Magnitude (mathématiques) - Magnitude (mathematics)

En mathématiques , la grandeur ou la taille d'un objet mathématique est une propriété qui détermine si l'objet est plus grand ou plus petit que d'autres objets du même genre. Plus formellement, est le résultat affiché la grandeur d'un objet d'une commande (ou classement) -De la classe des objets auxquels il appartient.

En physique , la grandeur peut être définie comme une quantité ou une distance.

Histoire

Les Grecs distinguaient plusieurs types de grandeurs, notamment :

Ils ont prouvé que les deux premiers ne pouvaient pas être les mêmes, ni même des systèmes de grandeur isomorphes . Ils ne considéraient pas que les magnitudes négatives étaient significatives, et la magnitude est encore principalement utilisée dans des contextes dans lesquels zéro est soit la plus petite taille soit inférieure à toutes les tailles possibles.

Nombres

L'amplitude d'un nombre est généralement appelée sa valeur absolue ou son module , noté .

Nombres réels

La valeur absolue d'un nombre réel r est définie par :

La valeur absolue peut également être considérée comme la distance du nombre à zéro sur la droite numérique réelle . Par exemple, la valeur absolue de 70 et de -70 est 70.

Nombres complexes

Un nombre complexe z peut être considéré comme la position d'un point P dans un espace à 2 dimensions , appelé le plan complexe . La valeur absolue (ou module) de z peut être considérée comme la distance de P à partir de l'origine de cet espace. La formule de la valeur absolue de z = a + bi est similaire à celle de la norme euclidienne d'un vecteur dans un espace euclidien à 2 dimensions :

où les nombres réels a et b sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z . Par exemple, le module de -3 + 4 i est . Alternativement, l'amplitude d'un nombre complexe z peut être définie comme la racine carrée du produit de lui-même et de son conjugué complexe , , où pour tout nombre complexe , son conjugué complexe est .

(où ).

Espaces vectoriels

Espace vectoriel euclidien

Un vecteur euclidien représente la position d'un point P dans un espace euclidien . Géométriquement, il peut être décrit comme une flèche partant de l'origine de l'espace (vecteur queue) jusqu'à ce point (vecteur pointe). Mathématiquement, un vecteur x dans un espace euclidien à n dimensions peut être défini comme une liste ordonnée de n nombres réels (les coordonnées cartésiennes de P ) : x = [ x 1 , x 2 , ..., x n ]. Sa grandeur ou longueur , notée , est le plus souvent définie comme sa norme euclidienne (ou longueur euclidienne) :

Par exemple, dans un espace à 3 dimensions, la magnitude de [3, 4, 12] est de 13 car cela équivaut à la racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même :

La norme euclidienne d'un vecteur n'est qu'un cas particulier de distance euclidienne : la distance entre sa queue et sa pointe. Deux notations similaires sont utilisées pour la norme euclidienne d'un vecteur x :

Un inconvénient de la deuxième notation est qu'elle peut également être utilisée pour désigner la valeur absolue des scalaires et les déterminants des matrices , ce qui introduit un élément d'ambiguïté.

Espaces vectoriels normés

Par définition, tous les vecteurs euclidiens ont une grandeur (voir ci-dessus). Cependant, un vecteur dans un espace vectoriel abstrait ne possède pas de grandeur.

Un espace vectoriel doté d'une norme , tel que l'espace euclidien, est appelé un espace vectoriel normé . La norme d'un vecteur v dans un espace vectoriel normé peut être considérée comme la grandeur de v .

Espace pseudo-euclidien

Dans un espace pseudo-euclidien , la grandeur d'un vecteur est la valeur de la forme quadratique de ce vecteur.

Grandeurs logarithmiques

Lors de la comparaison des magnitudes, une échelle logarithmique est souvent utilisée. Les exemples incluent l' intensité d'un son (mesurée en décibels ), la luminosité d'une étoile et l' échelle de Richter de l'intensité des tremblements de terre. Les grandeurs logarithmiques peuvent être négatives et ne peuvent pas être ajoutées ou soustraites de manière significative (puisque la relation est non linéaire).

Ordre de grandeur

Les ordres de grandeur indiquent des différences de quantités numériques, généralement des mesures, d'un facteur 10, c'est-à-dire une différence d'un chiffre dans l'emplacement de la virgule décimale.

Voir également

Les références