Moyenne - Mean

Il existe plusieurs sortes de moyennes en mathématiques , notamment en statistique .

Pour un ensemble de données , la moyenne arithmétique , également appelée moyenne arithmétique, est une valeur centrale d'un ensemble fini de nombres : plus précisément, la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. La moyenne arithmétique d'un ensemble de nombres x 1 , x 2 , ..., x n est généralement notée . Si l'ensemble de données était basé sur une série d'observations obtenues par échantillonnage à partir d'une population statistique , la moyenne arithmétique est la moyenne de l' échantillon (notée ) pour la distinguer de la moyenne, ou valeur attendue , de la distribution sous-jacente, la moyenne de la population (notée ou ).

En dehors des probabilités et des statistiques, un large éventail d'autres notions de moyenne sont souvent utilisées en géométrie et en analyse mathématique ; des exemples sont donnés ci-dessous.

Types de moyens

Pythagore signifie

Moyenne arithmétique (AM)

La moyenne arithmétique (ou simplement la moyenne ) d'une liste de nombres est la somme de tous les nombres divisée par le nombre de nombres. De même, la moyenne d'un échantillon , généralement désignée par , est la somme des valeurs échantillonnées divisée par le nombre d'éléments dans l'échantillon

Par exemple, la moyenne arithmétique de cinq valeurs : 4, 36, 45, 50, 75 est :

Moyenne géométrique (MG)

La moyenne géométrique est une moyenne utile pour les ensembles de nombres positifs, qui sont interprétés selon leur produit (comme c'est le cas avec les taux de croissance) et non leur somme (comme c'est le cas avec la moyenne arithmétique) :

Par exemple, la moyenne géométrique de cinq valeurs : 4, 36, 45, 50, 75 est :

Moyenne harmonique (HM)

La moyenne harmonique est une moyenne utile pour des ensembles de nombres définis par rapport à une unité , comme dans le cas de la vitesse (c'est-à-dire la distance par unité de temps) :

Par exemple, la moyenne harmonique des cinq valeurs : 4, 36, 45, 50, 75 est

Relation entre AM, GM et HM

Démonstration sans mots de l' inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques :
PR est un diamètre d'un cercle centré sur O ; son rayon AO est la moyenne arithmétique de a et b . En utilisant le théorème de la moyenne géométrique , l' altitude du triangle PGR GQ est la moyenne géométrique . Pour tout rapport a : b , AO GQ.

AM, GM et HM satisfont ces inégalités :

L'égalité est vérifiée si tous les éléments de l'échantillon donné sont égaux.

Localisation statistique

c'est la comparaison de la moyenne arithmétique, de la médiane et du mode de deux distributions asymétriques ( log-normales ).
Visualisation géométrique du mode, de la médiane et de la moyenne d'une fonction de densité de probabilité arbitraire.

Dans les statistiques descriptives , la moyenne peut être confondue avec la médiane , le mode ou le milieu de gamme , car l'un d'eux peut être appelé une « moyenne » (plus formellement, une mesure de tendance centrale ). La moyenne d'un ensemble d'observations est la moyenne arithmétique des valeurs ; cependant, pour les distributions asymétriques , la moyenne n'est pas nécessairement la même que la valeur médiane (médiane) ou la valeur la plus probable (mode). Par exemple, le revenu moyen est généralement faussé vers le haut par un petit nombre de personnes ayant des revenus très élevés, de sorte que la majorité a un revenu inférieur à la moyenne. En revanche, le revenu médian est le niveau auquel la moitié de la population est en dessous et la moitié est au-dessus. Le revenu modal est le revenu le plus probable et favorise le plus grand nombre de personnes à faible revenu. Alors que la médiane et le mode sont souvent des mesures plus intuitives pour de telles données asymétriques, de nombreuses distributions asymétriques sont en fait mieux décrites par leur moyenne, y compris les distributions exponentielle et de Poisson .

Moyenne d'une distribution de probabilité

La moyenne d'une distribution de probabilité est la valeur moyenne arithmétique à long terme d'une variable aléatoire ayant cette distribution. Si la variable aléatoire est notée , elle est également appelée valeur attendue de (notée ). Pour une distribution de probabilité discrète , la moyenne est donnée par , où la somme est prise sur toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et est la fonction de masse de probabilité . Pour une distribution continue , la moyenne est , où est la fonction de densité de probabilité . Dans tous les cas, y compris ceux où la distribution n'est ni discrète ni continue, la moyenne est l' intégrale de Lebesgue de la variable aléatoire par rapport à sa mesure de probabilité . La moyenne n'a pas besoin d'exister ou d'être finie ; pour certaines distributions de probabilité, la moyenne est infinie ( +∞ ou −∞ ), tandis que pour d'autres, la moyenne est indéfinie .

Moyens généralisés

Puissance moyenne

La moyenne généralisée , également appelée moyenne de puissance ou moyenne de Hölder, est une abstraction des moyennes quadratiques, arithmétiques, géométriques et harmoniques. Il est défini pour un ensemble de n nombres positifs x i par

En choisissant différentes valeurs pour le paramètre m , on obtient les types de moyennes suivants :

maximum de
moyenne quadratique
moyenne arithmétique
Moyenne géométrique
moyenne harmonique
minimum de

f -moyen

Cela peut être généralisé davantage comme la moyenne f généralisée

et encore un choix approprié d'un inversible f donnera

moyenne arithmétique ,
moyenne harmonique ,
puissance signifie ,
moyenne géométrique .

Moyenne arithmétique pondérée

La moyenne arithmétique pondérée (ou moyenne pondérée) est utilisée si l'on veut combiner des valeurs moyennes d'échantillons de tailles différentes de la même population :

Où et sont respectivement la moyenne et la taille de l'échantillon . Dans d'autres applications, ils représentent une mesure de la fiabilité de l'influence sur la moyenne par les valeurs respectives.

Moyenne tronquée

Parfois, un ensemble de nombres peut contenir des valeurs aberrantes (c'est-à-dire des valeurs de données bien inférieures ou bien supérieures aux autres). Souvent, les valeurs aberrantes sont des données erronées causées par des artefacts . Dans ce cas, on peut utiliser une moyenne tronquée . Cela implique de rejeter des parties données des données en haut ou en bas, généralement une quantité égale à chaque extrémité, puis de prendre la moyenne arithmétique des données restantes. Le nombre de valeurs supprimées est indiqué en pourcentage du nombre total de valeurs.

Moyenne interquartile

La moyenne interquartile est un exemple spécifique de moyenne tronquée. Il s'agit simplement de la moyenne arithmétique après avoir supprimé le quart des valeurs le plus bas et le plus élevé.

en supposant que les valeurs ont été ordonnées, il s'agit simplement d'un exemple spécifique d'une moyenne pondérée pour un ensemble spécifique de poids.

Moyenne d'une fonction

Dans certaines circonstances, les mathématiciens peuvent calculer une moyenne d'un ensemble infini (ou même indénombrable ) de valeurs. Cela peut se produire lors du calcul de la valeur moyenne d'une fonction . Intuitivement, une moyenne d'une fonction peut être considérée comme le calcul de l'aire sous une section d'une courbe, puis la division par la longueur de cette section. Cela peut être fait grossièrement en comptant les carrés sur du papier millimétré, ou plus précisément par intégration . La formule d'intégration s'écrit :

Dans ce cas, il faut veiller à ce que l'intégrale converge. Mais la moyenne peut être finie même si la fonction elle-même tend vers l'infini en certains points.

Moyenne des angles et grandeurs cycliques

Les angles , les heures de la journée et d'autres quantités cycliques nécessitent une arithmétique modulaire pour additionner et combiner des nombres. Dans toutes ces situations, il n'y aura pas de moyenne unique. Par exemple, les heures avant et après minuit sont équidistantes à minuit et à midi. Il est également possible qu'aucun moyen n'existe. Considérons une roue chromatique - il n'y a pas de moyen pour l'ensemble de toutes les couleurs. Dans ces situations, vous devez décider quel moyen est le plus utile. Vous pouvez le faire en ajustant les valeurs avant de calculer la moyenne ou en utilisant une approche spécialisée pour la moyenne des quantités circulaires .

Fréchet veut dire

La moyenne de Fréchet permet de déterminer le "centre" d'une distribution de masse sur une surface ou, plus généralement, une variété riemannienne . Contrairement à beaucoup d'autres moyennes, la moyenne de Fréchet est définie sur un espace dont les éléments ne peuvent pas nécessairement être additionnés ou multipliés par des scalaires. Il est parfois aussi connu sous le nom de Karcher Mean (du nom d'Hermann Karcher).

La règle de Swanson

Il s'agit d'une approximation de la moyenne pour une distribution modérément asymétrique. Il est utilisé dans l'exploration des hydrocarbures et est défini comme

P 10 , P 50 et P 90 10e, 50e et 90e centiles de la distribution.

Autres moyens

Voir également

Remarques

Les références