Liste des inégalités triangulaires - List of triangle inequalities

En géométrie , les inégalités triangulaires sont des inégalités impliquant les paramètres des triangles , qui sont valables pour chaque triangle ou pour chaque triangle remplissant certaines conditions. Les inégalités donnent un ordre de deux valeurs différentes : elles sont de la forme "inférieure à", "inférieure ou égale à", "supérieure à", ou "supérieure ou égale à". Les paramètres d'une inégalité triangulaire peuvent être les longueurs des côtés, le semi - périmètre , les mesures d' angles , les valeurs des fonctions trigonométriques de ces angles, l' aire du triangle, les médianes des côtés, les altitudes , les longueurs des bissectrices des angles internes de chaque angle au côté opposé, les bissectrices perpendiculaires des côtés, la distance d'un point arbitraire à un autre point, l' inrayus , les exradii , le circumradius , et/ou d'autres quantités.

Sauf indication contraire, cet article traite des triangles dans le plan euclidien .

Paramètres principaux et notation

Les paramètres apparaissant le plus souvent dans les inégalités triangulaires sont :

• les longueurs de côté a , b et c ;
• le demi - périmètre s = ( a  +  b  +  c ) / 2 (la moitié du périmètre p );
• l' angle mesure A , B et C des angles des sommets opposés aux côtés respectifs a , b et c (les sommets étant désignés par les mêmes symboles que leurs mesures d'angle);
• les valeurs des fonctions trigonométriques des angles ;
• l' aire T du triangle ;
• les médianes m _a , m _b et m _c des côtés (chacune étant la longueur du segment de droite depuis le milieu du côté jusqu'au sommet opposé);
• les altitudes h _a , h _b et h _c (chacune étant la longueur d'un segment perpendiculaire à un côté et allant de ce côté (ou éventuellement l'extension de ce côté) au sommet opposé);
• les longueurs des bissectrices d'angle interne t _a , t _b et t _c (chacune étant un segment d'un sommet au côté opposé et coupant l'angle du sommet);
• les médiatrices p _a , p _b et p _c des côtés (chacune étant la longueur d'un segment perpendiculaire à un côté en son milieu et atteignant l'un des autres côtés) ;
• les longueurs de segments de droite ayant une extrémité en un point arbitraire P du plan (par exemple, la longueur du segment de P au sommet A est notée PA ou AP ) ;
• le inradius r (rayon du cercle inscrit dans le triangle, tangente à trois côtés), les exradii r _a , r _b , et R _c (chacun étant le rayon d'une tangente excircle à l' autre a , b , ou c , respectivement , et tangente aux prolongements des deux autres côtés), et le cercle circonscrit R (rayon du cercle circonscrit autour du triangle et passant par les trois sommets).

Longueurs latérales

L' inégalité triangulaire de base est

ou équivalent

En outre,

où la valeur du côté droit est la borne la plus basse possible, approchée asymptotiquement comme certaines classes de triangles s'approchent du cas dégénéré de l'aire zéro. L'inégalité de gauche, valable pour tout a, b, c positif , est l'inégalité de Nesbitt .

Nous avons

${\displaystyle 3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\ frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.}$

${\displaystyle abc\geq (a+bc)(a-b+c)(-a+b+c).\quad }$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}} }<{\frac {1}{2}}.\quad }$

${\displaystyle {\sqrt {a+bc}}+{\sqrt {a-b+c}}+{\sqrt {-a+b+c}}\leq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}$

${\displaystyle a^{2}b(ab)+b^{2}c(bc)+c^{2}a(ca)\geq 0.}$

Si l'angle C est obtus (supérieur à 90°) alors

${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2};}$

si C est aigu (inférieur à 90°) alors

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}.}$

Le cas intermédiaire d'égalité lorsque C est un angle droit est le théorème de Pythagore .

En général,

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},}$

avec l'égalité approchée à la limite seulement lorsque l'angle au sommet d'un triangle isocèle approche 180°.

Si le centre de gravité du triangle est à l'intérieur du cercle inscrit du triangle , alors

${\displaystyle a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.}$

Bien que toutes les inégalités ci-dessus soient vraies car a , b et c doivent suivre l'inégalité triangulaire de base selon laquelle le côté le plus long est inférieur à la moitié du périmètre, les relations suivantes sont valables pour tous les a , b et c positifs :

${\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}},}$

chacun ayant une égalité seulement lorsque a = b = c . Cela dit que dans le cas non équilatéral, la moyenne harmonique des côtés est inférieure à leur moyenne géométrique qui à son tour est inférieure à leur moyenne arithmétique .

Angles

${\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.}$

${\displaystyle (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.}$

${\displaystyle \cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{ 2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}$

pour le demi-périmètre s , avec égalité seulement dans le cas équilatéral.

${\displaystyle a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.}$

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.}$

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq \left({\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{3}}\right)^{3}\leq \left (\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={ \frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}$

${\displaystyle \sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi }$

où le nombre d' or . ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1 }{8}}.}$

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{ 2}}\geq 1.}$

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.}$

${\displaystyle \sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.}$

Pour le circumradius R et le inradius r, nous avons

${\displaystyle \max \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\ leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2}r}{R}}}}\right),}$

avec égalité si et seulement si le triangle est isocèle d'angle au sommet supérieur ou égal à 60° ; et

${\displaystyle \min \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\ geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2}r}{R}}}}\right),}$

avec égalité si et seulement si le triangle est isocèle d'angle au sommet inférieur ou égal à 60°.

Nous avons aussi

${\displaystyle {\frac {r}{R}}-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\leq \cos A\leq {\frac {r}{R}}+ {\sqrt {1-{\frac {2}r}{R}}}}}$

et de même pour les angles B, C , avec égalité dans la première partie si le triangle est isocèle et l'angle au sommet est d'au moins 60° et égalité dans la deuxième partie si et seulement si le triangle est isocèle avec un angle au sommet non supérieur à 60° .

En outre, les deux mesures d'angles A et B côtés opposés d' un et b respectivement sont liées selon la

${\displaystyle A>B\quad {\text{si et seulement si}}\quad a>b,}$

qui est lié au théorème du triangle isocèle et à sa réciproque, qui stipulent que A = B si et seulement si a = b .

D'après le théorème de l'angle extérieur d' Euclide , tout angle extérieur d'un triangle est supérieur à l'un ou l'autre des angles intérieurs aux sommets opposés :

${\displaystyle 180^{\circ }-A>\max(B,C).}$

Si un point D est à l'intérieur du triangle ABC , alors

${\displaystyle \angle BDC>\angle A.}$

Pour un triangle aigu, on a

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

avec l'inégalité inverse pour un triangle obtus.

De plus, pour les triangles non obtus on a

${\displaystyle {\frac {2R+r}{R}}\leq {\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {AC}{2}}\right)+\cos \left ({\frac {B}{2}}\right)\right)}$

avec égalité si et seulement si c'est un triangle rectangle avec hypoténuse AC.

Zone

L'inégalité de Weitzenböck est, en termes d'aire T ,

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,}$

avec égalité seulement dans le cas équilatéral. C'est un corollaire de l' inégalité de Hadwiger-Finsler , qui est

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.}$

Aussi,

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$

et

${\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc} }}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{ 3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

A partir de la borne supérieure la plus à droite de T , en utilisant l' inégalité moyenne arithmétique-géométrique , on obtient l' inégalité isopérimétrique pour les triangles :

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2 }}$

pour le demi-périmètre s . Ceci est parfois exprimé en termes de périmètre p comme

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

avec égalité pour le triangle équilatéral . Ceci est renforcé par

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

L'inégalité de Bonnesen renforce également l'inégalité isopérimétrique :

${\displaystyle \pi ^{2}(Rr)^{2}\leq (a+b+c)^{2}-4\pi T.}$

Nous avons aussi

${\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$

avec égalité seulement dans le cas équilatéral ;

${\displaystyle 38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}$

pour le demi-périmètre s ; et

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.}$

L'inégalité d' Ono pour les triangles aigus (ceux dont tous les angles sont inférieurs à 90°) est

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2} (a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}$

L'aire du triangle peut être comparée à l'aire du cercle inscrit :

${\displaystyle {\frac {\text{Zone du cercle inscrit}}{\text{Zone du triangle}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

avec égalité seulement pour le triangle équilatéral.

Si un triangle intérieur est inscrit dans un triangle de référence de sorte que les sommets du triangle intérieur divisent le périmètre du triangle de référence en segments de longueur égale, le rapport de leurs aires est limité par

${\displaystyle {\frac {\text{Zone du triangle inscrit}}{\text{Zone du triangle de référence}}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Laissez les bissectrices intérieures de A , B et C rencontrer les côtés opposés à D , E et F . Puis

${\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Aire du triangle}}\,DEF }{{\text{Aire du triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Une ligne passant par la médiane d'un triangle divise la zone de telle sorte que le rapport de la plus petite sous-zone à la zone du triangle d'origine soit d'au moins 4/9.

Médianes et centroïde

Les trois médianes d'un triangle relient chacune un sommet au milieu du côté opposé, et la somme de leurs longueurs satisfait ${\displaystyle m_{a},\,m_{b},\,m_{c}}$

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}$

De plus,

${\displaystyle \left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2} +\gauche({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}$

avec égalité seulement dans le cas équilatéral, et pour le rayon r ,

${\displaystyle {\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\ geq r.}$

Si nous désignons en outre les longueurs des médianes étendues à leurs intersections avec le cercle circonscrit comme M _a , M _b , et M _c , alors

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c }}}\geq 4.}$

Le centre de gravité G est l'intersection des médianes. Soit AG , BG et CG rencontrer le cercle circonscrit en U , V et W respectivement. Puis les deux

${\displaystyle GU+GV+GW\geq AG+BG+CG}$

et

${\displaystyle GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;}$

en outre,

${\displaystyle \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.}$

Pour un triangle aigu, on a

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

en termes de circumradius R , tandis que l'inégalité opposée est valable pour un triangle obtus.

En notant IA, IB, IC les distances de l' incenter aux sommets, ce qui suit est vrai :

${\displaystyle {\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {3}{4}}.}$

Les trois médianes d'un triangle peuvent former les côtés d'un autre triangle :

${\displaystyle m_{a}<m_{b}+m_{c},\quad m_{b}<m_{c}+m_{a},\quad m_{c}<m_{a}+m_{b }.}$

Par ailleurs,

${\displaystyle \max\{bm_{c}+cm_{b},\quad cm_{a}+am_{c},\quad am_{b}+bm_{a}\}\leq {\frac {a^ {2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.}$

Altitudes

Les courbes h _un , etc. chaque connexion d' un sommet sur le côté opposé et sont perpendiculaires à ce côté. Ils satisfont à la fois

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

et

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^ {2}+c^{2}).}$

De plus, si alors ${\style d'affichage a\geq b\geq c,}$

${\displaystyle a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.}$

Nous avons aussi

${\displaystyle {\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c ^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({ \frac {3}{8}}\droit)^{3}.}$

Pour les bissectrices d'angle interne t _a , t _b , t _c des sommets A, B, C et du centre circonscrit R et du centre r , nous avons

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c }}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}$

Les réciproques des altitudes d'un triangle quelconque peuvent elles-mêmes former un triangle :

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}},\quad {\frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{ c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.}$

Bissectrices d'angle interne et incenter

Les bissectrices d'angle interne sont des segments à l'intérieur du triangle allant d'un sommet au côté opposé et coupant l'angle du sommet en deux angles égaux. Les bissectrices t _a etc. satisfont

${\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {3}{2}}(a+b+c)}$

en termes de côtés, et

${\displaystyle h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}}$

en termes d'altitudes et de médianes, ainsi que pour t _b et t _c . Plus loin,

${\displaystyle {\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\ sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}$

en termes de médianes, et

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c }}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}}$

en termes d'altitudes, inrayus r et circumradius R .

Soit T _a , T _b et T _c les longueurs des bissectrices étendues au cercle circonscrit. Puis

${\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,}$

avec égalité seulement dans le cas équilatéral, et

${\style d'affichage T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r}$

pour circumradius R et inradius r , encore une fois avec égalité seulement dans le cas équilatéral. En outre,.

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).}$

Pour incenter I (l'intersection des bissectrices de l'angle interne),

${\displaystyle 6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.}$

Pour les milieux L, M, N des côtés,

${\displaystyle IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).}$

Pour le centre I , le centre de gravité G , le centre circonscrit O , le centre à neuf points N et l' orthocentre H , nous avons pour les triangles non équilatéraux les inégalités de distance

${\style d'affichage IG<HG,}$

${\displaystyle IH<HG,}$

${\displaystyle IG<IO,}$

et

${\displaystyle IN<{\frac {1}{2}}IO;}$

et on a l'inégalité angulaire

${\displaystyle \angle IOH<{\frac {\pi }{6}}.}$

En outre,

${\displaystyle IG<{\frac {1}{3}}v,}$

où v est la médiane la plus longue.

Trois triangles avec un sommet au centre, OIH , GIH et OGI , sont obtus :

${\displaystyle \angle OIH}$> > 90° , > 90°.${\displaystyle \angle GIH}$${\displaystyle \angle OGI}$

Puisque ces triangles ont les angles obtus indiqués, nous avons

${\displaystyle OI^{2}+IH^{2}<OH^{2},\quad GI^{2}+IH^{2}<GH^{2},\quad OG^{2}+GI ^{2}<OI^{2},}$

et en fait le second de ceux-ci équivaut à un résultat plus fort que le premier, montré par Euler :

${\displaystyle OI^{2}<OH^{2}-2\cdot IH^{2}<2\cdot OI^{2}.}$

Le plus grand des deux angles d'un triangle a la bissectrice intérieure la plus courte :

${\displaystyle {\text{If}}\quad A>B\quad {\text{then}}\quad t_{a}<t_{b}.}$

Bissectrices perpendiculaires des côtés

Ces inégalités concernent les longueurs p _a etc. des portions intérieures du triangle des bissectrices perpendiculaires des côtés du triangle. En désignant les côtés pour que nous ayons ${\style d'affichage a\geq b\geq c,}$

${\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}$

et

${\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}$

Segments à partir d'un point arbitraire

Point intérieur

Considérons n'importe quel point P à l'intérieur du triangle, avec les sommets du triangle notés A , B , et C et avec les longueurs des segments de droite notées PA etc. Nous avons

${\style d'affichage 2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA>PA+PB+PC,}$

et plus fortement que la seconde de ces inégalités est : Si est le côté le plus court du triangle, alors ${\style d'affichage AB}$

${\displaystyle PA+PB+PC\leq AC+BC.}$

On a aussi l'inégalité de Ptolémée

${\displaystyle PA\cdot BC+PB\cdot CA>PC\cdot AB}$

pour le point intérieur P et de même pour les permutations cycliques des sommets.

Si nous traçons des perpendiculaires du point intérieur P aux côtés du triangle, coupant les côtés en D , E , et F , nous avons

${\displaystyle PA\cdot PB\cdot PC\geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).}$

De plus, l' inégalité d'Erdős-Mordell indique que

${\style d'affichage {\frac {PA+PB+PC}{PD+PE+PF}}\geq 2}$

avec égalité dans le cas équilatéral. Plus fortement, l'inégalité de Barrow stipule que si les bissectrices intérieures des angles au point intérieur P (à savoir, de APB , BPC et ∠ CPA ) coupent les côtés du triangle en U , V , et W , alors

${\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PU+PV+PW}}\geq 2.}$

Aussi plus forte que l'inégalité d'Erdős-Mordell est la suivante : Soit D, E, F les projections orthogonales de P sur BC, CA, AB respectivement, et H, K, L les projections orthogonales de P sur les tangentes aux triangles cercle circonscrit en A, B, C respectivement. Puis

${\style d'affichage PH+PK+PL\geq 2(PD+PE+PF).}$

Avec des projections orthogonales H, K, L de P sur les tangentes au cercle circonscrit du triangle en A, B, C respectivement, nous avons

${\displaystyle {\frac {PH}{a^{2}}}+{\frac {PK}{b^{2}}}+{\frac {PL}{c^{2}}}\geq { \frac {1}{R}}}$

où R est le cercle circonscrit.

De nouveau avec les distances PD, PE, PF du point intérieur P aux côtés on a ces trois inégalités :

${\displaystyle {\frac {PA^{2}}{PE\cdot PF}}+{\frac {PB^{2}}{PF\cdot PD}}+{\frac {PC^{2}}{ PD\cdot PE}}\geq 12;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{\sqrt {PE\cdot PF}}}+{\frac {PB}{\sqrt {PF\cdot PD}}}+{\frac {PC}{\sqrt {PD \cdot PE}}}\geq 6;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{PE+PF}}+{\frac {PB}{PF+PD}}+{\frac {PC}{PD+PE}}\geq 3.}$

Pour le point intérieur P de distances PA, PB, PC des sommets et d'aire triangulaire T ,

${\style d'affichage (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC\geq 8T}$

et

${\displaystyle {\frac {PA}{a}}+{\frac {PB}{b}}+{\frac {PC}{c}}\geq {\sqrt {3}}.}$

Pour un point intérieur P , le centre de gravité G , les milieux L, M, N des côtés, et le demi-périmètre s ,

${\style d'affichage 2(PL+PM+PN)\leq 3PG+PA+PB+PC\leq s+2(PL+PM+PN).}$

De plus, pour les nombres positifs k ₁ , k ₂ , k ₃ et t avec t inférieur ou égal à 1 :

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2^{t }{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac { (PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right),}$

tandis que pour t > 1 on a

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^ {t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right).}$

Point intérieur ou extérieur

Il existe diverses inégalités pour un point quelconque intérieur ou extérieur du plan en fonction du rayon r du cercle inscrit du triangle. Par exemple,

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 6r.}$

D'autres incluent :

${\displaystyle PA^{3}+PB^{3}+PC^{3}+k\cdot (PA\cdot PB\cdot PC)\geq 8(k+3)r^{3}}$

pour k = 0, 1, ..., 6;

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 16r^{2};}$

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+2(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 20r^{2};}$

et

${\displaystyle PA^{4}+PB^{4}+PC^{4}+k(PA\cdot PB\cdot PC)^{4/3}\geq 16(k+3)r^{4} }$

pour k = 0, 1, ..., 9.

De plus, pour le périmètre R ,

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{3/2}+(PB\cdot PC)^{3/2}+(PC\cdot PA)^{3/2}\geq 12Rr^{2};}$

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 8(R+r)Rr^{2};}$

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 48r^{4};}$

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 6(7R-6r)r^{3}.}$

Soit ABC un triangle, G son centre de gravité et D , E et F les milieux de BC , CA et AB , respectivement. Pour tout point P du plan ABC :

${\style d'affichage PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$

Inradius, exradii et circumradius

Inradius et circumradius

L' inégalité d'Euler pour le circumradius R et le inradius r indique que

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq 2,}$

avec égalité seulement dans le cas équilatéral .

Une version plus forte est

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}$

Par comparaison,

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},}$

où le côté droit peut être positif ou négatif.

Deux autres raffinements de l'inégalité d'Euler sont

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {( a+b)}{3c}}\geq 2}$

et

${\displaystyle \left({\frac {R}{r}}\right)^{3}\geq \left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\ droite)\gauche({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\droite)\gauche({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{ c}}\droit)\geq 8.}$

Une autre inégalité symétrique est

${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c} }\right)^{2}+\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\leq {\frac {4}{9}}\left({\frac {R}{r}}-2\right ).}$

De plus,

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}};}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 8s(R^{2}-r^{2})}$

en termes de semi-périmètre s ;

${\displaystyle r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T}$

en fonction de l'aire T ;

${\displaystyle s{\sqrt {3}}\leq r+4R}$

et

${\displaystyle s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}}$

en termes de semi-périmètre s ; et

${\displaystyle {\begin{aligned}&2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\leq s^{2}\ \&\quad \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\end{aligned}}}$

également en termes de semi-périmètre. Ici l'expression où d est la distance entre l'incenter et le circumcenter. Dans cette dernière double inégalité, la première partie est égale si et seulement si le triangle est isocèle avec un angle au sommet d'au moins 60°, et la dernière partie est égale si et seulement si le triangle est isocèle avec un angle au sommet de au plus 60°. Ainsi, les deux sont des égalités si et seulement si le triangle est équilatéral. ${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-2Rr}}=d}$

Nous avons aussi pour tout camp un

${\displaystyle (Rd)^{2}-r^{2}\leq 4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R+d)^{2}-r^{2} }{(R+d)^{4}}}\right)\leq {\frac {a^{2}}{4}}\leq Q\leq (R+d)^{2}-r^{ 2},}$

où si le centre circonscrit est sur ou à l'extérieur du cercle inscrit et si le centre circonscrit est à l'intérieur du cercle inscrit. Le centre circonscrit est à l'intérieur du cercle inscrit si et seulement si ${\displaystyle Q=R^{2}}$${\displaystyle Q=4R^{2}r^{2}\left({\frac {(Rd)^{2}-r^{2}}{(Rd)^{4}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {R}{r}}<{\sqrt {2}}+1.}$

Plus loin,

${\displaystyle {\frac {9r}{2T}}\leq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq { \frac {9R}{4T}}.}$

L'inégalité de Blundon indique que

${\displaystyle s\leq (3{\sqrt {3}}-4)r+2R.}$

On a aussi, pour tout triangle aigu,

${\style d'affichage s>2R+r.}$

Pour le centre du cercle inscrit I , laissez AI , BI et CI s'étendre au-delà de I pour couper le cercle circonscrit en D , E et F respectivement. Puis

${\displaystyle {\frac {AI}{ID}}+{\frac {BI}{IE}}+{\frac {CI}{IF}}\geq 3.}$

En termes d'angles au sommet, nous avons

${\displaystyle \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C\leq \left({\frac {r}{R{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Désigner comme les tanradii du triangle. Puis ${\style d'affichage R_{A},R_{B},R_{C}}$

${\displaystyle {\frac {4}{R}}\leq {\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{ R_{C}}}\leq {\frac {2}{r}}}$

avec égalité seulement dans le cas équilatéral, et

${\displaystyle {\frac {9}{2}}r\leq R_{A}+R_{B}+R_{C}\leq 2R+{\frac {1}{2}}r}$

avec égalité seulement dans le cas équilatéral.

Circonférence et autres longueurs

Pour le circumradius R on a

${\displaystyle 18R^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc{\sqrt {3}}}$

et

${\displaystyle a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}\leq 3^{7/4}R^{3/2}.}$

Nous avons aussi

${\displaystyle a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R,}$

${\displaystyle 9R^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},}$

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R}$

en ce qui concerne les altitudes,

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leq {\frac {27}{4}}R^{2}}$

en termes de médianes, et

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}+{\frac {bc}{b+c}}+{\frac {ca}{c+a}}\geq {\frac {2}T}{ R}}}$

en termes de zone.

De plus, pour le centre circonscrit O , les lignes AO , BO et CO coupent les côtés opposés BC , CA et AB en U , V et W respectivement. Puis

${\displaystyle OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.}$

Pour un triangle aigu, la distance entre le centre circonscrit O et l'orthocentre H satisfait

${\style d'affichage OH<R,}$

avec l'inégalité opposée pour un triangle obtus.

Le cercle circonscrit est au moins égal au double de la distance entre les premier et deuxième points Brocard B ₁ et B ₂ :

${\displaystyle R\geq 2B_{1}B_{2}.}$

Inradius, exradii et autres longueurs

Pour le rayon de rayonnement r on a

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2r} },}$

${\displaystyle 9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}}$

en termes d'altitude, et

${\displaystyle {\sqrt {r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}}}\geq 6r}$

en fonction des rayons des excircles. Nous avons en plus

${\displaystyle {\sqrt {s}}({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})\leq {\sqrt {2}}(r_{a}+ r_{b}+r_{c})}$

et

${\displaystyle {\frac {abc}{r}}\geq {\frac {a^{3}}{r_{a}}}+{\frac {b^{3}}{r_{b}}} +{\frac {c^{3}}{r_{c}}}.}$

Les exradii et les médianes sont liés par

${\displaystyle {\frac {r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}}+{\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c} }}+{\frac {r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}}\geq 3.}$

De plus, pour un triangle aigu, la distance entre le centre du cercle inscrit I et l'orthocentre H satisfait

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

avec l'inégalité inverse pour un triangle obtus.

De plus, un triangle aigu satisfait

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

en termes de circumradius R , encore une fois avec l'inégalité inverse pour un triangle obtus.

Si les bissectrices internes des angles A , B , C rencontrent les côtés opposés en U , V , W alors

${\displaystyle {\frac {1}{4}}<{\frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AU\cdot BV\cdot CW}}\leq {\frac {8}{27}}.}$

Si les bissectrices de l'angle interne passant par le centre I s'étendent pour rencontrer le cercle circonscrit en X , Y et Z alors

${\displaystyle {\frac {1}{IX}}+{\frac {1}{IY}}+{\frac {1}{IZ}}\geq {\frac {3}{R}}}$

pour le périmètre R , et

${\style d'affichage 0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC)\leq 2(R-2r).}$

Si le cercle inscrit est tangent aux côtés en D , E , F , alors

${\displaystyle EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leq {\frac {s^{2}}{3}}}$

pour le demi-périmètre s .

Chiffres inscrits

Hexagone inscrit

Si un hexagone tangentiel est formé en traçant trois segments tangents au cercle inscrit d'un triangle et parallèles à un côté, de sorte que l'hexagone soit inscrit dans le triangle avec ses trois autres côtés coïncidant avec des parties des côtés du triangle, alors

${\displaystyle {\text{Périmètre de l'hexagone}}\leq {\frac {2}{3}}({\text{Périmètre du triangle}}).}$

Triangle inscrit

Si trois points D, E, F sur les côtés respectifs AB, BC et CA d'un triangle de référence ABC sont les sommets d'un triangle inscrit, qui divise ainsi le triangle de référence en quatre triangles, alors l'aire du triangle inscrit est plus grande que l'aire d'au moins un des autres triangles intérieurs, à moins que les sommets du triangle inscrit soient au milieu des côtés du triangle de référence (auquel cas le triangle inscrit est le triangle médian et les quatre triangles intérieurs ont des aires égales ):

${\displaystyle {\text{Zone(DEF)}}\geq \min({\text{Zone(BED), Area(CFE), Area(ADF)}}).}$

Carrés inscrits

Un triangle aigu a trois carrés inscrits , chacun avec un côté coïncidant avec une partie d'un côté du triangle et avec les deux autres sommets du carré sur les deux autres côtés du triangle. (Un triangle rectangle n'a que deux carrés distincts inscrits.) Si l'un de ces carrés a une longueur de côté x _a et un autre a une longueur de côté x _b avec x _a < x _b , alors

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2}{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

De plus, pour tout carré inscrit dans tout triangle on a

${\displaystyle {\frac {\text{Aire du triangle}}{\text{Aire du carré inscrit}}}\geq 2.}$

ligne d'Euler

La droite d'Euler d' un triangle passe par son orthocentre , son centre circonscrit et son centre de gravité , mais ne passe par son centre que si le triangle est isocèle . Pour tous les triangles non isocèles, la distance d de l'incenter à la droite d'Euler satisfait les inégalités suivantes en termes de la plus longue médiane du triangle v , son plus grand côté u , et son demi-périmètre s :

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.}$

Pour tous ces ratios, la borne supérieure de 1/3 est la plus serrée possible.

Triangle rectangle

Dans les triangles rectangles les jambes a et b et l' hypoténuse c obéissent à ce qui suit, avec égalité seulement dans le cas isocèle :

${\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}.}$

En termes d'inradius, l'hypoténuse obéit

${\displaystyle 2r\leq c({\sqrt {2}}-1),}$

et en termes d'altitude de l'hypoténuse les jambes obéissent

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b).}$

Triangle isocèle

Si les deux côtés égaux d'un triangle isocèle ont une longueur a et l'autre côté a une longueur c , alors la bissectrice de l'angle interne t de l'un des deux sommets d'angle égal satisfait

${\displaystyle {\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.}$

Triangle équilatéral

Pour tout point P dans le plan d'un triangle équilatéral ABC , les distances de P aux sommets, PA , PB , et PC , sont telles que, à moins que P ne soit sur le cercle circonscrit du triangle , ils obéissent à l'inégalité triangulaire de base et peuvent donc eux-mêmes former les côtés d'un triangle :

Cependant, lorsque P est sur le cercle circonscrit, la somme des distances de P aux deux sommets les plus proches est exactement égale à la distance au sommet le plus éloigné.

Un triangle est équilatéral si et seulement si, pour chaque point P du plan, avec des distances PD , PE , et PF aux côtés du triangle et des distances PA , PB et PC à ses sommets,

Deux triangles

L'inégalité de Pedoe pour deux triangles, l'un avec les côtés a , b et c et l'aire T , et l'autre avec les côtés d , e , et f et l'aire S , indique que

${\displaystyle d^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+e^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2 })+f^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16TS,}$

avec égalité si et seulement si les deux triangles sont semblables .

Le théorème de la charnière ou le théorème de la bouche ouverte stipule que si deux côtés d'un triangle sont congrus aux deux côtés d'un autre triangle, et que l'angle inclus du premier est plus grand que l'angle inclus du second, alors le troisième côté du premier triangle est plus long que le troisième côté du deuxième triangle. C'est-à-dire dans les triangles ABC et DEF de côtés a , b , c et d , e , f respectivement (avec un opposé A etc.), si a = d et b = e et l'angle C > l'angle F , alors

${\style d'affichage c>f.}$

L'inverse est également vrai : si c > f , alors C > F .

Les angles dans deux triangles ABC et DEF sont liés en fonction de la fonction cotangente selon

${\displaystyle \cot A(\cot E+\cot F)+\cot B(\cot F+\cot D)+\cot C(\cot D+\cot E)\geq 2.}$

Triangles non euclidiens

Dans un triangle à la surface d'une sphère , ainsi qu'en géométrie elliptique ,

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C>180^{\circ }.}$

Cette inégalité est inversée pour les triangles hyperboliques .

Voir également

• Liste des inégalités
• Liste des sujets triangulaires
• Quadrilatère § Inégalités
• Quadrilatère § Propriétés maximales et minimales

Les références