Fonction mesurable - Measurable function

En mathématiques et en particulier la théorie de la mesure , une fonction mesurable est une fonction entre les ensembles sous - jacents de deux espaces mesurables qui préserve la structure des espaces: l' image réciproque de tout mesurable ensemble est mesurable. Ceci est en analogie directe avec la définition qu'une fonction continue entre les espaces topologiques préserve la structure topologique : la préimage de tout ensemble ouvert est ouverte. En analyse réelle , des fonctions mesurables sont utilisées dans la définition de l' intégrale de Lebesgue . En théorie des probabilités , une fonction mesurable sur un espace de probabilité est appelée variable aléatoire .

Définition formelle

Soit et être des espaces mesurables, c'est-à-dire que et sont des ensembles équipés de -algèbres respectives et Une fonction est dite mesurable si pour tout la pré-image de under est dans ; c'est-à-dire pour tous${\style d'affichage (X,\Sigma )}$${\displaystyle (O,\mathrm {T} )}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage \sigma }$ ${\style d'affichage \Sigma }$${\displaystyle \mathrm {T} .}$${\style d'affichage f:X\à Y}$${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage \Sigma }$${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$

C'est-à-dire où est la -algèbre générée par f . Si est une fonction mesurable, nous écrirons ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$${\style d'affichage \sigma (f)}$${\style d'affichage f:X\à Y}$

souligner la dépendance aux -algèbres et${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage \Sigma }$${\displaystyle \mathrm {T} .}$

Variations d'utilisation des termes

Le choix des -algèbres dans la définition ci-dessus est parfois implicite et laissé au contexte. Par exemple, pour ou d'autres espaces topologiques, l' algèbre de Borel (contenant tous les ensembles ouverts) est un choix courant. Certains auteurs définissent les fonctions mesurables comme étant exclusivement à valeurs réelles par rapport à l'algèbre de Borel. ${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Si les valeurs de la fonction se trouvent dans un espace vectoriel de dimension infinie , d'autres définitions non équivalentes de la mesurabilité, telles que la mesurabilité faible et la mesurabilité de Bochner , existent.

Classes notables de fonctions mesurables

• Les variables aléatoires sont par définition des fonctions mesurables définies sur des espaces de probabilité.
• Si et sont des espaces de Borel , une fonction mesurable est aussi appelée fonction de Borel . Les fonctions continues sont des fonctions Borel, mais toutes les fonctions Borel ne sont pas continues. Cependant, une fonction mesurable est presque une fonction continue ; voir le théorème de Luzin . Si une fonction Borel se trouve être une section d'une carte, elle est appelée section Borel .${\style d'affichage (X,\Sigma )}$${\style d'affichage (Y,T)}$${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$
• Une fonction mesurable de Lebesgue est une fonction mesurable où est la -algèbre des ensembles mesurables de Lebesgue, et est l' algèbre de Borel sur les nombres complexes Les fonctions mesurables de Lebesgue sont intéressantes en analyse mathématique car elles peuvent être intégrées. Dans le cas de Lebesgue mesurable ssi est mesurable pour tout Ceci est également équivalent à n'importe lequel d' être mesurable pour tous ou à la préimage d'un ensemble ouvert d'être mesurable. Les fonctions continues, les fonctions monotones, les fonctions échelonnées, les fonctions semi-continues, les fonctions intégrables de Riemann et les fonctions de variation bornée sont toutes mesurables par Lebesgue. Une fonction est mesurable si les parties réelle et imaginaire sont mesurables.${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\style d'affichage f}$${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$${\style d'affichage \alpha ,}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Propriétés des fonctions mesurables

• La somme et le produit de deux fonctions mesurables à valeurs complexes sont mesurables. Le quotient aussi, tant qu'il n'y a pas de division par zéro.
• Si et sont des fonctions mesurables, alors leur composition l'est aussi${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$
• Si et sont des fonctions mesurables, leur composition n'a pas besoin d'être -mesurable à moins qu'en effet, deux fonctions Lebesgue-mesurables puissent être construites de manière à rendre leur composition non-Lebesgue-mesurable.${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$${\style d'affichage (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$
• Le supremum (point par point) , l' infimum , la limite supérieure et la limite inférieure d'une séquence (c'est-à-dire un nombre incalculable) de fonctions mesurables à valeur réelle sont également mesurables.
• La limite ponctuelle d'une suite de fonctions mesurables est mesurable, où est un espace métrique (doté de l'algèbre de Borel). Ce n'est pas vrai en général si est non métrisable. Notez que l'énoncé correspondant pour les fonctions continues nécessite des conditions plus strictes que la convergence ponctuelle, comme la convergence uniforme.${\displaystyle f_{n}:X\à Y}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage Y}$

Fonctions non mesurables

Les fonctions à valeur réelle rencontrées dans les applications ont tendance à être mesurables ; cependant, il n'est pas difficile de prouver l'existence de fonctions non mesurables. De telles preuves reposent sur l' axiome du choix d'une manière essentielle, dans le sens où la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix ne prouve pas l'existence de telles fonctions.

Dans tout espace de mesure avec un ensemble non mesurable, on peut construire une fonction indicatrice non mesurable : ${\style d'affichage (X,\Sigma )}$ ${\style d'affichage A\sous-ensemble X,}$ ${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$

où est équipé de l' algèbre de Borel habituelle . Il s'agit d'une fonction non mesurable puisque la préimage de l'ensemble mesurable est la fonction non mesurable${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage \{1\}}$${\style d'affichage A.}$  

Comme autre exemple, toute fonction non constante est non mesurable par rapport à l' algèbre triviale puisque la pré-image de tout point de l'intervalle est un sous-ensemble propre et non vide qui n'est pas un élément de la triviale.${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage \Sigma .}$

Voir également

• Fonction mesurable Bochner
• Espace Bochner
• Espace Lp  – Espaces de fonctions généralisant les espaces normés p de dimension finie - Espaces vectoriels de fonctions mesurables : les

espaces${\displaystyle L^{p}}$

Système dynamique préservant la mesure  – Sujet d'étude en théorie ergodique

Mesure vectorielle

Fonction faiblement mesurable

Remarques

Liens externes

• Fonction mesurable à l' Encyclopédie des mathématiques
• Fonction de Borel à l' Encyclopédie des mathématiques