Transformation de Möbius - Möbius transformation

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

Notez que toute matrice obtenue en multipliant par un scalaire complexe λ détermine la même transformation, donc une transformation de Möbius ne détermine sa matrice que

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})\cong \operatorname {PGL} (2,\mathbb {C} ).}$$

Si l'on se restreint aux matrices de déterminant un, l'application

Notez qu'il existe précisément deux matrices avec un déterminant d'unité qui peuvent être utilisées pour représenter n'importe quelle transformation de Möbius donnée. C'est-à-dire que SL(2, C ) est une double couverture de PSL(2, C ). Puisque SL(2, C ) est simplement connexe, c'est la couverture universelle du groupe de Möbius. Par conséquent, le groupe fondamental du groupe de Möbius est Z ₂ .

Spécification d'une transformation par trois points

Etant donné un ensemble de trois points distincts z ₁ , z ₂ , z ₃ sur la sphère de Riemann et un deuxième ensemble de points distincts w ₁ , w ₂ , w ₃ , il existe précisément une transformation de Möbius f ( z ) avec f ( z _i ) = w _i pour i = 1,2,3. (En d'autres termes : l' action du groupe de Möbius sur la sphère de Riemann est nettement 3-transitive .) Il existe plusieurs façons de déterminer f ( z ) à partir des ensembles de points donnés.

Mappage d'abord à 0, 1, ∞

Il est facile de vérifier que la transformation de Möbius

$${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}- z_{1})}}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_ {2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}}$

Si est défini de manière similaire pour mapper

${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}}$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.}$$

Le stabilisateur de {0, 1, } (en tant qu'ensemble non ordonné) est un sous-groupe connu sous le nom de groupe anharmonique .

Formule déterminante explicite

L'équation

$${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

${\style d'affichage (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{ 1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})}$

Sous-groupes du groupe de Möbius

Si nous exigeons que les coefficients a , b , c , d d'une transformation de Möbius soient des nombres réels avec ad − bc = 1 , nous obtenons un sous-groupe du groupe de Möbius noté PSL(2, R ) . C'est le groupe de ces transformations de Möbius qui mappent le demi-plan supérieur H = x + i y  : y > 0 à lui-même, et est égal au groupe de toutes les cartes biholomorphes (ou de manière équivalente : bijectives , conformes et préservant l'orientation) H → H . Si une métrique appropriée est introduite, le demi-plan supérieur devient un modèle du plan hyperbolique H ² , le modèle de demi-plan de Poincaré , et PSL(2, R ) est le groupe de toutes les isométries préservant l'orientation de H ² dans ce maquette.

Le sous-groupe de toutes les transformations de Möbius qui mappent le disque ouvert D = z  : | z | < 1 à lui-même consiste en toutes les transformations de la forme

$${\displaystyle f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}}$$

${\style d'affichage \phi }$

Étant donné que des sous - groupes ci - dessus servent en tant que groupes d'isométrie de H ² , ils sont isomorphes. Un isomorphisme concret est donné par conjugaison avec la transformation

$${\displaystyle f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}}$$

Alternativement, considérons un disque ouvert de rayon r , centré en r  i . Le modèle de disque de Poincaré dans ce disque devient identique au modèle du demi-plan supérieur lorsque r tend vers ∞.

Un sous-groupe compact maximal du groupe de Möbius est donné par (

${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$

Les groupes icosaédriques des transformations de Möbius ont été utilisés par Felix Klein pour donner une solution analytique à l' équation quintique dans ( Klein 1888 ); une exposition moderne est donnée dans ( Tóth 2002 ).

Si l'on exige que les coefficients a , b , c , d d'une transformation de Möbius soient des entiers avec ad − bc = 1, on obtient le groupe modulaire PSL(2, Z ), un sous-groupe discret de PSL(2, R ) important dans l'étude des réseaux dans le plan complexe, des fonctions elliptiques et

Classification

Une transformation hyperbolique est montrée. Les pré-images du cercle unité sont des cercles d'Apollonius avec un rapport de distance c / a et des foyers à − b / a et − d / c .

Pour les mêmes foyers − b / a et − d / c, les cercles rouges correspondent aux rayons passant par l'origine.

Dans la discussion suivante, nous supposerons toujours que la matrice représentative est normalisée de telle sorte que . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1}$

Les transformations de Möbius sans identité sont généralement classées en quatre types, paraboliques , elliptiques , hyperboliques et loxodromiques , les hyperboliques étant une sous-classe des loxodromiques. La classification a une signification à la fois algébrique et géométrique. Géométriquement, les différents types entraînent différentes transformations du plan complexe, comme l'illustrent les figures ci-dessous.

Les quatre types peuvent être distingués en regardant la trace . Notez que la trace est invariante par

${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} \,{\mathfrak {H}},}$$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'}$

${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1}$

${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.}$

Transformées paraboliques

Une transformation de Möbius non identitaire définie par une matrice de déterminant 1 est dite

${\style d'affichage 1/z,}$

${\style d'affichage 1-z}$

${\style d'affichage z/(z-1)}$

Transformations hyperboliques

La transformée est dite hyperbolique si elle peut être représentée par une matrice dont la trace est

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

Une transformée est hyperbolique si et seulement si λ est réel et λ ≠ ±1.

Transformées loxodromiques

La transformée est dite loxodromique si elle n'est pas dans [0,4]. Une transformation est loxodromique si et seulement si . ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$${\style d'affichage |\lambda |\neq 1}$

Historiquement, la navigation par loxodrome ou loxodromie désigne un chemin à gisement constant ; le chemin résultant est une spirale logarithmique , de forme similaire aux transformations du plan complexe qu'une transformation loxodromique de Möbius fait. Voir les figures géométriques ci-dessous.

Classification générale

Transformation	Trace au carré	Multiplicateurs	Représentant de classe
Circulaire	= 0	k = -1	${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$	z ↦ − z
Elliptique	0 σ < 4	| k | = 1 ${\displaystyle k=e^{\pm i\theta }\neq 1}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta /2}&0\\0&e^{-i\theta /2}\end{pmatrix}}}$	z ↦ e i θ z
Parabolique	= 4	k = 1	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}}$	z ↦ z + a
Hyperbolique	4 < σ < ∞	${\displaystyle k\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle k=e^{\pm \theta }\neq 1}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{\theta /2}&0\\0&e^{-\theta /2}\end{pmatrix}}}$	z ↦ e θ z
Loxodromique	∈ C \ [0,4]	${\style d'affichage |k|\neq 1}$ ${\displaystyle k=\lambda ^{2},\lambda ^{-2}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$	z ↦ kz

Le cas réel et une note sur la terminologie

Sur les nombres réels (si les coefficients doivent être réels), il n'y a pas de transformations loxodromiques non hyperboliques, et la classification est en elliptique, parabolique et hyperbolique, comme pour les vraies coniques . La terminologie est due au fait de considérer la moitié de la valeur absolue de la trace, |tr|/2, comme l' excentricité de la transformation - la division par 2 corrige la dimension, donc l'identité a l'excentricité 1 (tr/ n est parfois utilisé comme un alternative pour la trace pour cette raison), et la valeur absolue corrige la trace qui n'est définie que jusqu'à un facteur de ±1 en raison du travail en PSL. Alternativement, on peut utiliser la moitié de la trace au carré comme approximation de l'excentricité au carré, comme cela a été fait ci-dessus ; ces classifications (mais pas les valeurs d'excentricité exactes, car les valeurs quadratiques et absolues sont différentes) concordent pour des traces réelles mais pas pour des traces complexes. La même terminologie est utilisée pour la classification des éléments de SL(2, R ) (la couverture à 2 volets), et des classifications analogues sont utilisées ailleurs. Les transformations loxodromiques sont un phénomène essentiellement complexe, et correspondent à des excentricités complexes.

Interprétation géométrique de la constante caractéristique

L'image suivante représente (après transformation stéréographique de la sphère au plan) les deux points fixes d'une transformation de Möbius dans le cas non parabolique :

La constante caractéristique peut être exprimée en termes de son logarithme :

$${\displaystyle e^{\rho +\alpha i}=k.}$$

Transformations elliptiques

Si ρ = 0, alors les points fixes ne sont ni attractifs ni répulsifs mais indifférents, et la transformation est dite elliptique . Ces transformations ont tendance à déplacer tous les points en cercles autour des deux points fixes. Si l'un des points fixes est à l'infini, cela revient à faire une rotation affine autour d'un point.

Si nous prenons le sous-groupe à un paramètre généré par n'importe quelle transformation de Möbius elliptique, nous obtenons une transformation continue, telle que chaque transformation du sous-groupe fixe les deux mêmes points. Tous les autres points s'écoulent le long d'une famille de cercles imbriqués entre les deux points fixes de la sphère de Riemann. En général, les deux points fixes peuvent être deux points distincts quelconques.

Cela a une interprétation physique importante. Imaginez qu'un observateur tourne avec une vitesse angulaire constante autour d'un axe. Ensuite, nous pouvons considérer que les deux points fixes sont les pôles Nord et Sud de la sphère céleste. L'apparence du ciel nocturne est maintenant transformée en continu exactement de la manière décrite par le sous-groupe à un paramètre de transformations elliptiques partageant les points fixes 0, , et avec le nombre correspondant à la vitesse angulaire constante de notre observateur.

Voici quelques figures illustrant l'effet d'une transformation elliptique de Möbius sur la sphère de Riemann (après projection stéréographique vers le plan) :

Ces images illustrent l'effet d'une seule transformation de Möbius. Le sous-groupe à un paramètre qu'il génère déplace continuellement des points le long de la famille d'arcs de cercle suggérée par les images.

Transformations hyperboliques

Si α est nul (ou un multiple de 2 π ), alors la transformation est dite hyperbolique . Ces transformations ont tendance à déplacer des points le long de trajectoires circulaires d'un point fixe vers l'autre.

Si nous prenons le sous-groupe à un paramètre généré par n'importe quelle transformation de Möbius hyperbolique, nous obtenons une transformation continue, telle que chaque transformation dans le sous-groupe fixe les deux mêmes points. Tous les autres points s'écoulent le long d'une certaine famille d'arcs de cercle

Cela aussi a une interprétation physique importante. Imaginez qu'un observateur accélère (avec une amplitude d'accélération constante) en direction du pôle Nord sur sa sphère céleste. Ensuite, l'apparence du ciel nocturne est transformée exactement de la manière décrite par le sous-groupe à un paramètre de transformations hyperboliques partageant les points fixes 0, , avec le nombre réel ρ correspondant à l'amplitude de son vecteur d'accélération. Les étoiles semblent se déplacer le long des longitudes, du pôle Sud vers le pôle Nord. (Les longitudes apparaissent sous forme d'arcs de cercle sous projection stéréographique de la sphère au plan.)

Voici quelques figures illustrant l'effet d'une transformation hyperbolique de Möbius sur la sphère de Riemann (après projection stéréographique vers le plan) :

Ces images ressemblent aux lignes de champ d'une charge électrique positive et négative situées aux points fixes, car les lignes d'écoulement circulaire sous-tendent un angle constant entre les deux points fixes.

Transformations loxodromiques

Si les deux ρ et α sont non nuls, alors la transformation est dite loxodromique . Ces transformations ont tendance à déplacer tous les points dans des chemins en forme de S d'un point fixe à l'autre.

Le mot « loxodrome » vient du grec : « λοξος (loxos), oblique + δρόμος (dromos), cours ». Lors de la voile sur une constante portée - si vous maintenez un cap ( par exemple) le nord-est, vous finirez par enrouler la voile autour du pôle nord dans une spirale logarithmique . Sur la projection de Mercator , une telle trajectoire est une ligne droite, car les pôles nord et sud se projettent à l'infini. L'angle que sous-tend le loxodrome par rapport aux lignes de longitude (c'est-à-dire sa pente, l'« étanchéité » de la spirale) est l'argument de k . Bien sûr, les transformations de Möbius peuvent avoir leurs deux points fixes n'importe où, pas seulement aux pôles nord et sud. Mais toute transformation loxodromique sera conjuguée à une transformation qui déplace tous les points le long de ces loxodromes.

Si nous prenons le sous-groupe à un paramètre généré par n'importe quelle transformation de Möbius loxodromique, nous obtenons une transformation continue, telle que chaque transformation dans le sous-groupe fixe les deux mêmes points. Tous les autres points s'écoulent le long d'une certaine famille de courbes, à partir du premier point fixe et vers le deuxième point fixe. Contrairement au cas hyperbolique, ces courbes ne sont pas des arcs de cercle, mais certaines courbes qui, sous projection stéréographique de la sphère au plan, apparaissent comme des courbes en spirale qui tournent dans le sens antihoraire infiniment souvent autour d'un point fixe et tournent dans le sens horaire infiniment souvent autour de l'autre point fixe. En général, les deux points fixes peuvent être deux points distincts quelconques de la sphère de Riemann.

Vous pouvez probablement deviner l'interprétation physique dans le cas où les deux points fixes sont 0, : un observateur qui est à la fois en rotation (avec une vitesse angulaire constante) autour d'un axe et se déplaçant le long du même axe, verra l'apparition du ciel nocturne transformer selon le sous-groupe à un paramètre des transformations loxodromiques avec des points fixes 0, et avec , déterminés respectivement par l'amplitude des vitesses linéaires et angulaires réelles.

Projection stéréographique

Ces images montrent des transformations de Möbius projetées stéréographiquement sur la sphère de Riemann . Notez en particulier que lorsqu'il est projeté sur une sphère, le cas particulier d'un point fixe à l'infini n'est pas différent d'avoir les points fixes dans un emplacement arbitraire.

Un point fixe à l'infini
Elliptique	Hyperbolique	Loxodromique
Points fixes diamétralement opposés
Elliptique	Hyperbolique	Loxodromique
Points fixes dans un emplacement arbitraire
Elliptique	Hyperbolique	Loxodromique

Itérer une transformation

Si une transformation a des points fixes

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}}$

${\displaystyle \gamma _{1}'=\gamma _{1},\gamma _{2}'=\gamma _{2},k'=k^{n}}$

Cela peut être utilisé pour itérer une transformation ou pour en animer une en la divisant en étapes.

Ces images montrent trois points (rouge, bleu et noir) itérés en continu sous des transformations avec diverses constantes caractéristiques.

Et ces images montrent ce qui se passe lorsque vous transformez un cercle sous les transformations hyperbolique, elliptique et loxodromique. Notez que dans les images elliptiques et loxodromiques, la valeur est de 1/10 .

Dimensions supérieures

Dans les dimensions supérieures, une transformation de Möbius est un homéomorphisme de , la

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle f(x)=b+{\frac {\alpha A(xa)}{|xa|^{\varepsilon }}}}$$

où , , est une

${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

${\style d'affichage A}$

${\displaystyle \varepsilon }$

Les transformations de Möbius préservant l'orientation forment la composante connexe de l'identité dans le groupe de Möbius. En dimension n = 2 , les transformations de Möbius préservant l'orientation sont exactement les cartes de la sphère de Riemann couvertes ici. Les inverseurs d'orientation sont obtenus à partir de ceux-ci par conjugaison complexe.

Le domaine des transformations de Möbius, c'est-à-dire , est homéomorphe à la sphère

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$

${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n+1}}}}$

${\displaystyle S^{n}}$

Applications

transformation de Lorentz

Un isomorphisme du groupe de Möbius avec le groupe de Lorentz a été noté par plusieurs auteurs : Sur la base des travaux antérieurs de Felix Klein (1893, 1897) sur les fonctions automorphes liées à la géométrie hyperbolique et à la géométrie de Möbius, Gustav Herglotz (1909) a montré que les mouvements hyperboliques (ie Les automorphismes isométriques d'un espace hyperbolique transformant la sphère unité en elle-même correspondent aux transformations de Lorentz, par lesquelles Herglotz a pu classer les transformations de Lorentz à un paramètre en groupes loxodromiques, elliptiques, hyperboliques et paraboliques. D'autres auteurs incluent Emil Artin (1957), HSM Coxeter (1965) et Roger Penrose , Wolfgang Rindler (1984), Tristan Needham (1997) et WM Olivia (2002).

L'espace de Minkowski se compose de l'espace de coordonnées réelles à quatre dimensions R ⁴ constitué de l'espace des quadruples ordonnés ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) de nombres réels, ainsi qu'une forme quadratique

$${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{ 2}-x_{3}^{2}.}$$

Empruntant la terminologie de la relativité restreinte , les points avec Q > 0 sont considérés comme temporels ; de plus, si x ₀ > 0 , alors le point est appelé future-pointing . Les points avec Q < 0 sont appelés spacelike . Le cône nul S est constitué des points où Q = 0 ; le futur cône nul N ⁺ sont les points sur le cône nul avec x ₀ > 0 . La sphère céleste s'identifie alors à l'ensemble des rayons en N ⁺ dont le point initial est l'origine de R ⁴ . L'ensemble des transformations linéaires sur R ⁴ à déterminant positif préservant la forme quadratique Q et préservant la direction temporelle forment le groupe de Lorentz restreint SO ⁺ (1,3).

En rapport avec la géométrie de la sphère céleste, le groupe de transformations SO ⁺ (1,3) s'identifie au groupe PSL(2, C ) des transformations de Möbius de la sphère. A chaque ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) R ⁴ , associer la matrice hermitienne

$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\ fin{bmatrice}}.}$$

Le déterminant de la matrice X est égal à Q ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) . Le groupe linéaire spécial agit sur l'espace de telles matrices via

${\displaystyle X\mapsto AXA^{*}}$

( 1 )

pour chaque A ∈ SL(2, C ), et cette action de SL(2, C ) préserve le déterminant de X car det A = 1 . Puisque le déterminant de X est identifié à la forme quadratique Q , SL(2, C ) agit par transformations de Lorentz. Sur le plan dimensionnel, SL(2, C ) couvre un voisinage de l'identité de SO(1,3). Puisque SL(2, C ) est connexe, il couvre tout le groupe de Lorentz restreint SO ⁺ (1,3). De plus, puisque le noyau de l'action ( 1 ) est le sous-groupe {± I }, alors le passage au groupe quotient donne l' isomorphisme de groupe

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )\cong \operatorname {SO} ^{+}(1,3).}$

( 2 )

En concentrant maintenant l'attention sur le cas où ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) est nul, la matrice X a zéro déterminant, et se divise donc comme le produit extérieur d'un complexe à deux vecteurs avec son complexe conjugué :

${\displaystyle X=\xi {\bar {\xi }}^{T}=\xi \xi ^{*}.}$

( 3 )

Le vecteur à deux composantes est sollicité par SL(2, C ) d'une manière compatible avec ( 1 ). Il est maintenant clair que le noyau de la représentation de SL(2, C ) sur les matrices hermitiennes est {± I }.

L'action de PSL(2, C ) sur la sphère céleste peut aussi être décrite géométriquement par projection stéréographique . Considérons d'abord l'hyperplan dans R ⁴ donné par x ₀  = 1. La sphère céleste peut être identifiée à la sphère S ⁺ d'intersection de l'hyperplan avec le futur cône nul N ⁺ . La projection stéréographique du pôle nord (1,0,0,1) de cette sphère sur le plan x ₃  = 0 prend un point de coordonnées (1, x ₁ , x ₂ , x ₃ ) avec

$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$

$${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right) .}$$

Présentation de la coordonnée complexe

$${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\zeta +{\bar {\zeta }}}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}\\x_{ 2}&={\frac {\zeta -{\bar {\zeta }}}{i(\zeta {\bar {\zeta }}+1)}}\\x_{3}&={\frac { \zeta {\bar {\zeta }}-1}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}.\end{aligned}}}$

( 4 )

L'action de SO ⁺ (1,3) sur les points de N ⁺ ne préserve pas l'hyperplan S ⁺ , mais agir sur les points de S ⁺ puis redimensionner pour que le résultat soit à nouveau en S ⁺ donne une action de SO ⁺ ( 1,3) sur la sphère qui passe à une action sur la variable complexe . En fait, cette action se fait par transformations linéaires fractionnaires, bien que cela ne se voit pas facilement à partir de cette représentation de la sphère céleste. Inversement, pour toute transformation linéaire fractionnaire de ζ, la variable passe à une unique transformation de Lorentz sur N ⁺ , éventuellement après un rééchelonnement approprié (déterminé de manière unique).

Une description plus invariante de la projection stéréographique qui permet de mieux voir l'action est de considérer la variable ζ =  z : w comme le rapport d'un couple de coordonnées homogènes pour la ligne projective complexe CP ¹ . La projection stéréographique passe à une transformation de C ²  − {0} en N ⁺ qui est homogène de degré deux par rapport aux échelles réelles

${\displaystyle (z,w)\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(z{\bar {z}}+w{\bar {w}} ,z{\bar {z}}-w{\bar {w}},z{\bar {w}}+w{\bar {z}},i^{-1}(z{\bar {w }}-w{\bar {z}}))}$

( 5 )

qui est d' accord avec ( 4 ) sur la restriction aux échelles dans lesquelles Les composants de (

${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{ bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

En résumé, l'action du groupe de Lorentz restreint SO ⁺ (1,3) est en accord avec celle du groupe de Möbius PSL(2, C ). Cela motive la définition suivante. En dimension n  2, le groupe de Möbius Möb( n ) est le groupe de toutes les isométries conformes préservant l' orientation de la sphère ronde S ⁿ à elle-même. En réalisant la sphère conforme comme l'espace des rayons pointant vers le futur du cône nul dans l'espace de Minkowski R ^1,n+1 , il existe un isomorphisme de Möb( n ) avec le groupe de Lorentz restreint SO ⁺ (1, n +1 ) des transformations de Lorentz à déterminant positif, préservant la direction du temps.

Coxeter a commencé à la place avec la forme quadratique équivalente ${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3} ^{2}-x_{4}^{2}.}$

Il a identifié le groupe de Lorentz avec des transformations pour lesquelles { x  : Q( x ) = -1} est stable . Puis il a interprété les x comme des coordonnées homogènes et { x  : Q( x ) = 0}, le cône nul , comme l' absolu de Cayley pour un espace hyperbolique de points { x  : Q( x ) < 0}. Ensuite, Coxeter a introduit les variables

$${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\ frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$

de sorte que la quadrique invariante de Lorentz correspond à la sphère Coxeter note que

${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1.}$

${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$

Espace hyperbolique

Comme vu ci-dessus, le groupe de Möbius PSL(2, C ) agit sur l'espace de Minkowski comme le groupe de ces isométries qui préservent l'origine, l'orientation de l'espace et la direction du temps. En se limitant aux points où Q =1 dans le cône de lumière positif, qui forment un modèle d' espace hyperbolique H ³ , nous voyons que le groupe de Möbius agit sur H ³ comme un groupe d'isométries préservant l'orientation. En fait, le groupe de Möbius est égal au groupe des isométries préservant l'orientation de l'espace 3 hyperbolique.

Si nous utilisons le modèle de boule de Poincaré , identifiant la boule unité dans R ³ avec H ³ , alors nous pouvons considérer la sphère de Riemann comme la « limite conforme » de H ³ . Toute isométrie préservant l'orientation de H ³ donne lieu à une transformation de Möbius sur la sphère de Riemann et vice versa ; c'est la toute première observation conduisant aux conjectures de correspondance AdS/CFT en physique.

Voir également

Remarques

Les références

Spécifique

Général

Lectures complémentaires

• Lawson, MV (1998). "Le monoïde inverse de Möbius" . Journal d'algèbre . 200 (2) : 428. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .

Liens externes

• Médias liés à la transformation de Möbius sur Wikimedia Commons
• "Mapping quasi-conforme" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Galerie de cartes conformes
• Weisstein, Eric W. "Transformation fractionnelle linéaire" . MathWorld .