Division longue - Long division

En arithmétique , la division longue est un algorithme de division standard adapté à la division de chiffres arabes à plusieurs chiffres ( notation positionnelle ) qui est assez simple pour être exécuté à la main. Il décompose un problème de division en une série d'étapes plus faciles.

Comme dans tous les problèmes de division, un nombre, appelé le dividende , est divisé par un autre, appelé le diviseur , produisant un résultat appelé le quotient . Il permet d'effectuer des calculs impliquant des nombres arbitrairement grands en suivant une série d'étapes simples. La forme abrégée de la division longue est appelée division courte , qui est presque toujours utilisée à la place de la division longue lorsque le diviseur n'a qu'un seul chiffre. Le fractionnement (également connu sous le nom de méthode des quotients partiels ou méthode du pendu) est une forme moins mécanique de division longue très répandue au Royaume-Uni qui contribue à une compréhension plus holistique du processus de division.

Alors que des algorithmes connexes existent depuis le 12ème siècle après JC, l'algorithme spécifique d'usage moderne a été introduit par Henry Briggs c. 1600 après JC.

Éducation

Les calculatrices et les ordinateurs bon marché sont devenus le moyen le plus courant de résoudre les problèmes de division, éliminant un exercice mathématique traditionnel et diminuant l'opportunité éducative de montrer comment le faire avec les techniques du papier et du crayon. (En interne, ces appareils utilisent l'un des nombreux algorithmes de division , les plus rapides parmi lesquels reposent sur des approximations et des multiplications pour accomplir les tâches). Aux États-Unis, la division longue a été particulièrement ciblée pour la désaccentuation, voire l'élimination du programme scolaire, par la réforme des mathématiques , bien que traditionnellement introduites en 4e ou 5e années.

Méthode

Dans les pays anglophones, division longue ne pas utiliser la barre de division/ ⟩ ou signe division ⟨÷⟩ symboles , mais construit à la place d' un tableau . Le diviseur est séparé du dividende par une parenthèse droite) ⟩ ou une barre verticale| ; le dividende est séparé du quotient par un vinculum (c'est-à-dire une barre supérieure ). La combinaison de ces deux symboles est parfois appelée symbole de division long ou crochet de division . Il s'est développé au XVIIIe siècle à partir d'une notation antérieure à une ligne séparant le dividende du quotient par une parenthèse gauche .

Le processus commence en divisant le chiffre le plus à gauche du dividende par le diviseur. Le quotient (arrondi à un entier inférieur) devient le premier chiffre du résultat et le reste est calculé (cette étape est notée comme une soustraction). Ce reste est reporté lorsque le processus est répété sur le chiffre suivant du dividende (noté comme 'ramenant' le chiffre suivant au reste). Lorsque tous les chiffres ont été traités et qu'il ne reste aucun reste, le processus est terminé.

Un exemple est montré ci-dessous, représentant la division de 500 par 4 (avec un résultat de 125).

     125      (Explanations)
   4)500
     4        ( 4 ×  1 =  4)
     10       ( 5 -  4 =  1)
      8       ( 4 ×  2 =  8)
      20      (10 -  8 =  2)
      20      ( 4 ×  5 = 20)
       0      (20 - 20 =  0)
Un exemple de division longue effectuée sans calculatrice.

Une répartition plus détaillée des étapes est la suivante :

  1. Trouvez la séquence de chiffres la plus courte à partir de l'extrémité gauche du dividende, 500, dans laquelle le diviseur 4 entre au moins une fois. Dans ce cas, il s'agit simplement du premier chiffre, 5. Le plus grand nombre par lequel le diviseur 4 peut être multiplié sans dépasser 5 est 1, donc le chiffre 1 est placé au-dessus du 5 pour commencer à construire le quotient.
  2. Ensuite, le 1 est multiplié par le diviseur 4, pour obtenir le plus grand nombre entier multiple du diviseur 4 sans dépasser le 5 (4 dans ce cas). Ce 4 est ensuite placé sous et soustrait du 5 pour obtenir le reste, 1, qui est placé sous le 4 sous le 5.
  3. Ensuite, le premier chiffre non encore utilisé du dividende, dans ce cas le premier chiffre 0 après le 5, est copié directement en dessous et à côté du reste 1, pour former le nombre 10.
  4. À ce stade, le processus est répété suffisamment de fois pour atteindre un point d'arrêt : le plus grand nombre par lequel le diviseur 4 peut être multiplié sans dépasser 10 est 2, donc 2 est écrit ci-dessus comme le deuxième chiffre du quotient le plus à gauche. Ce 2 est ensuite multiplié par le diviseur 4 pour obtenir 8, qui est le plus grand multiple de 4 qui ne dépasse pas 10 ; donc 8 est écrit en dessous de 10, et la soustraction 10 moins 8 est effectuée pour obtenir le reste 2, qui est placé en dessous du 8.
  5. Le chiffre suivant du dividende (le dernier 0 de 500) est copié directement en dessous de lui-même et à côté du reste 2 pour former 20. Ensuite, le plus grand nombre par lequel le diviseur 4 peut être multiplié sans dépasser 20, qui est 5, est placé ci-dessus comme troisième chiffre de quotient le plus à gauche. Ce 5 est multiplié par le diviseur 4 pour obtenir 20, qui est écrit en dessous et soustrait du 20 existant pour donner le reste 0, qui est ensuite écrit en dessous du second 20.
  6. À ce stade, puisqu'il n'y a plus de chiffres à retirer du dividende et que le dernier résultat de soustraction était 0, nous pouvons être assurés que le processus est terminé.

Si le dernier reste lorsque nous avons manqué de chiffres de dividende avait été autre que 0, il y aurait eu deux plans d'action possibles :

  1. Nous pourrions simplement nous arrêter là et dire que le dividende divisé par le diviseur est le quotient écrit en haut avec le reste écrit en bas, et écrire la réponse comme le quotient suivi d'une fraction qui est le reste divisé par le diviseur.
  2. Nous pourrions étendre le dividende en l'écrivant comme, disons, 500.000... et continuer le processus (en utilisant un point décimal dans le quotient directement au-dessus du point décimal dans le dividende), afin d'obtenir une réponse décimale, comme dans ce qui suit Exemple.
      31.75     
   4)127.00
     12         (12 ÷ 4 = 3)
      07        (0 remainder, bring down next figure)
       4        (7 ÷ 4 = 1 r 3)                                             
       3.0      (bring down 0 and the decimal point)
       2.8      (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2)
         20     (an additional zero is brought down)
         20     (5 × 4 = 20)
          0

Dans cet exemple, la partie décimale du résultat est calculée en poursuivant le processus au-delà du chiffre des unités, "en faisant baisser" les zéros comme étant la partie décimale du dividende.

Cet exemple illustre également qu'au début du processus, une étape qui produit un zéro peut être omise. Puisque le premier chiffre 1 est inférieur au diviseur 4, la première étape est plutôt effectuée sur les deux premiers chiffres 12. De même, si le diviseur était 13, on effectuerait la première étape sur 127 plutôt que 12 ou 1.

Procédure de base pour une longue division de n ÷ m

  1. Trouvez l'emplacement de tous les points décimaux dans le dividende n et le diviseur m .
  2. Si nécessaire, simplifiez le problème de la division longue en déplaçant les décimales du diviseur et du dividende du même nombre de décimales, vers la droite (ou vers la gauche), de sorte que la décimale du diviseur soit à droite du dernier chiffre .
  3. Lorsque vous effectuez une division longue, gardez les numéros alignés de haut en bas sous le tableau.
  4. Après chaque étape, assurez-vous que le reste de cette étape est inférieur au diviseur. Si ce n'est pas le cas, il y a trois problèmes possibles : la multiplication est fausse, la soustraction est fausse ou un quotient supérieur est nécessaire.
  5. À la fin, le reste, r , est ajouté au quotient croissant sous forme de fractionr / m .

Propriété invariante et correction

La présentation de base des étapes du procédé (ci - dessus) se concentrent sur les quelles mesures sont à effectuer, plutôt que les propriétés de ces mesures qui assurent le résultat sera correct ( en particulier, que q x m + r = n , où q est le quotient final et r le reste final). Une légère variation de présentation nécessite plus d'écriture, et nécessite que nous changions, plutôt que de simplement mettre à jour, les chiffres du quotient, mais peut mieux comprendre pourquoi ces étapes produisent réellement la bonne réponse en permettant l'évaluation de q × m + r à intermédiaire points dans le processus. Ceci illustre la propriété clé utilisée dans la dérivation de l'algorithme (ci-dessous) .

Plus précisément, nous modifions la procédure de base ci-dessus de sorte que nous remplissions l'espace après les chiffres du quotient en construction avec des 0, au moins à la place du 1, et incluions ces 0 dans les nombres que nous écrivons sous la parenthèse de division.

Cela nous permet de maintenir une relation invariante à chaque étape : q × m + r = n , où q est le quotient partiellement construit (au-dessus du crochet de division) et r le reste partiellement construit (nombre inférieur au-dessous du crochet de division). Notez que, initialement q=0 et r=n , cette propriété est donc vérifiée initialement ; le processus réduit r et augmente q à chaque étape, s'arrêtant finalement lorsque r<m si nous cherchons la réponse sous forme de quotient + reste entier.

En reprenant l' exemple 500 ÷ 4 ci-dessus, nous trouvons

     125      (q, changes from 000 to 100 to 120 to 125 as per notes below)
   4)500
     400      (  4 × 100 = 400)
     100      (500 - 400 = 100; now q=100, r=100; note q×4+r = 500.)
      80      (  4 ×  20 =  80)
      20      (100 -  80 =  20; now q=120, r= 20; note q×4+r = 500.)
      20      (  4 ×   5 =  20)
       0      ( 20 -  20 =   0; now q=125, r=  0; note q×4+r = 500.)

Exemple avec diviseur à plusieurs chiffres

Exemple animé de division longue à plusieurs chiffres

Un diviseur de n'importe quel nombre de chiffres peut être utilisé. Dans cet exemple, 1260257 doit être divisé par 37. Tout d'abord, le problème est défini comme suit :

              
    37)1260257

Les chiffres du nombre 1260257 sont pris jusqu'à ce qu'un nombre supérieur ou égal à 37 se produise. Donc 1 et 12 sont inférieurs à 37, mais 126 est supérieur. Ensuite, le plus grand multiple de 37 inférieur ou égal à 126 est calculé. Donc 3 × 37 = 111 < 126, mais 4 × 37 > 126. Le multiple 111 est écrit en dessous du 126 et le 3 est écrit en haut où la solution apparaîtra :

         3    
    37)1260257
       111

Notez soigneusement dans quelle colonne de valeur de position ces chiffres sont écrits. Le 3 du quotient va dans la même colonne (place des dizaines de milliers) que le 6 du dividende 1260257, qui est la même colonne que le dernier chiffre de 111.

Le 111 est ensuite soustrait de la ligne ci-dessus, en ignorant tous les chiffres à droite :

         3    
    37)1260257
       111
        15

Maintenant, le chiffre de la prochaine plus petite valeur de position du dividende est copié et ajouté au résultat 15 :

         3    
    37)1260257
       111
        150

Le processus se répète : le plus grand multiple de 37 inférieur ou égal à 150 est soustrait. C'est 148 = 4 × 37, donc un 4 est ajouté en haut comme prochain chiffre du quotient. Ensuite, le résultat de la soustraction est prolongé d'un autre chiffre tiré du dividende :

         34   
    37)1260257
       111
        150
        148
          22

Le plus grand multiple de 37 inférieur ou égal à 22 est 0 × 37 = 0. Soustraire 0 de 22 donne 22, nous n'écrivons souvent pas le pas de soustraction. Au lieu de cela, nous prenons simplement un autre chiffre du dividende :

         340  
    37)1260257
       111
        150
        148
          225

Le processus est répété jusqu'à ce que 37 divise exactement la dernière ligne :

         34061
    37)1260257
       111
        150
        148
          225
          222
            37

Division longue en mode mixte

Pour les monnaies non décimales (telles que le système britannique £sd avant 1971) et les mesures (telles que avoirdupois ) la division en mode mixte doit être utilisée. Envisagez de diviser 50 miles 600 yards en 37 morceaux :

          mi -     yd -   ft -   in
           1 -    634      1      9 r. 15"
    37)   50 -    600 -    0 -    0
          37    22880     66    348
          13    23480     66    348
        1760    222       37    333
       22880     128      29     15
       =====     111     348     ==
                  170    ===
                  148
                   22
                   66
                   ==

Chacune des quatre colonnes est travaillée à tour de rôle. En commençant par les miles : 50/37 = 1 reste 13. Aucune autre division n'est possible, alors effectuez une longue multiplication par 1 760 pour convertir les miles en yards, le résultat est de 22 880 yards. Portez-le en haut de la colonne des yards et ajoutez-le aux 600 yards du dividende donnant 23 480. La division longue de 23 480 / 37 se déroule maintenant normalement, ce qui donne 634 avec le reste 22. Le reste est multiplié par 3 pour obtenir les pieds et porté jusqu'à la colonne des pieds. La division longue des pieds donne 1 reste 29 qui est ensuite multiplié par douze pour obtenir 348 pouces. La division longue se poursuit avec le reste final de 15 pouces affiché sur la ligne de résultat.

Interprétation des résultats décimaux

Lorsque le quotient n'est pas un nombre entier et que le processus de division est étendu au-delà de la virgule décimale, l'une des deux choses suivantes peut se produire :

  1. Le processus peut se terminer, ce qui signifie qu'un reste de 0 est atteint ; ou
  2. Un reste pourrait être atteint qui est identique à un reste précédent qui s'est produit après l'écriture des points décimaux. Dans ce dernier cas, la poursuite du processus serait inutile, car à partir de ce moment, la même séquence de chiffres apparaîtrait encore et encore dans le quotient. Ainsi, une barre est tracée sur la séquence répétitive pour indiquer qu'elle se répète indéfiniment (c'est-à-dire que chaque nombre rationnel est soit un nombre décimal se terminant soit répétitif ).

Notation dans les pays non anglophones

La Chine, le Japon, la Corée utilisent la même notation que les pays anglophones, y compris l'Inde. Ailleurs, les mêmes principes généraux sont utilisés, mais les figures sont souvent disposées différemment.

l'Amérique latine

En Amérique latine (à l'exception de l' Argentine , de la Bolivie , du Mexique , de la Colombie , du Paraguay , du Venezuela , de l' Uruguay et du Brésil ), le calcul est presque exactement le même, mais est rédigé différemment comme indiqué ci-dessous avec les deux mêmes exemples utilisés ci-dessus. Habituellement, le quotient est écrit sous une barre dessinée sous le diviseur. Une longue ligne verticale est parfois tracée à droite des calculs.

     500 ÷ 4 =  125   (Explanations) 
     4                ( 4 ×  1 =  4)
     10               ( 5 -  4 =  1)
      8               ( 4 ×  2 =  8)
      20              (10 -  8 =  2)
      20              ( 4 ×  5 = 20)
       0              (20 - 20 =  0)

et

     127 ÷ 4 = 31.75
     124                             
       30      (bring down 0; decimal to quotient)
       28      (7 × 4 = 28)
        20     (an additional zero is added)
        20     (5 × 4 = 20)
          0

Au Mexique , la notation du monde anglophone est utilisée, sauf que seul le résultat de la soustraction est annoté et le calcul se fait mentalement, comme indiqué ci-dessous :

     125     (Explanations)
   4)500
     10      ( 5 -  4 = 1)
      20     (10 -  8 = 2)
       0     (20 - 20 = 0)

En Bolivie , au Brésil , au Paraguay , au Venezuela , au Canada francophone , en Colombie et au Pérou , la notation européenne (voir ci-dessous) est utilisée, sauf que le quotient n'est pas séparé par une ligne verticale, comme indiqué ci-dessous :

    127|4    124 31,75
      30
     −28
       20
      −20
        0

La même procédure s'applique au Mexique , en Uruguay et en Argentine , seul le résultat de la soustraction est annoté et le calcul se fait mentalement.

Eurasie

En Espagne, Italie, France, Portugal, Lituanie, Roumanie, Turquie, Grèce, Belgique, Biélorussie, Ukraine et Russie, le diviseur est à droite du dividende et séparé par une barre verticale. La division se produit également dans la colonne, mais le quotient (résultat) est écrit en dessous du diviseur et séparé par la ligne horizontale. La même méthode est utilisée en Iran, au Vietnam et en Mongolie.

    127|4    124|31,75
      30
     −28
       20
      −20
        0

A Chypre, ainsi qu'en France, une longue barre verticale sépare le dividende et les soustractions ultérieures du quotient et du diviseur, comme dans l' exemple ci-dessous de 6359 divisé par 17, soit 374 avec un reste de 1.

6
3
5
9
17
− 5
1
374
1 2 5
 
− 1 1 9
 
    6 9
 
6
8
 
  1
 

Les nombres décimaux ne sont pas divisés directement, le dividende et le diviseur sont multipliés par une puissance de dix de sorte que la division implique deux nombres entiers. Par conséquent, si l'on divisait 12,7 par 0,4 (des virgules étant utilisées à la place des points décimaux), le dividende et le diviseur seraient d'abord changés en 127 et 4, puis la division se déroulerait comme ci-dessus.

En Autriche , en Allemagne et en Suisse , la forme notationnelle d'une équation normale est utilisée. <dividend> : <divisor> = <quotient>, avec les deux points ":" désignant un symbole binaire infixe pour l'opérateur de division (analogue à "/" ou "÷"). Dans ces régions, le séparateur décimal est écrit sous forme de virgule. (cf. première section des pays d'Amérique latine ci-dessus, où cela se fait pratiquement de la même manière):

    127 : 4 = 31,75
   −12
     07
     −4
      30
     −28
       20
      −20
        0

La même notation est adoptée au Danemark , en Norvège , en Bulgarie , en Macédoine du Nord , en Pologne , en Croatie , en Slovénie , en Hongrie , en République tchèque , en Slovaquie , au Vietnam et en Serbie .

Aux Pays - Bas , la notation suivante est utilisée :

   12 / 135 \ 11,25
        12
         15
         12
          30
          24
           60
           60
            0

Algorithme pour base arbitraire

Chaque nombre naturel peut être représenté de manière unique dans une base de nombres arbitraires comme une séquence de chiffres où pour tous , où est le nombre de chiffres dans . La valeur de en termes de chiffres et de base est

Soit le dividende et le diviseur, où est le nombre de chiffres dans . Si , alors et . Sinon, on itère à partir de , avant de s'arrêter.

Pour chaque itération , soit le quotient extrait jusqu'à présent, le dividende intermédiaire, le reste intermédiaire, le chiffre suivant du dividende d'origine et le chiffre suivant du quotient. Par définition des chiffres en base , . Par définition du reste, . Toutes les valeurs sont des nombres naturels. nous initions

les premiers chiffres de .

A chaque itération, les trois équations sont vraies :

Il n'en existe qu'un tel tel que .

Preuve d'existence et d'unicité de  —

Selon la définition du reste ,

Pour le côté gauche de l'inégalité, nous sélectionnons le plus grand tel que

Il y a toujours un tel plus grand , parce que et si , alors

mais parce que , , , c'est toujours vrai. Pour le membre de droite de l'inégalité, nous supposons qu'il existe un plus petit tel que

Puisque c'est la plus petite que l'inégalité est vraie, cela doit signifier que pour

qui est exactement le même que le côté gauche de l'inégalité. Ainsi, . Comme existera toujours, ainsi sera égal à , et il n'y a qu'un seul qui est valable pour l'inégalité. Ainsi, nous avons prouvé l'existence et l'unicité de .

Le quotient final est et le reste final est

Exemples

En base 10 , en utilisant l'exemple ci-dessus avec et , les valeurs initiales et .

0 2 0
1 6 3
2 0 4
3 2 0
4 5 6
5 7 1

Ainsi, et .

En base 16 , avec et , les valeurs initiales sont et .

0 4
1 1 8
2 2
3 4
4 5

Ainsi, et .

Si l'on n'a pas mémorisé les tables d' addition , de soustraction ou de multiplication pour la base b , alors cet algorithme fonctionne toujours si les nombres sont convertis en décimal et à la fin sont reconvertis en base b . Par exemple, avec l'exemple ci-dessus,

et

avec . Les valeurs initiales sont et .

0 4
1 1 8
2 2
3 4
4 5

Ainsi, et .

Cet algorithme peut être effectué en utilisant le même type de notations crayon-papier que celles illustrées dans les sections ci-dessus.

          d8f45 r. 5
    12 ) f412df
         ea
          a1
          90
          112
          10e
            4d
            48
             5f
             5a
              5

Quotients rationnels

Si le quotient n'est pas contraint d'être un entier, l'algorithme ne se termine pas pour . Au lieu de cela, si alors par définition. Si le reste est égal à zéro à n'importe quelle itération, alors le quotient est une fraction -adique et est représenté comme un développement décimal fini en notation positionnelle de base . Sinon, il s'agit toujours d'un nombre rationnel mais pas d'un rationnel -adique, et il est plutôt représenté comme une expansion décimale à répétition infinie en notation positionnelle de base .

Division binaire

Le calcul dans le système de nombres binaires est plus simple, car chaque chiffre du cours ne peut être que 1 ou 0 - aucune multiplication n'est nécessaire car la multiplication par l'un ou l'autre donne le même nombre ou zéro .

Si c'était sur un ordinateur, la multiplication par 10 peut être représentée par un décalage de bit de 1 vers la gauche, et la recherche se réduit à l' opération logique , où vrai = 1 et faux = 0. À chaque itération , les opérations suivantes sont effectuées :

Par exemple, avec et , les valeurs initiales sont et .

0 1 1011 0 1011 − 0 = 1011 0
1 1 10111 1 10111 − 1101 = 1010 1
dix 0 10100 1 10100 − 1101 = 111 11
11 0 1110 1 1110 − 1101 = 1 111
100 1 11 0 11 − 0 = 11 1110

Ainsi, et .

Performance

À chaque itération, la tâche la plus longue consiste à sélectionner . Nous savons qu'il existe des valeurs possibles, nous pouvons donc les trouver à l' aide de comparaisons . Chaque comparaison nécessitera une évaluation . Soit le nombre de chiffres du dividende et le nombre de chiffres du diviseur . Le nombre de chiffres dans . La multiplication de est donc , et de même la soustraction de . Il faut donc sélectionner . Le reste de l'algorithme est l'addition et le décalage des chiffres de et vers la gauche un chiffre, et prend donc du temps et en base , donc chaque itération prend , ou juste . Pour tous les chiffres, l'algorithme prend du temps , soit en base .

Généralisations

Nombres rationnels

La division longue des nombres entiers peut facilement être étendue pour inclure des dividendes non entiers, tant qu'ils sont rationnels . C'est parce que chaque nombre rationnel a une expansion décimale récurrente . La procédure peut également être étendue pour inclure des diviseurs qui ont une expansion décimale finie ou terminale (c'est-à-dire des fractions décimales ). Dans ce cas, la procédure consiste à multiplier le diviseur et le dividende par la puissance de dix appropriée de sorte que le nouveau diviseur soit un nombre entier – en profitant du fait que a  ÷  b = ( ca ) ( cb ) – puis de procéder comme ci-dessus.

Polynômes

Une version généralisée de cette méthode appelée division longue polynomiale est également utilisée pour diviser des polynômes (parfois en utilisant une version abrégée appelée division synthétique ).

Voir également

Les références

Liens externes