Calcul de Malliavin - Malliavin calculus

Dans la théorie des probabilités et les domaines connexes, le calcul de Malliavin est un ensemble de techniques et d'idées mathématiques qui étendent le domaine mathématique du calcul des variations des fonctions déterministes aux processus stochastiques . En particulier, il permet le calcul de dérivées de variables aléatoires . Le calcul de Malliavin est aussi appelé calcul stochastique des variations . P. Malliavin a d'abord initié le calcul sur l'espace dimensionnel infini. Ensuite, les contributeurs importants tels que S. Kusuoka, D. Stroock, Bismut, S. Watanabe, I. Shigekawa, etc. ont finalement achevé les fondations.

Le calcul de Malliavin est nommé d'après Paul Malliavin dont les idées ont conduit à une preuve que la condition de Hörmander implique l'existence et la régularité d'une densité pour la solution d'une équation différentielle stochastique ; La preuve originale de Hörmander était basée sur la théorie des équations aux dérivées partielles . Le calcul a également été appliqué aux équations aux dérivées partielles stochastiques .

Le calcul permet l' intégration par parties avec des variables aléatoires ; cette opération est utilisée en finance mathématique pour calculer les sensibilités des dérivés financiers . Le calcul a des applications, par exemple, dans le filtrage stochastique .

Aperçu et historique

Malliavin a introduit le calcul de Malliavin pour fournir une preuve stochastique que la condition de Hörmander implique l'existence d'une densité pour la solution d'une équation différentielle stochastique ; La preuve originale de Hörmander était basée sur la théorie des équations aux dérivées partielles . Son calcul a permis à Malliavin de prouver des bornes de régularité pour la densité de la solution. Le calcul a été appliqué aux équations aux dérivées partielles stochastiques .

Principe d'invariance

Le principe d'invariance habituel pour l' intégration de Lebesgue sur toute la droite réelle est que, pour tout nombre réel ε et fonction intégrable f , ce qui suit est vrai

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\, d\lambda (x)}$ et donc ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.}$

Cela peut être utilisé pour dériver la formule d' intégration par parties puisque, en fixant f = gh , cela implique

${\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\ int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .}$

Une idée similaire peut être appliquée dans l'analyse stochastique pour la différenciation le long d'une direction Cameron-Martin-Girsanov. En effet, soit un processus prévisible intégrable au carré et un ensemble ${\displaystyle h_{s}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.}$

Si est un processus de Wiener , le théorème de Girsanov donne alors l'analogue suivant du principe d'invariance : ${\style d'affichage X}$

${\displaystyle E(F(X+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s} -{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].}$

En différenciant par rapport à ε des deux côtés et en évaluant à ε=0, on obtient la formule d'intégration par parties suivante :

${\displaystyle E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\ Gros ]}.}$

Ici, le membre de gauche est la dérivée de Malliavin de la variable aléatoire dans la direction et l'intégrale apparaissant sur le membre de droite doit être interprétée comme une intégrale d'Itô . Cette expression reste également vraie (par définition) si elle n'est pas adaptée, à condition que le membre de droite soit interprété comme une intégrale de Skorokhod . ${\style d'affichage F}$${\style d'affichage \varphi }$${\style d'affichage h}$

Formule Clark-Ocone

L'un des résultats les plus utiles du calcul de Malliavin est le théorème de Clark-Ocone , qui permet d' identifier explicitement le processus dans le théorème de représentation de la martingale . Une version simplifiée de ce théorème est la suivante :

Pour satisfaire qui est Lipschitz et tel que F a un noyau dérivé fort, au sens où pour dans C [0,1] ${\displaystyle F:C[0,1]\to \mathbb {R} }$${\style d'affichage E(F(X)^{2})<\infty }$${\style d'affichage \varphi }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(1/\varepsilon )(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X, dt)\varphi (t)\ \mathrm {ae} \ X}$

ensuite

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},}$

où H est la projection prévisible de F '( x , ( t ,1]) qui peut être considérée comme la dérivée de la fonction F par rapport à un décalage parallèle approprié du processus X sur la portion ( t ,1] de son domaine.

Cela peut être exprimé de manière plus concise par

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F|{\mathcal {F}}_{t})\,dX_{ t}.}$

Une grande partie du travail dans le développement formel du calcul de Malliavin consiste à étendre ce résultat à la plus grande classe possible de fonctionnelles F en remplaçant le noyau dérivé utilisé ci-dessus par la « dérivée de Malliavin » indiquée dans l'énoncé ci-dessus du résultat. ${\style d'affichage D_{t}}$

Intégrale de Skorokhod

L' opérateur intégral de Skorokhod qui est classiquement noté δ est défini comme l'adjoint de la dérivée de Malliavin donc pour u dans le domaine de l'opérateur qui est un sous-ensemble de , pour F dans le domaine de la dérivée de Malliavin, nous avons besoin ${\displaystyle L^{2}([0,\infty )\times \Omega )}$

${\displaystyle E(\langle DF,u\rangle )=E(F\delta (u)),}$

où le produit interne est celui de savoir ${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,ds.}$

L'existence de cet adjoint découle du théorème de représentation de Riesz pour les opérateurs linéaires sur les espaces de Hilbert .

On peut montrer que si u est adapté alors

${\displaystyle \delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},}$

où l'intégrale est à comprendre au sens Itô. Cela fournit donc une méthode d'extension de l'intégrale d'Itô à des intégrandes non adaptés.

Applications

Le calcul permet l' intégration par parties avec des variables aléatoires ; cette opération est utilisée en finance mathématique pour calculer les sensibilités des dérivés financiers . Le calcul a des applications par exemple dans le filtrage stochastique .

Les références

• Kusuoka, S. et Stroock, D. (1981) "Applications of Malliavin Calculus I", Analyse stochastique, Actes du Symposium international Taniguchi Katata et Kyoto 1982, pp 271-306
• Kusuoka, S. et Stroock, D. (1985) "Applications de Malliavin Calculus II", J. Faculty Sci. Uni. Secte de Tokyo. 1A Mathématiques. , 32 pages 1–76
• Kusuoka, S. et Stroock, D. (1987) "Applications de Malliavin Calculus III", J. Faculty Sci. Univ. Secte de Tokyo. 1A Mathématiques. , 34 pages 391-442
• Malliavin, Paul et Thalmaier, Anton. Calcul stochastique des variations en finance mathématique , Springer 2005, ISBN  3-540-43431-3
• Nualart, David (2006). Le calcul de Malliavin et sujets connexes (deuxième éd.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
• Bell, Denis. (2007) Le calcul de Malliavin , Douvres. ISBN  0-486-44994-7 ; livre électronique
• Schiller, Alex (2009) Calcul de Malliavin pour la simulation de Monte Carlo avec des applications financières . Thèse, Département de mathématiques, Université de Princeton
• Øksendal, Bernt K. (1997) Une introduction au calcul de Malliavin avec des applications à l'économie . Notes de cours, Dept. of Mathematics, University of Oslo (fichier zip contenant la thèse et l'addendum)
• Di Nunno, Giulia , Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) "Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance", Universitext, Springer. ISBN  978-3-540-78571-2

Liens externes

• Citations liées au calcul de Malliavin sur Wikiquote
• Friz, Peter K. (2005-04-10). « Une introduction au calcul de Malliavin » (PDF) . Archivé de l'original (PDF) le 2007-04-17 . Récupéré le 2007-07-23 . Notes de cours, 43 pages

• Zhang, H. (2004-11-11). « Le calcul de Malliavin » (PDF) . Récupéré le 11/11/2004 . Thèse, 100 pages