Idéal maximal - Maximal ideal

En mathématiques , plus précisément dans la théorie des anneaux , un idéal maximal est un idéal qui est maximale (par rapport à l' inclusion ensembliste ) parmi tous appropriés idéaux. En d'autres termes, I est un idéal maximal d'un anneau R s'il n'y a pas d'autres idéaux contenus entre I et R .

Idéaux Maximal sont importants parce que les quotients des anneaux par des idéaux maximaux sont de simples anneaux , et dans le cas particulier des unifères anneaux commutatifs ils sont aussi les champs .

Dans la théorie des anneaux non commutatifs, un idéal droit maximal est défini de manière analogue comme étant un élément maximal dans le poset d'idéaux droits propres, et de même, un idéal gauche maximal est défini comme étant un élément maximal du poset d'idéaux gauches propres. Puisqu'un idéal maximal unilatéral A n'est pas nécessairement bilatéral, le quotient R / A n'est pas nécessairement un anneau, mais c'est un module simple sur R . Si R a un unique idéal maximal droit, alors R est connu comme un anneau local , et l'idéal maximal droit est également l'unique maximal gauche et l'unique maximal bilatéral idéal de l'anneau, et est en fait le radical de Jacobson J( R ).

Il est possible pour un anneau d'avoir un unique idéal bilatéral maximal et pourtant dépourvu d'idéaux maximaux unilatérales uniques : par exemple, dans l'anneau de matrices carrées 2 par 2 sur un corps, l'idéal zéro est un idéal bilatéral maximal , mais il existe de nombreux idéaux maximaux de droite.

Définition

Il existe d'autres manières équivalentes d'exprimer la définition des idéaux maximaux à un côté et maximaux à deux côtés. Étant donné un anneau R et un idéal propre I de R (c'est-à-dire IR ), I est un idéal maximal de R si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

  • Il existe pas d' autre idéal propre J de R pour que jeJ .
  • Pour tout idéal J avec IJ , soit J = I ou J = R .
  • L'anneau quotient R / I est un anneau simple.

Il existe une liste analogue pour les idéaux unilatéraux, pour lesquels seules les versions de droite seront données. Pour un idéal droit A d'un anneau R , les conditions suivantes sont équivalentes à A étant un idéal droit maximal de R :

  • Il existe pas d' autre idéal bon droit B de R pour que AB .
  • Pour tout idéal droit B avec AB , soit B = A ou B = R .
  • Le module quotient R / A est un simple R -module droit .

Les idéaux maximaux droite/gauche/bilatéral sont la double notion d' idéaux minimaux .

Exemples

  • Si F est un corps, alors le seul idéal maximal est {0}.
  • Dans l'anneau Z des nombres entiers, les idéaux maximaux sont les idéaux principaux engendrés par un nombre premier.
  • Plus généralement, tous les idéaux premiers non nuls sont maximaux dans un domaine idéal principal .
  • L'idéal est un idéal maximal en anneau . Généralement, les idéaux maximaux de sont de la forme où est un nombre premier et est un polynôme dans lequel est irréductible modulo .
  • Tout idéal premier est un idéal maximal dans un anneau booléen, c'est-à-dire un anneau constitué uniquement d'éléments idempotents. En fait, tout idéal premier est maximal dans un anneau commutatif chaque fois qu'il existe un entier tel que pour tout .
  • Les idéaux maximaux de l' anneau polynomial sont des idéaux principaux générés par pour certains .
  • Plus généralement, les idéaux maximaux de l'anneau polynomial K [ x 1 , ..., x n ] sur un corps algébriquement clos K sont les idéaux de la forme ( x 1  −  a 1 , ..., x n  −  a n ) . Ce résultat est connu sous le nom de Nullstellensatz faible .

Propriétés

  • Un idéal important de l'anneau appelé radical de Jacobson peut être défini en utilisant des idéaux maximaux à droite (ou maximaux à gauche).
  • Si R est un anneau unitaire commutatif avec un idéal m , alors k = R / m est un corps si et seulement si m est un idéal maximal. Dans ce cas, R / m est connu comme le champ résiduel . Ce fait peut échouer dans les anneaux non unitaires. Par exemple, est un idéal maximal dans , mais n'est pas un corps.
  • Si L est un idéal maximal gauche, alors R / L est un simple R -module gauche . Inversement dans les anneaux avec unité, tout simple R -module gauche apparaît de cette façon. Incidemment, cela montre qu'une collection de représentants de R -modules gauches simples est en fait un ensemble puisqu'il peut être mis en correspondance avec une partie de l'ensemble des idéaux gauches maximaux de R .
  • Théorème de Krull (1929) : Tout anneau unitaire non nul a un idéal maximal. Le résultat est également vrai si "idéal" est remplacé par "idéal droit" ou "idéal gauche". Plus généralement, il est vrai que tout module de type fini non nula un sous-module maximal. Supposons que I soit un idéal qui n'est pas R (respectivement A est un idéal droit qui n'est pas R ). Alors R / I est un anneau avec unité (respectivement, R / A est un module de type fini), et donc les théorèmes ci-dessus peuvent être appliqués au quotient pour conclure qu'il existe un idéal maximal (respectivement, idéal maximal à droite) de R contenant I (respectivement A ).
  • Le théorème de Krull peut échouer pour les anneaux sans unité. Un anneau radical , c'est-à-dire un anneau dans lequel le radical de Jacobson est l'anneau entier, n'a pas de modules simples et n'a donc pas d'idéal maximal à droite ou à gauche. Voir les idéaux réguliers pour les moyens possibles de contourner ce problème.
  • Dans un anneau commutatif avec unité, tout idéal maximal est un idéal premier . L'inverse n'est pas toujours vrai : par exemple, dans n'importe quel domaine intégral sans champ, l'idéal zéro est un idéal premier qui n'est pas maximal. Les anneaux commutatifs dans lesquels les idéaux premiers sont maximaux sont appelés anneaux de dimension zéro , où la dimension utilisée est la dimension de Krull .
  • Un idéal maximal d'un anneau non commutatif pourrait ne pas être premier au sens commutatif. Par exemple, soit l'anneau de toutes les matrices sur . Cet anneau a un idéal maximal pour tout nombre premier , mais ce n'est pas un idéal premier puisque (dans le cas ) et ne sont pas dans , mais . Cependant, les idéaux maximaux des anneaux non commutatifs sont premiers au sens généralisé ci-dessous.

Généralisation

Pour un R - module A , un sous - module maximal M de A est un sous - module MA satisfaisant la propriété que pour toute autre sous - module N , MNA signifie N = M ou N = A . De manière équivalente, M est un sous-module maximal si et seulement si le module quotient A / M est un module simple . Les idéaux maximaux à droite d'un anneau R sont exactement les sous-modules maximaux du module R R .

Contrairement aux anneaux avec unité, un module non nul n'a pas nécessairement de sous-modules maximaux. Cependant, comme indiqué ci-dessus, les modules non nuls générés de manière finie ont des sous-modules maximaux, et les modules projectifs ont également des sous-modules maximaux.

Comme pour les anneaux, on peut définir le radical d'un module en utilisant des sous-modules maximaux. De plus, les idéaux maximaux peuvent être généralisés en définissant un sous-bimodule maximal M d'un bimodule B comme étant un sous-bimodule propre de M qui n'est contenu dans aucun autre sous-bimodule propre de M . Les idéaux maximaux de R sont alors exactement les sous-bimodules maximaux du bimodule R R R .

Les références