (voir Espace euclidien ).

Soit une base pour . Alors chaque vecteur est déterminé de manière unique par les coefficients du champ :

Si est une application linéaire,

ce qui implique que la fonction f est entièrement déterminée par les vecteurs . Soyons maintenant une base pour . Ensuite, nous pouvons représenter chaque vecteur comme

Ainsi, la fonction est entièrement déterminée par les valeurs de . Si nous mettons ces valeurs dans une matrice , alors nous pouvons facilement l'utiliser pour calculer la sortie vectorielle de pour n'importe quel vecteur dans . Pour obtenir , chaque colonne de est un vecteur

correspondant à tel que défini ci-dessus. Pour le définir plus clairement, pour une colonne qui correspond au mappage ,
où est la matrice de . En d'autres termes, chaque colonne a un vecteur correspondant dont les coordonnées sont les éléments de la colonne . Une seule application linéaire peut être représentée par plusieurs matrices. En effet, les valeurs des éléments d'une matrice dépendent des bases choisies.

Les matrices d'une transformation linéaire peuvent être représentées visuellement :

  1. Matrice pour par rapport à :
  2. Matrice pour par rapport à :
  3. Matrice de transition de à :
  4. Matrice de transition de à :
La relation entre les matrices dans une transformation linéaire

De telle sorte qu'en partant du coin inférieur gauche et en recherchant le coin inférieur droit , on multiplierait à gauche, c'est-à-dire . La méthode équivalente serait la méthode "plus longue" allant dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du même point tel que multiplié à gauche avec , ou .

Exemples en deux dimensions

Dans l' espace à deux dimensions , les cartes linéaires R 2 sont décrites par des matrices 2 × 2 . Voici quelques exemples :

  • rotation
    • de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :
    • d'un angle θ dans le sens inverse des aiguilles d' une montre :
  • réflexion
    • par l' axe des x :
    • par l' axe des y :
    • par l' intermédiaire d' une ligne faisant un angle θ avec l'origine:
  • mise à l' échelle par 2 dans toutes les directions :
  • cartographie de cisaillement horizontal :
  • mappage de compression :
  • projection sur l' axe des y :

Espace vectoriel des cartes linéaires

La composition des applications linéaires est linéaire : si et sont linéaires, alors leur composition l'est aussi . Il s'ensuit que la classe de tous les espaces vectoriels sur un corps donné K , ainsi que les applications K- linéaires en tant que morphismes , forment une catégorie .

L' inverse d'une carte linéaire, lorsqu'elle est définie, est à nouveau une carte linéaire.

Si et sont linéaires, alors leur somme ponctuelle , qui est définie par .

Si est linéaire et est un élément du champ terrestre , alors la carte , définie par , est également linéaire.

Ainsi l'ensemble des applications linéaires de à lui-même forme un espace vectoriel sur , parfois noté . De plus, dans le cas où , cet espace vectoriel, noté , est une algèbre associative sous composition d'applications , puisque la composition de deux applications linéaires est encore une application linéaire, et la composition d'applications est toujours associative. Ce cas est discuté plus en détail ci-dessous.

Etant donné à nouveau le cas de dimension finie, si des bases ont été choisies, alors la composition d'applications linéaires correspond à la multiplication matricielle , l'addition d'applications linéaires correspond à l' addition matricielle , et la multiplication d'applications linéaires avec des scalaires correspond à la multiplication de matrices avec scalaires.

Endomorphismes et automorphismes

Une transformation linéaire est un endomorphisme de ; l'ensemble de tous ces endomorphismes ainsi que l'addition, la composition et la multiplication scalaire tels que définis ci-dessus forment une algèbre associative avec élément d'identité sur le corps (et en particulier un anneau ). L'élément d'identité multiplicatif de cette algèbre est la carte d'identité .

Un endomorphisme de qui est aussi un isomorphisme est appelé un automorphisme de . La composition de deux automorphismes est à nouveau un automorphismes, et l'ensemble de tous les automorphismes de forme un groupe , le groupe d'automorphismes de laquelle est désignée par ou . Puisque les automorphismes sont précisément ces endomorphismes qui possèdent des inverses sous composition, est le groupe d' unités dans l'anneau .

Si a une dimension finie , alors est isomorphe à l' algèbre associative de toutes les matrices avec des entrées dans . Le groupe d'automorphisme de est isomorphe au groupe linéaire général de toutes les matrices inversibles avec des entrées dans .

Noyau, image et théorème de rang-nullité

Si est linéaire, nous définissons le noyau et l' image ou la plage de par

est un sous - espace de et est un sous-espace de . La formule de dimension suivante est connue sous le nom de théorème rang-nullité :

Le nombre est aussi appelé le rang de et écrit comme , ou parfois, ; le nombre est appelé la nullité de et écrit comme ou . Si et sont de dimension finie, les bases ont été choisies et sont représentées par la matrice , alors le rang et la nullité de sont égaux au rang et à la nullité de la matrice , respectivement.

Conoyau

Un invariant plus subtil d'une transformation linéaire est le noyau co , qui est défini comme

C'est la double notion du noyau : tout comme le noyau est un sous- espace du domaine, le co-noyau est un espace quotient de la cible. Formellement, on a la suite exacte

Ceux-ci peuvent être interprétés ainsi : étant donné une équation linéaire f ( v ) = w à résoudre,

  • le noyau est l'espace des solutions de l' équation homogène f ( v ) = 0, et sa dimension est le nombre de degrés de liberté dans l'espace des solutions, s'il n'est pas vide ;
  • le co-noyau est l'espace des contraintes que doivent satisfaire les solutions, et sa dimension est le nombre maximal de contraintes indépendantes.

La dimension du co-noyau et la dimension de l'image (le rang) s'additionnent à la dimension de l'espace cible. Pour les dimensions finies, cela signifie que la dimension de l'espace quotient W / f ( V ) est la dimension de l'espace cible moins la dimension de l'image.

Comme exemple simple, considérons l'application f : R 2R 2 , donnée par f ( x , y ) = (0, y ). Alors pour qu'une équation f ( x , y ) = ( a , b ) ait une solution, nous devons avoir a = 0 (une contrainte), et dans ce cas l'espace de solution est ( x , b ) ou de manière équivalente, ( 0, b ) + ( x , 0), (un degré de liberté). Le noyau peut être exprimé sous la forme du sous-espace ( x , 0) < V : la valeur de x est la liberté dans une solution – tandis que le conoyau peut être exprimé via l'application WR , : étant donné un vecteur ( a , b ), la valeur de a est l' obstacle à l'existence d'une solution.

Un exemple illustrant le cas de dimension infinie est fourni par l'application f : R R , avec b 1 = 0 et b n + 1 = a n pour n > 0. Son image est constituée de toutes les séquences avec le premier élément 0, et donc son conoyau est constitué des classes de séquences à premier élément identique. Ainsi, alors que son noyau a la dimension 0 (il ne mappe que la séquence zéro à la séquence zéro), son co-noyau a la dimension 1. Puisque le domaine et l'espace cible sont les mêmes, le rang et la dimension du noyau s'additionnent à la même somme que le rang et la dimension du co-noyau ( ), mais dans le cas de dimension infinie on ne peut en déduire que le noyau et le co-noyau d'un endomorphisme ont la même dimension (0 1). La situation inverse est obtenue pour l'application h : R R , avec c n = a n + 1 . Son image est l'ensemble de l'espace cible, et donc son co-noyau a la dimension 0, mais puisqu'il mappe toutes les séquences dans lesquelles seul le premier élément est non nul à la séquence zéro, son noyau a la dimension 1.

Indice

Pour un opérateur linéaire avec noyau et co-noyau de dimension finie, on peut définir l' indice comme :

à savoir les degrés de liberté moins le nombre de contraintes.

Pour une transformation entre des espaces vectoriels de dimension finie, il s'agit simplement de la différence dim( V ) − dim( W ), par rang–nullité. Cela donne une indication du nombre de solutions ou du nombre de contraintes que l'on a : si vous effectuez un mappage d'un espace plus grand vers un espace plus petit, la carte peut être sur, et aura donc des degrés de liberté même sans contraintes. Inversement, si vous mappez d'un espace plus petit vers un espace plus grand, la carte ne peut pas être sur, et donc on aura des contraintes même sans degrés de liberté.

L'indice d'un opérateur est précisément la caractéristique d'Euler du complexe à 2 termes 0 → VW → 0. En théorie des opérateurs , l'indice des opérateurs de Fredholm est un objet d'étude, avec un résultat majeur étant le théorème d'indice d'Atiyah-Singer .

Classifications algébriques des transformations linéaires

Aucune classification des cartes linéaires ne saurait être exhaustive. La liste incomplète suivante énumère quelques classifications importantes qui ne nécessitent aucune structure supplémentaire sur l'espace vectoriel.

Soient V et W des espaces vectoriels sur un corps F et soit T : VW une application linéaire.

Monomorphisme

T est dit injectif ou monomorphisme si l'une des conditions équivalentes suivantes est vraie :

  1. T est un à un comme une carte d' ensembles .
  2. ker T = {0 V }
  3. dim(ker T ) = 0
  4. T est unitaire ou annulable à gauche, c'est-à-dire que pour tout espace vectoriel U et toute paire d'applications linéaires R : UV et S : UV , l'équation TR = TS implique R = S .
  5. T est inversible à gauche , c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire S : WV telle que ST est l'application identité sur V .

Épimorphisme

T est dit surjectif ou épimorphisme si l'une des conditions équivalentes suivantes est vraie :

  1. T est sur comme une carte d'ensembles.
  2. cokéfaction T = {0 W }
  3. T est épique ou annulable à droite, c'est-à-dire que pour tout espace vectoriel U et toute paire d'applications linéaires R : WU et S : WU , l'équation RT = ST implique R = S .
  4. T est inversible à droite , c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire S : WV telle que TS est l'application identité sur W .

Isomorphisme

T est dit isomorphisme s'il est à la fois inversible à gauche et à droite. Cela équivaut à T étant à la fois un-à-un et sur (une bijection d'ensembles) ou aussi à T étant à la fois épique et monique, et donc un bimorphisme .

Si T : VV est un endomorphisme, alors :

  • Si, pour un nombre entier positif n , le n- ième itéré de T , T n , est identique à zéro, alors T est dit nilpotent .
  • Si T 2 = T , alors T est dit idempotent
  • Si T = kI , où k est un scalaire, alors T est dit être une transformation d'échelle ou une carte de multiplication scalaire ; voir matrice scalaire .

Changement de base

Étant donné une application linéaire qui est un endomorphisme dont la matrice est A , dans la base B de l'espace il transforme les coordonnées vectorielles [u] en [v] = A [u]. Comme les vecteurs changent avec l'inverse de B (les vecteurs sont contravariants ) sa transformation inverse est [v] = B [v'].

En remplaçant ceci dans la première expression

Par conséquent

Par conséquent, la matrice dans la nouvelle base est A′ = B −1 AB , étant B la matrice de la base donnée.

Par conséquent, des cartes linéaires sont dites co - 1-1-contra- variantes d' objets ou de type (1, 1) tenseurs .

Continuité

Une transformation linéaire entre espaces vectoriels topologiques , par exemple des espaces normés , peut être continue . Si son domaine et son codomaine sont les mêmes, ce sera alors un opérateur linéaire continu . Un opérateur linéaire sur un espace linéaire normé est continu si et seulement s'il est borné , par exemple, lorsque le domaine est de dimension finie. Un domaine de dimension infinie peut avoir des opérateurs linéaires discontinus .

Un exemple de transformation linéaire non bornée, donc discontinue, est la différenciation sur l'espace des fonctions lisses munies de la norme supremum (une fonction avec de petites valeurs peut avoir une dérivée avec de grandes valeurs, tandis que la dérivée de 0 est 0). Pour un exemple spécifique, sin( nx )/ n converge vers 0, mais sa dérivée cos( nx ) ne le fait pas, donc la différenciation n'est pas continue en 0 (et par une variation de cet argument, elle n'est continue nulle part).

Applications

Une application spécifique des cartes linéaires concerne les transformations géométriques, telles que celles effectuées en infographie , où la translation, la rotation et la mise à l'échelle d'objets 2D ou 3D sont effectuées à l'aide d'une matrice de transformation . Les applications linéaires sont également utilisées comme mécanisme pour décrire le changement : par exemple, en calcul, correspondent aux dérivées ; ou en relativité, utilisé comme dispositif pour suivre les transformations locales des cadres de référence.

Une autre application de ces transformations réside dans les optimisations de compilateur de code à boucle imbriquée et dans la parallélisation des techniques de compilation .

Voir également

Remarques

Bibliographie