Inégalité de Markov - Markov's inequality

L'inégalité de Markov donne une borne supérieure pour la mesure de l'ensemble (indiquée en rouge) où dépasse un niveau donné . La borne combine le niveau avec la valeur moyenne de .${\style d'affichage f(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\style d'affichage f}$

En théorie des probabilités , l'inégalité de Markov donne une limite supérieure pour la probabilité qu'une fonction non négative d'une variable aléatoire soit supérieure ou égale à une constante positive . Elle porte le nom du mathématicien russe Andrey Markov , bien qu'elle soit apparue plus tôt dans les travaux de Pafnuty Chebyshev (le professeur de Markov), et de nombreuses sources, notamment en analyse , la désignent comme l'inégalité de Chebyshev (parfois, l'appelant la première inégalité de Chebyshev, tandis se référant à l'inégalité de Chebyshev comme la deuxième inégalité de Chebyshev) ou l' inégalité de Bienaymé .

L'inégalité de Markov (et d'autres inégalités similaires) relient les probabilités aux attentes et fournissent des limites (souvent lâches mais toujours utiles) pour la fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire.

Déclaration

Si X est une variable aléatoire non négative et a  > 0 , alors la probabilité que X soit au moins a est au plus l'espérance de X divisée par a :

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{a}}.}$

Soit (où ); alors nous pouvons réécrire l'inégalité précédente sous la forme ${\displaystyle a={\tilde {a}}\cdot \operatorname {E} (X)}$${\displaystyle {\tilde {a}}>0}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq {\tilde {a}}\cdot \operatorname {E} (X))\leq {\frac {1}{\tilde {a}}}.}$

Dans le langage de la théorie de la mesure , les états d'inégalité de Markov que si ( X , Σ,  μ ) est un espace de mesure , est un mesurable réel étendu fonction -Évaluées et ε > 0 , puis ${\style d'affichage f}$

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|f|\, d\mu .}$

Cette définition de la théorie de la mesure est parfois appelée inégalité de Chebyshev .

Version étendue pour les fonctions croissantes de façon monotone

Si φ est une fonction positive monotone croissante pour les réels positifs, X est une variable aléatoire, a ≥ 0 , et φ ( a ) > 0 , alors

${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}.}$

Un corollaire immédiat, en utilisant des moments plus élevés de X pris en charge sur des valeurs supérieures à 0, est

${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{n})}{a^{n}}}.}$

Preuves

Nous séparons le cas où l'espace de mesure est un espace de probabilité du cas plus général car le cas de probabilité est plus accessible pour le lecteur général.

Intuition

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {P} (X<a)\cdot \operatorname {E} (X|X<a)+\operatorname {P} (X\geq a)\cdot \nom_opérateur {E} (X|X\geq a)}$où est supérieur à 0 car rv est non négatif et est plus grand que parce que l'espérance conditionnelle ne prend en compte que les valeurs supérieures à celles que rv peut prendre. ${\displaystyle \operatorname {E} (X|X<a)}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X|X\geq a)}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage X}$

D'où intuitivement , ce qui conduit directement à . ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\geq \operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X|X\geq a)\geq a\cdot \operatorname {P} ( X\geq a)}$${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{a}}}$

Preuve probabiliste-théorique

Méthode 1 : De la définition de l'attente :

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$

Cependant, X est une variable aléatoire non négative donc,

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\, dx}$

De cela, nous pouvons dériver,

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \ int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty } f(x)\,dx=a\nom_opérateur {Pr} (X\geq a)}$

A partir de là, diviser par permet de voir que ${\style d'affichage a}$

${\displaystyle \Pr(X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)/a}$

Méthode 2 : Pour tout événement , soit la variable aléatoire indicatrice de , c'est-à-dire s'il se produit ou non. ${\style d'affichage E}$${\style d'affichage I_{E}}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage I_{E}=1}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage I_{E}=0}$

En utilisant cette notation, nous avons si l'événement se produit, et si . Puis, étant donné , ${\displaystyle I_{(X\geq a)}=1}$${\displaystyle X\geq a}$${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$${\style d'affichage X<a}$${\style d'affichage a>0}$

${\displaystyle aI_{(X\geq a)}\leq X}$

ce qui est clair si l'on considère les deux valeurs possibles de . Si , alors , et ainsi . Sinon, nous avons , pour qui et ainsi . ${\displaystyle X\geq a}$${\style d'affichage X<a}$${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$${\displaystyle aI_{(X\geq a)}=0\leq X}$${\displaystyle X\geq a}$${\displaystyle I_{X\geq a}=1}$${\displaystyle aI_{X\geq a}=a\leq X}$

Puisque est une fonction monotone croissante, l'espérance des deux côtés d'une inégalité ne peut pas l'inverser. Donc, ${\displaystyle \operatorname {E} }$

${\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(X\geq a)})\leq \operatorname {E} (X).}$

Maintenant, en utilisant la linéarité des attentes, le côté gauche de cette inégalité est le même que

${\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(X\geq a)})=a(1\cdot \operatorname {P} (X\geq a)+0\cdot \operatorname {P} (X<a ))=a\nom_opérateur {P} (X\geq a).}$

Ainsi nous avons

${\displaystyle a\operatorname {P} (X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)}$

et puisque a  > 0, nous pouvons diviser les deux côtés par  a .

Preuve théorique de la mesure

On peut supposer que la fonction est non négative, puisque seule sa valeur absolue entre dans l'équation. Considérons maintenant la fonction à valeur réelle s sur X donnée par ${\style d'affichage f}$

${\displaystyle s(x)={\begin{cases}\varepsilon ,&{\text{if }}f(x)\geq \varepsilon \\0,&{\text{if }}f(x)< \varepsilon \end{cas}}}$

Ensuite . Par la définition de l' intégrale de Lebesgue${\style d'affichage 0\leq s(x)\leq f(x)}$

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu (\{x\in X:\, f(x)\geq \varepsilon \})}$

et puisque , les deux côtés peuvent être divisés par , en obtenant ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}f\,d\mu .}$

Corollaires

L'inégalité de Chebyshev

L'inégalité de Chebyshev utilise la variance pour limiter la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte loin de la moyenne. Spécifiquement,

${\displaystyle \operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$

pour tout a > 0 . Ici Var( X ) est la variance de X, définie comme :

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}$

L'inégalité de Chebyshev découle de l'inégalité de Markov en considérant la variable aléatoire

${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}$

et la constante pour laquelle l'inégalité de Markov se lit ${\displaystyle a^{2},}$

${\displaystyle \operatorname {P} ((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a ^{2}}}.}$

Cet argument peut être résumé (où "MI" indique l'utilisation de l'inégalité de Markov) :

${\displaystyle \operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)=\operatorname {P} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2} \geq a^{2}\right)\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} \left((X- \operatorname {E} (X))^{2}\right)}{a^{2}}}={\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.}$

Autres corollaires

1. Le résultat « monotone » peut être démontré par :

   ${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)=\operatorname {P} {\big (}\varphi (|X|)\geq \varphi (a){\big )}\,{\ overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$

2. Le résultat que, pour une variable aléatoire non négative X , la fonction quantile de X satisfait :

   ${\displaystyle Q_{X}(1-p)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{p}},}$

   la preuve en utilisant

   ${\displaystyle p\leq \operatorname {P} (X\geq Q_{X}(1-p))\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\, {\frac {\nom_opérateur {E} (X)}{Q_{X}(1-p)}}.}$

3. Soit une variable aléatoire auto-adjointe matricielle et a > 0 . Puis ${\displaystyle M\succeq 0}$

   ${\displaystyle \operatorname {P} (M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\operatorname {tr} \left(E(M)\right)}{na}}.}$

   peut être montré d'une manière similaire.

Exemples

En supposant qu'aucun revenu ne soit négatif, l'inégalité de Markov montre que pas plus d'1/5 de la population ne peut avoir plus de 5 fois le revenu moyen.

Voir également

• Inégalité de Paley-Zygmund - une borne inférieure correspondante
• Inégalité de concentration - un résumé des limites terminales sur les variables aléatoires.

Les références

Liens externes

• La preuve formelle de l'inégalité de Markov dans le système de Mizar .