Espace vectoriel - Vector space

Addition vectorielle et multiplication scalaire : un vecteur v (bleu) est ajouté à un autre vecteur w (rouge, illustration du haut). Ci-dessous, w est étiré d'un facteur 2, ce qui donne la somme v + 2 w .

En mathématiques , en physique et en ingénierie , un espace vectoriel (également appelé espace linéaire ) est un ensemble d'objets appelés vecteurs , qui peuvent être additionnés et multipliés (« mis à l'échelle ») par des nombres appelés scalaires . Les scalaires sont souvent des nombres réels , mais certains espaces vectoriels ont une multiplication scalaire par des nombres complexes ou, généralement, par un scalaire de n'importe quel domaine mathématique . Les opérations d'addition vectorielle et de multiplication scalaire doivent satisfaire à certaines exigences, appelées axiomes vectoriels (listés ci-dessous au § Définition ). Pour spécifier si les scalaires dans un espace vectoriel particulier sont des nombres réels ou des nombres complexes, les termes espace vectoriel réel et espace vectoriel complexe sont souvent utilisés.

Certains ensembles de vecteurs euclidiens sont des exemples courants d'espace vectoriel. Ils représentent des quantités physiques telles que les forces , où deux forces du même type peuvent être ajoutées pour en produire une troisième, et la multiplication d'un vecteur de force par un multiplicateur réel est un autre vecteur de force. De la même manière (mais dans un sens plus géométrique ), les vecteurs représentant des déplacements dans le plan ou dans l' espace tridimensionnel forment également des espaces vectoriels. Les vecteurs dans les espaces vectoriels ne doivent pas nécessairement être des objets en forme de flèche comme ils apparaissent dans les exemples mentionnés : les vecteurs sont considérés comme des objets mathématiques abstraits avec des propriétés particulières, qui dans certains cas peuvent être visualisés comme des flèches.

Les espaces vectoriels font l'objet d' algèbre linéaire et sont bien caractérisés par leur dimension , qui, grosso modo, spécifie le nombre de directions indépendantes dans l'espace. Les espaces vectoriels de dimension infinie apparaissent naturellement dans l'analyse mathématique en tant qu'espaces de fonctions , dont les vecteurs sont des fonctions . Ces espaces vectoriels sont généralement dotés d'une structure supplémentaire telle qu'une topologie , qui permet de prendre en compte les problèmes de proximité et de continuité . Parmi ces topologies, celles qui sont définies par une norme ou un produit scalaire sont plus couramment utilisées (étant dotées d'une notion de distance entre deux vecteurs). C'est notamment le cas des espaces de Banach et des espaces de Hilbert , qui sont fondamentaux en analyse mathématique.

Historiquement, les premières idées menant aux espaces vectoriels remontent à la géométrie analytique du 17ème siècle , aux matrices , aux systèmes d' équations linéaires et aux vecteurs euclidiens. Le traitement moderne et plus abstrait, formulé pour la première fois par Giuseppe Peano en 1888, englobe des objets plus généraux que l' espace euclidien , mais une grande partie de la théorie peut être considérée comme une extension des idées géométriques classiques comme les lignes , les plans et leurs analogues de dimension supérieure.

Aujourd'hui, les espaces vectoriels sont appliqués dans l' ensemble des mathématiques , des sciences et de l' ingénierie . Ils sont la notion linéaire-algébrique appropriée pour traiter les systèmes d'équations linéaires . Ils offrent un cadre pour le développement de Fourier , qui est utilisé dans les routines de compression d'images , et ils fournissent un environnement qui peut être utilisé pour les techniques de résolution des équations aux dérivées partielles . De plus, les espaces vectoriels fournissent une manière abstraite et sans coordonnées de traiter des objets géométriques et physiques tels que les tenseurs . Cela permet à son tour l'examen des propriétés locales des variétés par des techniques de linéarisation. Les espaces vectoriels peuvent être généralisés de plusieurs manières, conduisant à des notions plus avancées en géométrie et en algèbre abstraite .

Cet article traite principalement des espaces vectoriels de dimension finie. Cependant, de nombreux principes sont également valables pour les espaces vectoriels de dimension infinie.

Présentation et définition

Deux exemples d'espaces vectoriels typiques sont d'abord décrits, puis la définition des espaces vectoriels est introduite.

Premier exemple : les flèches dans l'avion

Le premier exemple d'un espace vectoriel se compose de flèches dans un plan fixe , commençant à un point fixe. Ceci est utilisé en physique pour décrire des forces ou des vitesses . Étant donné deux de ces flèches, v et w , le parallélogramme couvert par ces deux flèches contient également une flèche diagonale qui commence à l'origine. Cette nouvelle flèche est appelée somme des deux flèches, et est notée v + w . Dans le cas particulier de deux flèches sur une même ligne, leur somme est la flèche sur cette ligne dont la longueur est la somme ou la différence des longueurs, selon que les flèches ont le même sens. Une autre opération qui peut être effectuée avec des flèches est la mise à l'échelle : étant donné tout nombre réel positif a , la flèche qui a la même direction que v , mais qui est dilatée ou rétrécie en multipliant sa longueur par a , est appelée multiplication de v par a . Il est noté un v . Lorsque a est négatif, un v est défini comme la flèche pointant dans la direction opposée à la place.

Ce qui suit montre quelques exemples : si a = 2 , le vecteur résultant a w a la même direction que w , mais est étiré à la double longueur de w (image de droite ci-dessous). De manière équivalente, 2 w est la somme w + w . De plus, (−1) v = − v a la direction opposée et la même longueur que v (vecteur bleu pointant vers le bas sur l'image de droite).

Addition vectorielle : la somme v + w (noir) des vecteurs v (bleu) et w (rouge) est affichée. Multiplication scalaire : les multiples −v et 2w sont affichés.

Deuxième exemple : paires ordonnées de nombres

Un deuxième exemple clé d'espace vectoriel est fourni par des paires de nombres réels x et y . (L'ordre des composants x et y est significatif, donc une telle paire est également appelée une paire ordonnée .) Une telle paire s'écrit ( x , y ) . La somme de deux de ces paires et la multiplication d'une paire avec un nombre est définie comme suit :

et

Le premier exemple ci-dessus se réduit à cet exemple, si une flèche est représentée par une paire de coordonnées cartésiennes de son extrémité.

Définition

Dans cet article, les vecteurs sont représentés en gras pour les distinguer des scalaires.

Un espace vectoriel sur un champ F est un ensemble  V avec deux opérations qui satisfont les huit axiomes énumérés ci-dessous. Dans ce qui suit, V × V désigne le produit cartésien de V avec lui-même, et désigne une application d'un ensemble à un autre.

  • La première opération, appelée addition vectorielle ou simplement addition + : V × VV , prend deux vecteurs v et w quelconques  et leur attribue un troisième vecteur qui s'écrit communément v + w , et appelé somme de ces deux vecteurs. (Le vecteur résultant est également un élément de l'ensemble V .)
  • La deuxième opération, appelée multiplication scalaire · : F × VV, prend tout scalaire  a et tout vecteur  v et donne un autre vecteur  a v . (De même, le vecteur a v est un élément de l'ensemble V . La multiplication scalaire ne doit pas être confondue avec le produit scalaire , également appelé produit interne ou produit scalaire , qui est une structure supplémentaire présente sur certains espaces vectoriels spécifiques, mais pas tous . La multiplication scalaire est une multiplication d'un vecteur par un scalaire ; l'autre est une multiplication de deux vecteurs produisant un scalaire.)

Les éléments de V sont communément appelés vecteurs . Les éléments de  F sont communément appelés scalaires . Les symboles communs pour désigner les espaces vectoriels incluent U , V et W .

Dans les deux exemples ci-dessus, le champ est le champ des nombres réels, et l'ensemble des vecteurs se compose des flèches planes avec un point de départ fixe et des paires de nombres réels, respectivement.

Pour être qualifié d'espace vectoriel, l'ensemble  V et les opérations d'addition vectorielle et de multiplication scalaire doivent respecter un certain nombre d'exigences appelées axiomes . Ceux-ci sont répertoriés dans le tableau ci-dessous, où u , v et w désignent des vecteurs arbitraires dans V , et a et b désignent des scalaires dans F .

Axiome Sens
Associativité de l'addition vectorielle u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Commutativité de l'addition vectorielle u + v = v + u
Élément d'identité de l'addition vectorielle Il existe un élément 0V , appelé le vecteur nul , tel que v + 0 = v pour tout vV .
Éléments inverses de l'addition vectorielle Pour chaque vV , il existe un élément - vV , dite opposé de v , tel que v + (- v ) = 0 .
Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication de champ a ( b v ) = ( ab ) v
Élément d'identité de la multiplication scalaire 1 v = v , où 1 désigne l' identité multiplicative dans F .
Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle   a ( u + v ) = a u + a v
Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition de champ ( a + b ) v = a v + b v

Ces axiomes généralisent les propriétés des vecteurs introduits dans les exemples ci-dessus. En effet, le résultat de l'addition de deux paires ordonnées (comme dans le deuxième exemple ci-dessus) ne dépend pas de l'ordre des sommations :

( x v , y v ) + ( x w , y w ) = ( x w , y w ) + ( x v , y v ) .

De même, dans l'exemple géométrique des vecteurs sous forme de flèches, v + w = w + v puisque le parallélogramme définissant la somme des vecteurs est indépendant de l'ordre des vecteurs. Tous les autres axiomes peuvent être vérifiés de manière similaire dans les deux exemples. Ainsi, en faisant abstraction de la nature concrète du type particulier de vecteurs, la définition incorpore ces deux exemples et bien d'autres dans une notion d'espace vectoriel.

La soustraction de deux vecteurs et la division par un scalaire (non nul) peuvent être définies comme

Lorsque le champ scalaire F correspond aux nombres réels R , l' espace vectoriel est appelé espace vectoriel réel . Lorsque le champ scalaire est constitué des nombres complexes C , l'espace vectoriel est appelé espace vectoriel complexe . Ces deux cas sont les plus utilisés en ingénierie. La définition générale d'un espace vectoriel permet aux scalaires d'être des éléments de tout champ fixe F . La notion est alors connu comme un F - espace vectoriel ou un espace vectoriel sur F . Un champ est essentiellement un ensemble de nombres possédant des opérations d' addition , de soustraction , de multiplication et de division . Par exemple, les nombres rationnels forment un champ.

Contrairement à l'intuition issue des vecteurs dans le plan et dans les cas de dimension supérieure, dans les espaces vectoriels généraux, il n'y a pas de notion de proximité , d' angle ou de distance . Pour traiter de telles questions, des types particuliers d'espaces vectoriels sont introduits ; voir § Espaces vectoriels avec structure supplémentaire ci-dessous pour plus d'informations.

Formulations alternatives et conséquences élémentaires

L'addition vectorielle et la multiplication scalaire sont des opérations, satisfaisant la propriété de fermeture : u + v et a v sont dans V pour tout a dans F , et u , v dans V . Certaines sources plus anciennes mentionnent ces propriétés comme des axiomes distincts.

Dans le jargon de l'algèbre abstraite , les quatre premiers axiomes équivalent à exiger que l'ensemble des vecteurs soit un groupe abélien par addition. Les axiomes donnent à ce groupe un F - module de structure. En d'autres termes, il existe un homomorphisme d'anneau f du champ F dans l' anneau d'endomorphisme du groupe de vecteurs. Alors la multiplication scalaire a v est définie comme ( f ( a ))( v ) .

Il y a un certain nombre de conséquences directes des axiomes de l'espace vectoriel. Certains d'entre eux dérivent de la théorie des groupes élémentaires , appliquée au groupe additif de vecteurs : par exemple, le vecteur nul 0 de V et l'inverse additif v de tout vecteur v sont uniques. D'autres propriétés suivent en employant également la loi distributive pour la multiplication scalaire, par exemple a v est égal à 0 si et seulement si a est égal à 0 ou v est égal à 0 .

Histoire

Les espaces vectoriels sont issus de la géométrie affine , via l'introduction de coordonnées dans le plan ou l'espace tridimensionnel. Vers 1636, les mathématiciens français René Descartes et Pierre de Fermat ont fondé la géométrie analytique en identifiant des solutions à une équation de deux variables avec des points sur une courbe plane . Pour réaliser des solutions géométriques sans utiliser de coordonnées, Bolzano a introduit, en 1804, certaines opérations sur les points, les lignes et les plans, qui sont les prédécesseurs des vecteurs. Möbius (1827) a introduit la notion de coordonnées barycentriques . Bellavitis (1833) a introduit la notion de bipoint, c'est-à-dire de segment orienté dont l'une des extrémités est l'origine et l'autre la cible. Les vecteurs ont été repensés avec la présentation des nombres complexes par Argand et Hamilton et la création des quaternions par ces derniers. Ce sont des éléments dans R 2 et R 4 ; les traiter à l'aide de combinaisons linéaires remonte à Laguerre en 1867, qui a également défini des systèmes d'équations linéaires .

En 1857, Cayley introduit la notation matricielle qui permet une harmonisation et une simplification des cartes linéaires . Vers la même époque, Grassmann a étudié le calcul barycentrique initié par Möbius. Il envisage des ensembles d'objets abstraits dotés d'opérations. Dans son travail, les concepts d' indépendance linéaire et de dimension , ainsi que les produits scalaires sont présents. En fait, les travaux de Grassmann en 1844 dépassent le cadre des espaces vectoriels, puisque sa réflexion sur la multiplication, aussi, l'a conduit à ce qu'on appelle aujourd'hui les algèbres . Le mathématicien italien Peano a été le premier à donner la définition moderne des espaces vectoriels et des cartes linéaires en 1888.

Un développement important des espaces vectoriels est dû à la construction d' espaces fonctionnels par Henri Lebesgue . Cela a ensuite été formalisé par Banach et Hilbert , vers 1920. À cette époque, l' algèbre et le nouveau domaine de l'analyse fonctionnelle ont commencé à interagir, notamment avec des concepts clés tels que les espaces de fonctions p- intégrables et les espaces de Hilbert . C'est également à cette époque que les premières études concernant les espaces vectoriels de dimension infinie ont été réalisées.

Exemples

Espace de coordonnées

L'exemple le plus simple d'un espace vectoriel sur un champ F est le champ F lui-même (car c'est un groupe abélien pour l'addition, une partie des exigences pour être un champ .), équipé de son addition (Il devient addition vectorielle.) et multiplication (Cela devient une multiplication scalaire.). Plus généralement, tous les n -uplets (suites de longueur n )

( un 1 , un 2 , ..., un n )

des éléments a i de F forment un espace vectoriel qui est généralement noté F n et appelé espace de coordonnées . Le cas n = 1 est l'exemple le plus simple mentionné ci-dessus, dans lequel le champ F est également considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. Le cas F = R et n = 2 (donc R 2 ) a été discuté dans l'introduction ci-dessus.

Nombres complexes et autres extensions de champ

L'ensemble des nombres complexes C , c'est-à-dire les nombres qui peuvent être écrits sous la forme x + iy pour les nombres réels x et yi est l' unité imaginaire , forme un espace vectoriel sur les réels avec l'addition et la multiplication habituelles : ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) et c ( x + iy ) = ( cx ) + i ( cy ) pour les nombres réels x , y , a , b et c . Les différents axiomes d'un espace vectoriel découlent du fait que les mêmes règles sont valables pour l'arithmétique des nombres complexes.

En fait, l'exemple des nombres complexes est essentiellement le même que (c'est-à-dire qu'il est isomorphe à) l'espace vectoriel des paires ordonnées de nombres réels mentionné ci-dessus : si nous pensons au nombre complexe x + i y comme représentant la paire ordonnée ( x , y ) dans le plan complexe alors on voit que les règles d'addition et de multiplication scalaire correspondent exactement à celles de l'exemple précédent.

Plus généralement, les extensions de champ fournissent une autre classe d'exemples d'espaces vectoriels, en particulier en algèbre et en théorie algébrique des nombres : un champ F contenant un plus petit champ E est un E -espace vectoriel, par les opérations de multiplication et d'addition données de F . Par exemple, les nombres complexes sont un espace vectoriel sur R , et l'extension de champ est un espace vectoriel sur Q .

Espaces fonctionnels

Addition de fonctions : La somme du sinus et de la fonction exponentielle est à

Fonctions de tout ensemble fixe Ω à un champ F forment également des espaces vectoriels, en effectuant l' addition et de multiplication scalaire par points. C'est-à-dire que la somme de deux fonctions f et g est la fonction ( f + g ) donnée par

( f + g )( w ) = f ( w ) + g ( w ) ,

et de même pour la multiplication. De tels espaces de fonctions se produisent dans de nombreuses situations géométriques, lorsque Ω est la ligne réelle ou un intervalle , ou d'autres sous - ensembles de R . De nombreuses notions de topologie et d'analyse, telles que la continuité , l' intégrabilité ou la différentiabilité, se comportent bien par rapport à la linéarité : les sommes et les multiples scalaires de fonctions possédant une telle propriété ont toujours cette propriété. Par conséquent, l'ensemble de ces fonctions sont des espaces vectoriels. Ils sont étudiés plus en détail à l'aide des méthodes d' analyse fonctionnelle , voir ci - dessous . Les contraintes algébriques donnent aussi des espaces vectoriels : l' espace vectoriel F [x] est donné par des fonctions polynomiales :

f ( x ) = r 0 + r 1 x + ... + r n -1 x n -1 + r n x n , où les coefficients r 0 , ..., r n sont dans F .

Équations linéaires

Les systèmes d' équations linéaires homogènes sont étroitement liés aux espaces vectoriels. Par exemple, les solutions de

une + 3 b + c = 0
4 un + 2 b + 2 c = 0

sont données par les triplets avec arbitraire a , b = a / 2 , et c = -5 a / 2 . Ils forment un espace vectoriel : les sommes et les multiples scalaires de tels triplets satisfont toujours aux mêmes rapports des trois variables ; ce sont donc aussi des solutions. Les matrices peuvent être utilisées pour condenser plusieurs équations linéaires comme ci-dessus en une seule équation vectorielle, à savoir

A x = 0 ,

où est la matrice contenant les coefficients des équations données, x est le vecteur ( a , b , c ) , A x désigne le produit matriciel et 0 = (0, 0) est le vecteur zéro. Dans la même veine, les solutions d' équations différentielles linéaires homogènes forment des espaces vectoriels. Par exemple,

f ( x ) + 2 f ′( x ) + f ( x ) = 0

donne f ( x ) = a e x + bx e x , où a et b sont des constantes arbitraires, et e x est la fonction exponentielle naturelle .

Base et dimension

Un vecteur v dans R 2 (bleu) exprimé en termes de bases différentes : utilisant la base standard de R 2 : v = x e 1 + y e 2 (noir), et utilisant une base différente, non orthogonale : v = f 1 + f 2 (rouge).

Les bases permettent de représenter des vecteurs par une séquence de scalaires appelés coordonnées ou composantes . Une base est un ensemble B = { b i } iI des vecteurs b i , pourpratiques souvent indexées par un ensemble d' indices I , qui couvre tout l'espace et est linéairement indépendant . « Couvrant tout l'espace » signifie que tout vecteur v peut être exprimé comme une somme finie (appelée combinaison linéaire ) des éléments de base :

 

 

 

 

( 1 )

où les a k sont des scalaires, appelés les coordonnées (ou les composantes) du vecteur v par rapport à la base B , et b i k ( k = 1, ..., n ) éléments de B . L'indépendance linéaire signifie que les coordonnées a k sont déterminées de manière unique pour tout vecteur dans l'espace vectoriel.

Par exemple, les vecteurs de coordonnées e 1 = (1, 0, …, 0) , e 2 = (0, 1, 0, …, 0) , à e n = (0, 0, …, 0, 1) , forment une base de F n , appelée base standard , puisque tout vecteur ( x 1 , x 2 , …, x n ) peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire de ces vecteurs :

( x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 (1, 0, …, 0) + x 2 (0, 1, 0, …, 0) + ⋯ + x n (0, …, 0, 1) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n .

Les coordonnées correspondantes x 1 , x 2 , , x n ne sont que les coordonnées cartésiennes du vecteur.

Tout espace vectoriel a une base. Cela découle du lemme de Zorn , une formulation équivalente de l' Axiome du choix . Étant donné les autres axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel , l'existence de bases est équivalente à l'axiome du choix. Le lemme de l'ultrafiltre , plus faible que l'axiome de choix, implique que toutes les bases d'un espace vectoriel donné ont le même nombre d'éléments, ou cardinalité (cf. Théorème de dimension pour les espaces vectoriels ). On l'appelle la dimension de l'espace vectoriel, notée dim V . Si l'espace est couvert par un nombre fini de vecteurs, les déclarations ci-dessus peuvent être prouvées sans une telle contribution fondamentale de la théorie des ensembles.

La dimension de l'espace de coordonnées F n est n , par la base exposée ci-dessus. La dimension de l'anneau polynomial F [ x ] introduit ci - dessus est dénombrable infinie , une base est donnée par 1 , x , x 2 , A fortiori , la dimension d'espaces de fonctions plus généraux, comme l'espace de fonctions sur certains (borné ou non borné), est infini. Sous des hypothèses de régularité appropriées sur les coefficients impliqués, la dimension de l'espace des solutions d'une équation différentielle ordinaire homogène est égale au degré de l'équation. Par exemple, l'espace de solution pour l' équation ci - dessus est généré par e x et xe x . Ces deux fonctions sont linéairement indépendantes sur R , donc la dimension de cet espace est deux, tout comme le degré de l'équation.

Une extension de champ sur les rationnels Q peut être considérée comme un espace vectoriel sur Q (en définissant l'addition vectorielle comme addition de champ, en définissant la multiplication scalaire comme multiplication de champ par des éléments de Q , et en ignorant sinon la multiplication de champ). La dimension (ou degré ) de l'extension de champ Q ( α ) au-dessus de Q dépend de α . Si α satisfait une équation polynomiale

avec des coefficients rationnels q n , ..., q 0 (en d'autres termes, si α est algébrique ), la dimension est finie. Plus précisément, il est égal au degré du polynôme minimal ayant α pour racine . Par exemple, les nombres complexes C sont un espace vectoriel réel à deux dimensions, généré par 1 et l' unité imaginaire i . Ce dernier satisfait i 2 + 1 = 0, une équation de degré deux. Ainsi, C est un R -espace vectoriel à deux dimensions (et, comme tout champ, à une dimension comme un espace vectoriel sur lui-même, C ). Si α n'est pas algébrique, la dimension de Q ( α ) sur Q est infinie. Par exemple, pour α = π il n'y a pas une telle équation. C'est-à-dire que π est transcendantal .

Cartes linéaires et matrices

La relation de deux espaces vectoriels peut être exprimée par une application linéaire ou une transformation linéaire . Ce sont des fonctions qui reflètent la structure de l'espace vectoriel, c'est-à-dire qu'elles préservent les sommes et la multiplication scalaire :

et f ( a · v ) = a · f ( v ) pour tout v et w dans V , tout a dans F .

Un isomorphisme est une application linéaire f  : VW telle qu'il existe une application inverse g  : WV , qui est une application telle que les deux compositions possibles fg  : WW et gf  : VV sont cartes d'identité . De manière équivalente, f est à la fois un-à-un ( injectif ) et sur ( surjectif ). S'il existe un isomorphisme entre V et W , les deux espaces sont dits isomorphes ; ils sont alors essentiellement identiques en tant qu'espaces vectoriels, puisque toutes les identités détenues dans V sont, via f , transportées vers des identités similaires dans W , et vice versa via g .

Décrire un vecteur flèche v par ses coordonnées x et y donne un isomorphisme des espaces vectoriels.

Par exemple, les espaces vectoriels « flèches dans le plan » et « paires ordonnées de nombres » dans l'introduction sont isomorphes : une flèche plane v partant de l' origine d'un système de coordonnées (fixe) peut être exprimée comme une paire ordonnée en considérant le x - et y - composant de la flèche, comme indiqué dans l'image à droite. Inversement, étant donné un couple ( x , y ) , la flèche allant de x vers la droite (ou vers la gauche, si x est négatif), et y vers le haut (bas, si y est négatif) fait reculer la flèche v .

Les applications linéaires VW entre deux espaces vectoriels forment un espace vectoriel Hom F ( V , W ) , également noté L( V , W ) , ou 𝓛( V , W ) . L'espace des cartes linéaires de V à F est appelé espace vectoriel dual , noté V * . Via le injective naturel carte VV ** , tout espace vectoriel peut être intégré dans son bidual ; l'application est un isomorphisme si et seulement si l'espace est de dimension finie.

Une fois qu'une base de V est choisie, les applications linéaires f  : VW sont complètement déterminées en spécifiant les images des vecteurs de base, car tout élément de V est exprimé uniquement comme une combinaison linéaire d'entre eux. Si dim V = dim W , une correspondance 1 à 1 entre les bases fixes de V et W donne lieu à une application linéaire qui mappe tout élément de base de V à l'élément de base correspondant de W . C'est un isomorphisme, par sa définition même. Par conséquent, deux espaces vectoriels sont isomorphes si leurs dimensions concordent et vice versa. Une autre façon d'exprimer cela est que tout espace vectoriel est complètement classé ( à l' isomorphisme près) par sa dimension, un nombre unique. En particulier, tout espace vectoriel F à n dimensions V est isomorphe à F n . Il n'y a cependant pas d'isomorphisme « canonique » ou préféré ; en fait un isomorphisme φ  : F nV équivaut au choix d'une base de V , en faisant correspondre la base standard de F n à V , via φ . La liberté de choisir une base pratique est particulièrement utile dans le contexte de dimension infinie ; voir ci - dessous .

Matrices

Une matrice typique

Les matrices sont une notion utile pour coder des cartes linéaires. Ils sont écrits sous la forme d'un tableau rectangulaire de scalaires comme dans l'image de droite. Toute matrice m par n A donne lieu à une application linéaire de F n à F m , par la suite

, où désigne la sommation ,

ou, en utilisant la multiplication matricielle de la matrice A avec le vecteur de coordonnées x :

xA x .

De plus, après avoir choisi les bases de V et W , toute application linéaire f  : VW est uniquement représentée par une matrice via cette affectation.

Le volume de ce parallélépipède est la valeur absolue du déterminant de la matrice 3-x-3 formée par les vecteurs r 1 , r 2 et r 3 .

Le déterminant det ( A ) d'une matrice carrée A est un scalaire qui dit si l'application associée est un isomorphisme ou non : pour l'être il suffit et nécessaire que le déterminant soit non nul. La transformation linéaire de R n correspondant à une matrice réelle n- par- n préserve l'orientation si et seulement si son déterminant est positif.

Valeurs propres et vecteurs propres

Les endomorphismes , applications linéaires f  : VV , sont particulièrement importants puisque dans ce cas les vecteurs v peuvent être comparés à leur image sous f , f ( v ) . Tout vecteur v non nul satisfaisant λ v = f ( v ) , où λ est un scalaire, est appelé vecteur propre de f de valeur propre λ . De manière équivalente, v est un élément du noyau de la différence fλ · Id (où Id est l'application identité VV ) . Si V est de dimension finie, cela peut être reformulé en utilisant des déterminants : f ayant la valeur propre λ est équivalent à

det( fλ · Id) = 0 .

En précisant la définition du déterminant, l'expression du côté gauche peut être considérée comme une fonction polynomiale dans λ , appelé polynôme caractéristique de f . Si le champ F est suffisamment grand pour contenir un zéro de ce polynôme (ce qui se produit automatiquement pour F algébriquement clos , comme F = C ) toute application linéaire a au moins un vecteur propre. L'espace vectoriel V peut posséder ou non une base propre , une base constituée de vecteurs propres. Ce phénomène est régi par la forme canonique jordanienne de la carte. L'ensemble de tous les vecteurs propres correspondant à une valeur propre particulière de f forme un espace vectoriel appelé espace propre correspondant à la valeur propre (et f ) en question. Pour réaliser le théorème spectral , l'énoncé correspondant dans le cas de dimension infinie, la machinerie de l'analyse fonctionnelle est nécessaire, voir ci - dessous .

Constructions de base

En plus des exemples concrets ci-dessus, il existe un certain nombre de constructions algébriques linéaires standard qui donnent des espaces vectoriels liés à ceux donnés. En plus des définitions données ci-dessous, ils sont également caractérisés par des propriétés universelles , qui déterminent un objet X en spécifiant les applications linéaires de X à tout autre espace vectoriel.

Sous-espaces et espaces quotients

Une ligne passant par l' origine (bleue, épaisse) dans R 3 est un sous-espace linéaire. C'est l'intersection de deux plans (vert et jaune).

Un sous- ensemble non vide W d'un espace vectoriel V qui est fermé par addition et multiplication scalaire (et contient donc le vecteur 0 de V ) est appelé un sous - espace linéaire de V , ou simplement un sous - espace de V , lorsque l'espace ambiant est sans ambiguïté un espace vectoriel. Les sous -espaces de V sont des espaces vectoriels (sur le même champ) à part entière. L'intersection de tous les sous - espaces contenant un ensemble S de vecteurs est appelé sa durée , et il est le plus petit sous - espace de V contenant l'ensemble S . Exprimé en termes d'éléments, l'étendue est le sous-espace constitué de toutes les combinaisons linéaires d'éléments de S .

Un sous-espace linéaire de dimension 1 est une ligne vectorielle . Un sous-espace linéaire de dimension 2 est un plan vectoriel . Un sous-espace linéaire qui contient tous les éléments sauf un d'une base de l'espace ambiant est un hyperplan vectoriel . Dans un espace vectoriel de dimension finie n , un hyperplan vectoriel est donc un sous-espace de dimension n – 1 .

La contrepartie des sous-espaces sont les espaces vectoriels quotients . Compte tenu de tout sous - espace WV , l'espace quotient V / W ( " V modulo W est défini") comme suit: comme un ensemble, il se compose de v + W = { v + w  : wW },v est un vecteur arbitraire dans V . La somme de deux de ces éléments v 1 + W et v 2 + W est ( v 1 + v 2 ) + W , et la multiplication scalaire est donnée par a · ( v + W ) = ( a · v ) + W . Le point clé de cette définition est que v 1 + W = v 2 + W si et seulement si la différence de v 1 et v 2 réside dans W . De cette façon, l'espace quotient "oublie" les informations contenues dans le sous-espace W .

Le noyau ker( f ) d' une application linéaire f  : VW est constitué de vecteurs v qui sont mis en correspondance avec 0 dans W . Le noyau et l' image de im ( f ) = { f ( v ): vV } sont des sous - espaces de V et W , respectivement. L'existence de noyaux et d'images fait partie de l'affirmation selon laquelle la catégorie des espaces vectoriels (sur un champ fixe F ) est une catégorie abélienne , c'est-à-dire un corpus d'objets mathématiques et de cartes préservant la structure entre eux (une catégorie ) qui se comporte un peu comme la catégorie des groupes abéliens . Pour cette raison, de nombreuses déclarations telles que le premier théorème d'isomorphisme (également appelé théorème rang-nullité en termes liés à la matrice)

V / ker( f ) im( f ).

et les deuxième et troisième théorèmes d'isomorphisme peuvent être formulés et prouvés d'une manière très similaire aux déclarations correspondantes pour les groupes .

Un exemple important est le noyau d'une carte linéaire xA x pour une matrice fixe A , comme ci - dessus . Le noyau de cette application est le sous-espace des vecteurs x tel que A x = 0 , qui est précisément l'ensemble des solutions du système d'équations linéaires homogènes appartenant à A . Ce concept s'étend également aux équations différentielles linéaires

, où les coefficients a i sont également des fonctions dans x .

Dans la carte correspondante

,

les dérivées de la fonction f apparaissent linéairement (par opposition à f ( x ) 2 , par exemple). Puisque la différentiation est une procédure linéaire (c'est-à-dire, ( f + g )′ = f ′ + g et ( c · f )′ = c · f pour une constante c ) cette affectation est linéaire, appelée opérateur différentiel linéaire . En particulier, les solutions de l'équation différentielle D ( f ) = 0 forment un espace vectoriel (sur R ou C ).

Produit direct et somme directe

Le produit direct des espaces vectoriels et la somme directe des espaces vectoriels sont deux façons de combiner une famille indexée d'espaces vectoriels dans un nouvel espace vectoriel.

Le produit direct d'une famille d'espaces vectoriels V i se compose de l'ensemble des tuples ( v i ) iI , qui spécifient pour chaque indice i dans un certain ensemble d' indices I un élément v i de V i . L'addition et la multiplication scalaire sont effectuées par composants. Une variante de cette construction est la somme directe (également appelée coproduit et notée ), où seuls les tuples avec un nombre fini de vecteurs non nuls sont autorisés. Si l'ensemble d'indices I est fini, les deux constructions concordent, mais en général elles sont différentes.

Produit tenseur

Le produit tensoriel VF W , ou simplement VW , de deux espaces vectoriels V et W est l' une des notions centrales de l' algèbre multilinéaire qui traite des notions étendant tels que des cartes linéaires à plusieurs variables. Une application g  : V × WX est dite bilinéaire si g est linéaire dans les deux variables v et w . En d' autres termes, pour fixe w la carte vg ( v , w ) est linéaire dans le sens ci - dessus et de même pour fixe v .

Le produit tensoriel est un espace vectoriel particulier qui est un destinataire universel des applications bilinéaires g , comme suit. Il est défini comme l'espace vectoriel constitué de sommes finies (formelles) de symboles appelés tenseurs

v 1w 1 + v 2w 2 + ⋯ + v nw n ,

soumis aux règles

a · ( vw ) = ( a · v ) ⊗ w = v ⊗ ( a · w ), où a est un scalaire,
( v 1 + v 2 ) w = v 1w + v 2w , et
v ⊗ ( w 1 + w 2 ) = vw 1 + vw 2 .
Diagramme commutatif illustrant la propriété universelle du produit tensoriel.

Ces règles font en sorte que le plan f du V × W de VW qui mappe un tuple ( v , w ) à vw est bilinéaire. L'universalité stipule qu'étant donné tout espace vectoriel X et toute application bilinéaire g  : V × WX , il existe une unique application u , représentée dans le diagramme avec une flèche en pointillé, dont la composition avec f est égale à g : u ( vw ) = g ( v , w ) . C'est ce qu'on appelle la propriété universelle du produit tensoriel, une instance de la méthode - très utilisée en algèbre abstraite avancée - pour définir indirectement des objets en spécifiant des cartes depuis ou vers cet objet.

Espaces vectoriels avec structure supplémentaire

Du point de vue de l'algèbre linéaire, les espaces vectoriels sont parfaitement compris dans la mesure où tout espace vectoriel est caractérisé, à isomorphisme près, par sa dimension. Cependant, les espaces vectoriels en soi n'offrent pas de cadre pour traiter la question, cruciale pour l'analyse, de savoir si une séquence de fonctions converge vers une autre fonction. De même, l'algèbre linéaire n'est pas adaptée pour traiter les séries infinies , puisque l'opération d'addition ne permet d'ajouter qu'un nombre fini de termes. Par conséquent, les besoins de l'analyse fonctionnelle nécessitent de considérer des structures supplémentaires.

Un espace vectoriel peut recevoir un ordre partiel , sous lequel certains vecteurs peuvent être comparés. Par exemple, l' espace réel à n dimensions R n peut être ordonné en comparant ses vecteurs par composants. Les espaces vectoriels ordonnés , par exemple les espaces de Riesz , sont fondamentaux pour l' intégration de Lebesgue , qui repose sur la capacité d' exprimer une fonction comme la différence de deux fonctions positives .

,

où désigne la partie positive de et la partie négative.

Espaces vectoriels normés et espaces de produits internes

La « mesure » des vecteurs se fait en spécifiant une norme , une donnée qui mesure les longueurs des vecteurs, ou par un produit interne , qui mesure les angles entre les vecteurs. Les normes et les produits internes sont notés et , respectivement. La donnée d'un produit scalaire implique que les longueurs des vecteurs peuvent également être définies, en définissant la norme associée . Les espaces vectoriels dotés de telles données sont respectivement appelés espaces vectoriels normés et espaces de produits internes .

L'espace de coordonnées F n peut être équipé du produit scalaire standard :

Dans R 2 , cela reflète la notion commune de l'angle entre deux vecteurs x et y , par la loi des cosinus :

De ce fait, deux vecteurs satisfaisants sont dits orthogonaux . Une variante importante du produit scalaire standard est utilisée dans l'espace de Minkowski : R 4 doté du produit de Lorentz

Contrairement au produit scalaire standard, il n'est pas défini positif : prend également des valeurs négatives, par exemple, pour . Le fait de distinguer la quatrième coordonnée, correspondant au temps , par opposition aux trois dimensions de l'espace, la rend utile pour le traitement mathématique de la relativité restreinte .

Espaces vectoriels topologiques

Les questions de convergence sont traitées en considérant des espaces vectoriels V portant une topologie compatible , une structure qui permet de parler d'éléments proches les uns des autres . La compatibilité signifie ici que l'addition et la multiplication scalaire doivent être des applications continues . En gros, si x et y dans V , et a dans F varient d'une quantité limitée, alors il en va de même pour x + y et a x . Pour donner un sens à la spécification de la quantité de changements d'un scalaire, le champ F doit également porter une topologie dans ce contexte ; un choix commun sont les réels ou les nombres complexes.

Dans de tels espaces vectoriels topologiques, on peut considérer des séries de vecteurs. La somme infinie

désigne la limite des sommes partielles finies correspondantes de la séquence ( f i ) iN d'éléments de V . Par exemple, le f i pourrait être des fonctions (réelles ou complexes) appartenant à un certain espace de réception V , dans ce cas , la série est une série de fonction . Le mode de convergence de la série dépend de la topologie imposée à l'espace des fonctions. Dans de tels cas, la convergence ponctuelle et la convergence uniforme sont deux exemples marquants.

Les "sphères" unitaires dans R 2 sont constituées de vecteurs plans de norme 1. Les sphères unitaires sont représentées dans différentes p -normes , pour p = 1, 2 et . Le plus gros losange représente les points de 1-norme égal à 2.

Une façon de s'assurer de l'existence des limites de certaines séries infinies est de restreindre l'attention aux espaces où toute suite de Cauchy a une limite ; un tel espace vectoriel est dit complet . En gros, un espace vectoriel est complet à condition qu'il contienne toutes les limites nécessaires. Par exemple, l'espace vectoriel des polynômes sur l'intervalle unitaire [0,1], muni de la topologie de convergence uniforme n'est pas complet car toute fonction continue sur [0,1] peut être approchée uniformément par une suite de polynômes, par le Théorème d'approximation de Weierstrass . En revanche, l'espace de toutes les fonctions continues sur [0,1] avec la même topologie est complet. Une norme donne lieu à une topologie en définissant qu'une suite de vecteurs v n converge vers v si et seulement si

Les espaces de Banach et de Hilbert sont des espaces vectoriels topologiques complets dont les topologies sont données, respectivement, par une norme et un produit scalaire. Leur étude, un élément clé de l'analyse fonctionnelle, se concentre sur les espaces vectoriels de dimension infinie, puisque toutes les normes sur les espaces vectoriels topologiques de dimension finie donnent lieu à la même notion de convergence. L'image de droite montre l'équivalence de la norme 1 et de la norme sur R 2 : comme l'unité "boules" s'enferme, une suite converge vers zéro dans une norme si et seulement si c'est le cas dans l'autre norme . Dans le cas de dimension infinie, cependant, il y aura généralement des topologies inéquivalentes, ce qui rend l'étude des espaces vectoriels topologiques plus riche que celle des espaces vectoriels sans données supplémentaires.

D'un point de vue conceptuel, toutes les notions liées aux espaces vectoriels topologiques doivent correspondre à la topologie. Par exemple, au lieu de considérer toutes les applications linéaires (également appelées fonctionnelles ) VW , les applications entre les espaces vectoriels topologiques doivent être continues. En particulier, le (topologique) espace dual V * se compose de fonctionnelles continues VR (ou à C ). Le théorème fondamental de Hahn-Banach concerne la séparation des sous-espaces d'espaces vectoriels topologiques appropriés par des fonctionnelles continues.

Espaces Banach

Les espaces de Banach , introduits par Stefan Banach , sont des espaces vectoriels normés complets.

Un premier exemple est l'espace vectoriel constitué de vecteurs infinis à entrées réelles dont la -norme donnée par

pour    et   .

Les topologies sur l'espace de dimension infinie sont inéquivalentes pour différents . Par exemple, la séquence de vecteurs , dans laquelle les premières composantes sont et les suivantes sont , converge vers le vecteur zéro pour , mais pas pour :

, mais

Plus généralement que les suites de nombres réels, les fonctions sont dotées d'une norme qui remplace la somme ci-dessus par l' intégrale de Lebesgue

Les espaces des fonctions intégrables sur un domaine donné (par exemple un intervalle) satisfaisant , et munis de cette norme sont appelés espaces de Lebesgue , notés .

Ces espaces sont complets. (Si l'on utilise plutôt l' intégrale de Riemann , l'espace n'est pas complet, ce qui peut être considéré comme une justification de la théorie de l'intégration de Lebesgue.) Concrètement, cela signifie que pour toute séquence de fonctions intégrables de Lebesgue      avec , satisfaisant la condition

il existe une fonction appartenant à l'espace vectoriel telle que

Imposer des conditions de bornage non seulement sur la fonction, mais aussi sur ses dérivées conduit à des espaces de Sobolev .

Espaces Hilbert

Les instantanés suivants montrent la sommation de 1 à 5 termes dans l'approximation d'une fonction périodique (bleu) par somme finie de fonctions sinus (rouge).

Les espaces de produits internes complets sont connus sous le nom d' espaces de Hilbert , en l'honneur de David Hilbert . L'espace de Hilbert L 2 (Ω), avec le produit scalaire donné par

où désigne le conjugué complexe de g ( x ), est un cas clé.

Par définition, dans un espace de Hilbert toute suite de Cauchy converge vers une limite. Inversement, trouver une séquence de fonctions f n avec des propriétés souhaitables qui se rapproche d'une fonction limite donnée est tout aussi crucial. Les premières analyses, sous le couvert de l' approximation de Taylor , ont établi une approximation des fonctions dérivables f par des polynômes. Par le théorème de Stone-Weierstrass , chaque fonction continue sur [ a , b ] peut être approchée aussi étroitement que souhaité par un polynôme. Une technique d'approximation similaire par des fonctions trigonométriques est communément appelée expansion de Fourier et est très appliquée en ingénierie, voir ci - dessous . Plus généralement, et plus conceptuellement, le théorème fournit une description simple de quelles « fonctions de base », ou, dans les espaces de Hilbert abstraits, quels vecteurs de base suffisent à générer un espace de Hilbert H , au sens où la fermeture de leur étendue (c'est-à-dire , combinaisons linéaires finies et limites de celles-ci) est l'espace entier. Un tel ensemble de fonctions s'appelle une base de H , sa cardinalité est connue sous le nom de dimension d' espace de Hilbert . Non seulement le théorème présente des fonctions de base appropriées comme suffisantes à des fins d'approximation, mais aussi avec le processus de Gram-Schmidt , il permet de construire une base de vecteurs orthogonaux . De telles bases orthogonales sont la généralisation spatiale de Hilbert des axes de coordonnées dans l'espace euclidien de dimension finie .

Les solutions de diverses équations différentielles peuvent être interprétées en termes d'espaces de Hilbert. Par exemple, un grand nombre de domaines de la physique et de l'ingénierie conduisent à de telles équations et fréquemment des solutions avec des propriétés physiques particulières sont utilisées comme fonctions de base, souvent orthogonales. À titre d'exemple de la physique, l' équation de Schrödinger dépendante du temps en mécanique quantique décrit le changement de propriétés physiques dans le temps au moyen d'une équation aux dérivées partielles , dont les solutions sont appelées fonctions d'onde . Les valeurs définies pour les propriétés physiques telles que l'énergie ou la quantité de mouvement correspondent aux valeurs propres d'un certain opérateur différentiel (linéaire) et les fonctions d'onde associées sont appelées états propres . Le théorème spectral décompose un opérateur compact linéaire agissant sur des fonctions en fonction de ces fonctions propres et de leurs valeurs propres.

Algèbres sur les champs

Une hyperbole , donnée par l' équation xy = 1 . L' anneau de coordonnées des fonctions sur cette hyperbole est donné par R [ x , y ] / ( x · y − 1) , un espace vectoriel de dimension infinie sur R .

Les espaces vectoriels généraux ne possèdent pas de multiplication entre vecteurs. Un espace vectoriel muni d'un opérateur bilinéaire supplémentaire définissant la multiplication de deux vecteurs est une algèbre sur un corps . De nombreuses algèbres proviennent de fonctions sur un objet géométrique : puisque les fonctions avec des valeurs dans un domaine donné peuvent être multipliées par points, ces entités forment des algèbres. Le théorème de Stone-Weierstrass, par exemple, repose sur des algèbres de Banach qui sont à la fois des espaces et des algèbres de Banach.

L'algèbre commutative fait un grand usage des anneaux de polynômes à une ou plusieurs variables, introduits ci-dessus . Leur multiplication est à la fois commutative et associative . Ces anneaux et leurs quotients forment la base de la géométrie algébrique , car ce sont des anneaux de fonctions d'objets géométriques algébriques .

Un autre exemple crucial sont les algèbres de Lie , qui ne sont ni commutatives ni associatives, mais l'échec est limité par les contraintes ( [ x , y ] désigne le produit de x et y ):

Les exemples incluent l'espace vectoriel des matrices n - sur n , avec [ x , y ] = xyyx , le commutateur de deux matrices, et R 3 , doté du produit vectoriel .

L' algèbre tensorielle T( V ) est une manière formelle d'ajouter des produits à tout espace vectoriel V pour obtenir une algèbre. En tant qu'espace vectoriel, il est couvert par des symboles, appelés tenseurs simples

v 1v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v n , où le degré n varie.

La multiplication est donnée en concaténant de tels symboles, en imposant la loi de distribution par addition, et en exigeant que la multiplication scalaire commute avec le produit tensoriel , de la même manière qu'avec le produit tensoriel de deux espaces vectoriels introduit ci-dessus . En général, il n'y a pas de relations entre v 1v 2 et v 2v 1 . Forçant deux de ces éléments pour être conducteurs égaux à l' algèbre symétrique , alors que forçant v 1v 2 = - v 2v 1 donne l' algèbre extérieure .

Lorsqu'un champ, F est explicitement indiqué, un terme commun utilisé est F -algèbre.

Applications

Les espaces vectoriels ont de nombreuses applications car ils se produisent fréquemment dans des circonstances courantes, à savoir partout où des fonctions avec des valeurs dans un domaine sont impliquées. Ils fournissent un cadre pour traiter des problèmes analytiques et géométriques, ou sont utilisés dans la transformée de Fourier. Cette liste n'est pas exhaustive : de nombreuses autres applications existent, par exemple en optimisation . Le théorème minimax de la théorie des jeux affirmant l'existence d'un gain unique lorsque tous les joueurs jouent de manière optimale peut être formulé et prouvé en utilisant des méthodes d'espaces vectoriels. La théorie des représentations transfère fructueusement la bonne compréhension de l'algèbre linéaire et des espaces vectoriels à d'autres domaines mathématiques tels que la théorie des groupes .

Répartition

Une distribution (ou fonction généralisée ) est une application linéaire attribuant un nombre à chaque fonction "test" , typiquement une fonction lisse à support compact , de manière continue : dans la terminologie ci - dessus, l'espace des distributions est le dual (continu) des tester l'espace des fonctions. Ce dernier espace est doté d'une topologie qui prend en compte non seulement f lui-même, mais aussi toutes ses dérivées supérieures. Un exemple standard est le résultat de l'intégration d'une fonction de test f sur un domaine Ω :

Lorsque Ω = { p } , l'ensemble consistant en un seul point, ce qui réduit à la distribution de Dirac , désigné par δ , qui associe à une fonction de test f sa valeur à la p : δ ( f ) = f ( p ) . Les distributions sont un instrument puissant pour résoudre les équations différentielles. Puisque toutes les notions analytiques standard telles que les dérivées sont linéaires, elles s'étendent naturellement à l'espace des distributions. Par conséquent, l'équation en question peut être transférée dans un espace de distribution, qui est plus grand que l'espace de fonctions sous-jacent, de sorte que des méthodes plus flexibles sont disponibles pour résoudre l'équation. Par exemple, les fonctions de Green et les solutions fondamentales sont généralement des distributions plutôt que des fonctions propres, et peuvent ensuite être utilisées pour trouver des solutions de l'équation avec des conditions aux limites prescrites. La solution trouvée peut alors dans certains cas être prouvée être en fait une vraie fonction et une solution à l'équation d'origine (par exemple, en utilisant le théorème de Lax-Milgram , une conséquence du théorème de représentation de Riesz ).

Analyse de Fourier

L'équation de la chaleur décrit la dissipation des propriétés physiques au fil du temps, telles que la baisse de la température d'un corps chaud placé dans un environnement plus froid (le jaune représente les régions plus froides que le rouge).

La résolution d'une fonction périodique en une somme de fonctions trigonométriques forme une série de Fourier , une technique très utilisée en physique et en ingénierie. L'espace vectoriel sous-jacent est généralement l' espace de Hilbert L 2 (0, 2π), pour lequel les fonctions sin( mx ) et cos( mx ) (où m est un entier) forment une base orthogonale. Le développement de Fourier d'une fonction L 2 f est

Les coefficients a m et b m sont appelés coefficients de Fourier de f , et sont calculés par les formules

,

En termes physiques, la fonction est représentée comme une superposition d' ondes sinusoïdales et les coefficients donnent des informations sur le spectre de fréquence de la fonction . Une forme de nombre complexe de la série de Fourier est également couramment utilisée. Les formules concrètes ci-dessus sont les conséquences d'une dualité mathématique plus générale appelée dualité de Pontryagin . Appliquée au groupe R , elle donne la transformée de Fourier classique ; une application en physique sont les réseaux réciproques , où le groupe sous-jacent est un espace vectoriel réel de dimension finie doté de la donnée supplémentaire d'un réseau codant pour les positions des atomes dans les cristaux .

Les séries de Fourier sont utilisées pour résoudre des problèmes de valeurs limites dans les équations aux dérivées partielles . En 1822, Fourier utilise pour la première fois cette technique pour résoudre l' équation de la chaleur . Une version discrète de la série de Fourier peut être utilisée dans des applications d' échantillonnage où la valeur de la fonction n'est connue qu'en un nombre fini de points également espacés. Dans ce cas, la série de Fourier est finie et sa valeur est égale aux valeurs échantillonnées en tous points. L'ensemble de coefficients est connu sous le nom de transformée de Fourier discrète (DFT) de la séquence d'échantillons donnée. Le DFT est l'un des outils clés du traitement numérique du signal , domaine dont les applications incluent le radar , l'encodage de la parole , la compression d'images . Le format d' image JPEG est une application de la transformée en cosinus discrète étroitement liée .

La transformée de Fourier rapide est un algorithme permettant de calculer rapidement la transformée de Fourier discrète. Il est utilisé non seulement pour calculer les coefficients de Fourier mais, en utilisant le théorème de convolution , également pour calculer la convolution de deux séquences finies. Ils sont à leur tour appliqués dans des filtres numériques et comme algorithme de multiplication rapide pour les polynômes et les grands entiers ( algorithme de Schönhage-Strassen ).

Géométrie différentielle

L'espace tangent à la 2-sphère en un point est le plan infini touchant la sphère en ce point.

Le plan tangent à une surface en un point est naturellement un espace vectoriel dont l'origine est identifiée au point de contact. Le plan tangent est la meilleure approximation linéaire , ou linéarisation , d'une surface en un point. Même dans un espace euclidien tridimensionnel, il n'y a généralement aucun moyen naturel de prescrire une base du plan tangent, et il est donc conçu comme un espace vectoriel abstrait plutôt qu'un espace de coordonnées réel. L' espace tangent est la généralisation aux variétés différentiables de dimension supérieure .

Les variétés riemanniennes sont des variétés dont les espaces tangents sont dotés d'un produit scalaire approprié . Dérivé de celui-ci, le tenseur de courbure de Riemann code toutes les courbures d'une variété dans un seul objet, ce qui trouve des applications en relativité générale , par exemple, où le tenseur de courbure d'Einstein décrit la matière et le contenu énergétique de l' espace-temps . L'espace tangent d'un groupe de Lie peut être donné naturellement la structure d'une algèbre de Lie et peut être utilisé pour classer les groupes de Lie compacts .

Généralisations

Faisceaux de vecteurs

Une bande de Möbius. Localement, cela ressemble à U × R .

Un fibré vectoriel est une famille d'espaces vectoriels paramétrés continûment par un espace topologique X . Plus précisément, un fibré vectoriel sur X est un espace topologique E muni d'une application continue

: EX

tel que pour tout x dans X , la fibre π −1 ( x ) est un espace vectoriel. Le cas dim V = 1 est appelé fibré de droites . Pour tout espace vectoriel V , la projection X × VX fait du produit X × V un fibré vectoriel « trivial » . Les fibrés vectoriels sur X doivent être localement un produit de X et d'un certain espace vectoriel (fixe) V : pour tout x dans X , il existe un voisinage U de x tel que la restriction de π à π −1 ( U ) est isomorphe au fibré trivial U × VU . Malgré leur caractère localement trivial, les fibrés vectoriels peuvent (selon la forme de l'espace sous-jacent X ) être « tordu » dans le grand (c'est-à-dire que le fibré n'a pas besoin d'être (globalement isomorphe) au fibré trivial X × V ). Par exemple, la bande de Möbius peut être vue comme un faisceau de lignes sur le cercle S 1 (en identifiant les intervalles ouverts avec la ligne réelle ). Il est cependant différent du cylindre S 1 × R , car ce dernier est orientable alors que le premier ne l'est pas.

Les propriétés de certains faisceaux vectoriels fournissent des informations sur l'espace topologique sous-jacent. Par exemple, le fibré tangent est constitué de l'ensemble des espaces tangents paramétrés par les points d'une variété différentiable. Le fibré tangent du cercle S 1 est globalement isomorphe à S 1 × R , puisqu'il existe un champ de vecteurs global non nul sur S 1 . En revanche, par le théorème de la boule poilue , il n'y a pas de champ de vecteurs (tangent) sur la 2-sphère S 2 qui est partout non nulle. La K-théorie étudie les classes d'isomorphisme de tous les fibrés vectoriels sur un espace topologique. En plus d'approfondir la compréhension topologique et géométrique, elle a des conséquences purement algébriques, telles que la classification des algèbres de division réelle de dimension finie : R , C , les quaternions H et les octonions O .

Le fibré cotangent d'une variété différentiable est constitué, en tout point de la variété, du dual de l'espace tangent, l' espace cotangent . Les sections de ce paquet sont appelées formes uniques différentielles .

Modules

Les modules sont aux anneaux ce que les espaces vectoriels sont aux champs : les mêmes axiomes, appliqués à un anneau R au lieu d'un champ F , donnent des modules. La théorie des modules, comparée à celle des espaces vectoriels, est compliquée par la présence d'éléments annulaires qui n'ont pas d' inverses multiplicatifs . Par exemple, les modules n'ont pas besoin d'avoir des bases, comme le montre le module Z (c'est-à-dire le groupe abélien ) Z /2 Z ; les modules qui le font (y compris tous les espaces vectoriels) sont appelés modules libres . Néanmoins, un espace vectoriel peut être défini de manière compacte comme un module sur un anneau qui est un champ , les éléments étant appelés vecteurs. Certains auteurs utilisent le terme espace vectoriel pour désigner des modules sur un anneau de division . L'interprétation algébro-géométrique des anneaux commutatifs via leur spectre permet le développement de concepts tels que les modules localement libres , pendant algébrique des fibrés vectoriels.

Espaces affines et projectifs

Un plan affine (bleu clair) dans R 3 . C'est un sous-espace à deux dimensions décalé d'un vecteur x (rouge).

En gros, les espaces affines sont des espaces vectoriels dont les origines ne sont pas précisées. Plus précisément, un espace affine est un ensemble avec une action d' espace vectoriel transitif libre . En particulier, un espace vectoriel est un espace affine sur lui-même, par l'application

V × VV , ( v , a ) a + v .

Si W est un espace vectoriel, alors un sous-espace affine est un sous-ensemble de W obtenu en traduisant un sous-espace linéaire V par un vecteur fixe xW ; cet espace est désigné par x + V (elle est une classe d' équivalence de V dans W ) et se compose de tous les vecteurs de la forme x + v pour vV . Un exemple important est l'espace des solutions d'un système d'équations linéaires inhomogènes

A x = b

en généralisant le cas homogène ci - dessus , qui peut être trouvé en fixant b = 0 dans cette équation. L'espace des solutions est le sous-espace affine x + Vx est une solution particulière de l'équation, et V est l'espace des solutions de l'équation homogène (l' espace nul de A ).

L'ensemble des sous-espaces à une dimension d'un espace vectoriel fixe de dimension finie V est appelé espace projectif ; il peut être utilisé pour formaliser l'idée de droites parallèles se coupant à l'infini. Les grassmanniens et les variétés à drapeau généralisent cela en paramétrant respectivement les sous-espaces linéaires de dimension fixe k et les drapeaux de sous-espaces.

Voir également

Remarques

Citations

Les références

Algèbre

Une analyse

Références historiques

Autres références

Liens externes