Limites supérieure et inférieure - Upper and lower bounds
En mathématiques, en particulier dans la théorie de la commande , une borne supérieure ou majorant d'un sous - ensemble S d' un certain ensemble pré - ordonnées ( K , ≤) est un élément de K qui est supérieur ou égal à chaque élément de S . Doublement , une borne inférieure ou un mineur de S est défini comme un élément de K qui est inférieur ou égal à chaque élément de S . Un ensemble avec une borne supérieure (respectivement inférieure) est dit borné par le haut ou majoré (respectivement borné par le bas ou minorisé ) par cette borne. Les termes bornés ci-dessus ( bornés ci-dessous ) sont également utilisés dans la littérature mathématique pour les ensembles qui ont des bornes supérieures (respectivement inférieures).
Exemples
Par exemple, 5 est une borne inférieure pour l'ensemble S = {5, 8, 42, 34, 13934} (en tant que sous-ensemble des entiers ou des nombres réels , etc.), de même que 4 . D'un autre côté, 6 n'est pas une borne inférieure pour S puisqu'il n'est pas plus petit que chaque élément de S .
L'ensemble S = {42} a 42 à la fois comme borne supérieure et comme borne inférieure ; tous les autres nombres sont soit une limite supérieure, soit une limite inférieure pour ce S .
Chaque sous-ensemble des nombres naturels a une borne inférieure puisque les nombres naturels ont un plus petit élément (0 ou 1, selon la convention). Un sous-ensemble infini des nombres naturels ne peut pas être délimité par le haut. Un sous-ensemble infini des nombres entiers peut être borné par le dessous ou borné par le dessus, mais pas les deux. Un sous-ensemble infini des nombres rationnels peut ou non être limité par le bas, et peut ou non être limité par le haut.
Chaque sous-ensemble fini d'un ensemble totalement ordonné non vide a des bornes supérieure et inférieure.
Limites de fonctions
Les définitions peuvent être généralisées à des fonctions et même à des ensembles de fonctions.
Etant donnée une fonction f de domaine D et un ensemble pré - ordonnées ( K , ≤) comme codomaine , un élément y de K est une limite supérieure de f si y ≥ f ( x ) pour chaque x dans D . La limite supérieure est dite nette si l'égalité est vérifiée pour au moins une valeur de x . Cela indique que la contrainte est optimale et ne peut donc pas être réduite davantage sans invalider l'inégalité.
De même, la fonction g définie sur le domaine D et ayant le même codomaine ( K , ≤ ) est une majoration de f , si g ( x ) f ( x ) pour chaque x dans D . La fonction g est en outre dite être une limite supérieure d'un ensemble de fonctions, si c'est une limite supérieure de chaque fonction de cet ensemble.
La notion de borne inférieure pour (des ensembles de) fonctions est définie de manière analogue, en remplaçant ≥ par ≤.
Limites étroites
Une borne supérieure est dite une borne supérieure serrée , une borne supérieure minimale ou un supremum , si aucune valeur inférieure n'est une borne supérieure. De même, une borne inférieure est dite une borne inférieure serrée , une borne inférieure la plus élevée ou une infimum , si aucune valeur supérieure n'est une borne inférieure.
Limites supérieures exactes
Une borne supérieure u d'un sous-ensemble S d'un ensemble pré-ordonné ( K , ) est dite borne supérieure exacte de S si chaque élément de K strictement majoré par u est également majoré par un élément de S . Les limites supérieures exactes des produits réduits d' ordres linéaires jouent un rôle important dans la théorie PCF .