Lune d'Hippocrate - Lune of Hippocrates
En géométrie , la lune d'Hippocrate , du nom d' Hippocrate de Chios , est une lune délimitée par des arcs de deux cercles, dont le plus petit a pour diamètre une corde enjambant un angle droit sur le grand cercle. De manière équivalente, il s'agit d'une région plane non convexe délimitée par un arc de cercle à 180 degrés et un arc de cercle à 90 degrés. C'était la première figure courbe à avoir sa surface exacte calculée mathématiquement.
Histoire
Hippocrate voulait résoudre le problème classique de la quadrature du cercle , c'est-à-dire de la construction d'un carré au moyen d'une règle et d'un compas , ayant la même aire qu'un cercle donné . Il a prouvé que la lune délimitée par les arcs étiquetés E et F sur la figure a la même aire que le triangle ABO . Cela donnait un certain espoir de résoudre le problème de la quadrature du cercle, puisque la lune n'est délimitée que par des arcs de cercles. Heath conclut qu'en prouvant son résultat, Hippocrate fut aussi le premier à prouver que l' aire d'un cercle est proportionnelle au carré de son diamètre.
Le livre d'Hippocrate sur la géométrie dans lequel ce résultat apparaît, Elements , a été perdu, mais peut avoir formé le modèle des Eléments d' Euclide . La preuve d'Hippocrate a été préservée à travers l' Histoire de la Géométrie compilée par Eudème de Rhodes , qui n'a pas non plus survécu, mais qui a été extraite par Simplicius de Cilicie dans son commentaire sur la Physique d' Aristote .
Ce n'est qu'en 1882, avec la preuve de Ferdinand von Lindemann de la transcendance de π , que la quadrature du cercle s'est avérée impossible.
Preuve
Le résultat d'Hippocrate peut être prouvé comme suit: Le centre du cercle sur lequel se trouve l'arc AEB est le point D , qui est le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle isocèle ABO . Par conséquent, le diamètre AC du plus grand cercle ABC est √ 2 fois le diamètre du plus petit cercle sur lequel se trouve l'arc AEB . Par conséquent, le plus petit cercle a la moitié de l'aire du cercle le plus grand, et donc le quart de cercle AFBOA est égal en aire au demi-cercle AEBDA. La soustraction de la zone en forme de croissant AFBDA du quart de cercle donne le triangle ABO et la soustraction du même croissant du demi-cercle donne la lune. Puisque le triangle et la lune sont tous deux formés en soustrayant des aires égales d'une aire égale, ils sont eux-mêmes égaux en aire.
Généralisations
En utilisant une preuve similaire à celle ci-dessus, le mathématicien arabe Hasan Ibn al-Haytham (nom latinisé Alhazen , vers 965 - vers 1040) a montré que deux lunes, formées des deux côtés d'un triangle rectangle , dont les limites extérieures sont des demi-cercles et dont les limites intérieures sont formées par le cercle circulaire du triangle, alors les aires de ces deux lunes additionnées sont égales à l'aire du triangle. Les lunes ainsi formées à partir d'un triangle rectangle sont appelées les lunes d'Alhazen . La quadrature de la lune d'Hippocrate est le cas particulier de ce résultat pour un triangle rectangle isocèle .
Au milieu du XXe siècle, deux mathématiciens russes, Nikolai Chebotaryov et son élève Anatoly Dorodnov, ont complètement classé les lunes constructibles à la boussole et à la règle et qui ont une superficie égale à un carré donné. Tous ces lunes peuvent être spécifiés par les deux angles formés par les arcs intérieur et extérieur sur leurs cercles respectifs; dans cette notation, par exemple, la lune d'Hippocrate aurait les angles intérieur et extérieur (90 °, 180 °). Hippocrate a trouvé deux autres lunes concaves au carré, avec des angles d'environ (107,2 °, 160,9 °) et (68,5 °, 205,6 °). Deux autres lunes concaves au carré, avec des angles d'environ (46,9 °, 234,4 °) et (100,8 °, 168,0 °) ont été trouvées en 1766 par Martin Johan Wallenius et à nouveau en 1840 par Thomas Clausen . Comme Chebotaryov et Dorodnov l'ont montré, ces cinq paires d'angles donnent les seules lunes carrossables constructibles; en particulier, il n'y a pas de lunes convexes carrées constructibles.