Surface minimale - Minimal surface

Une surface minimale hélicoïdale formée par un film de savon sur un cadre hélicoïdal

En mathématiques , une surface minimale est une surface qui minimise localement son aire. Cela équivaut à avoir une courbure moyenne nulle (voir les définitions ci-dessous).

Le terme "surface minimale" est utilisé parce que ces surfaces sont apparues à l'origine comme des surfaces qui minimisaient la surface totale soumise à une certaine contrainte. Des modèles physiques de surfaces minimales minimisant la surface peuvent être créés en trempant un fil de fer dans une solution de savon, formant un film de savon , qui est une surface minimale dont la limite est le fil de fer. Cependant, le terme est utilisé pour des surfaces plus générales qui peuvent s'auto-intersecter ou n'ont pas de contraintes. Pour une contrainte donnée il peut également exister plusieurs surfaces minimales d'aires différentes (par exemple, voir surface minimale de révolution ) : les définitions standards ne concernent qu'un optimum local , pas un optimum global .

Définitions

Surface minimale de tour de selle . Alors que tout petit changement de la surface augmente sa surface, il existe d'autres surfaces avec la même limite avec une surface totale plus petite.

Les surfaces minimales peuvent être définies de plusieurs manières équivalentes dans R 3 . Le fait qu'elles soient équivalentes sert à démontrer à quel point la théorie des surfaces minimales se situe au carrefour de plusieurs disciplines mathématiques, notamment la géométrie différentielle , le calcul des variations , la théorie du potentiel , l' analyse complexe et la physique mathématique .

Définition moins la zone locale : une surface MR 3 est minimale si et seulement si chaque point pM a un voisinage , délimitée par une courbe fermée simple, qui a le moins de zone parmi toutes les surfaces ayant la même limite.

Cette propriété est locale : il peut exister des régions dans une surface minimale, ainsi que d'autres surfaces de plus petite surface qui ont la même frontière. Cette propriété établit un lien avec les films de savon ; un film de savon déformé pour avoir un fil de fer comme limite minimisera la surface.

Définition variationnelle : A surface MR 3 est minime si et seulement si elle est un point critique de la zone fonctionnelle pour tous les support compact variations .

Cette définition fait des surfaces minimales un analogue bidimensionnel des géodésiques , qui sont définies de manière analogue comme des points critiques de la fonction de longueur.

Plans de courbure de surface minimale. Sur une surface minimale, les courbures le long des principaux plans de courbure sont égales et opposées en tout point. Cela rend la courbure moyenne nulle.
Définition de la courbure moyenne : surface A MR 3 est minimale si et seulement si la courbure moyenne est égale à zéro à tous les points.

Une implication directe de cette définition est que chaque point sur la surface est un point de selle avec des courbures principales égales et opposées . De plus, cela fait des surfaces minimales les solutions statiques de l' écoulement à courbure moyenne . Par l' équation de Young-Laplace , la courbure moyenne d'un film de savon est proportionnelle à la différence de pression entre les côtés. Si le film de savon n'enferme pas une région, cela rendra sa courbure moyenne nulle. En revanche, une bulle de savon sphérique enferme une région qui a une pression différente de la région extérieure, et en tant que telle n'a pas de courbure moyenne nulle.

Définition de l'équation différentielle : Une surface MR 3 est minimale si et seulement si elle peut être exprimée localement comme le graphe d'une solution de

L'équation aux dérivées partielles dans cette définition a été trouvée à l'origine en 1762 par Lagrange , et Jean Baptiste Meusnier a découvert en 1776 qu'elle impliquait une courbure moyenne nulle.

Définition de l' énergie : A conformationnelle immersion X : MR 3 est minime si et seulement si elle est un point critique de l' énergie Dirichlet pour toutes les variantes prises en charge de façon compacte, ou de manière équivalente si un point quelconque pM a un voisinage avec moins d' énergie par rapport à sa frontière.

Cette définition lie les surfaces minimales aux fonctions harmoniques et à la théorie du potentiel .

Définition harmonique : Si X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) : MR 3 est une immersion isométrique d'une surface de Riemann dans l'espace 3-, alors X est dit minimal chaque fois que x i est une fonction harmonique sur M pour chaque i .

Une implication directe de cette définition et du principe du maximum pour les fonctions harmoniques est qu'il n'y a pas de surfaces minimales complètes compactes dans R 3 .

Définition de la carte de Gauss : Une surface MR 3 est minimale si et seulement si sa carte de Gauss projetée stéréographiquement g : MC ∪ {∞} est méromorphe par rapport à la structure de surface de Riemann sous-jacente , et M n'est pas un morceau de sphère .

Cette définition utilise que la courbure moyenne est la moitié de la trace de l' opérateur de forme , qui est liée aux dérivées de la carte de Gauss. Si la carte de Gauss projetée obéit aux équations de Cauchy-Riemann alors soit la trace disparaît, soit chaque point de M est ombilic , auquel cas il s'agit d'un morceau de sphère.

La moindre aire locale et les définitions variationnelles permettent d'étendre les surfaces minimales à d'autres variétés riemanniennes que R 3 .

Histoire

La théorie des surfaces minimales provient de Lagrange qui, en 1762, a considéré le problème variationnel consistant à trouver la surface z = z ( x , y ) de la plus petite surface étirée sur un contour fermé donné. Il a dérivé l' équation d'Euler-Lagrange pour la solution

Il n'a pas réussi à trouver de solution au-delà de l'avion. En 1776, Jean Baptiste Marie Meusnier a découvert que l' hélicoïde et le caténoïde satisfont à l'équation et que l'expression différentielle correspond à deux fois la courbure moyenne de la surface, concluant que les surfaces avec une courbure moyenne nulle minimisent l'aire.

En développant l'équation de Lagrange à

Gaspard Monge et Legendre en 1795 ont dérivé des formules de représentation pour les surfaces de solution. Bien que ceux-ci aient été utilisés avec succès par Heinrich Scherk en 1830 pour dériver ses surfaces , ils étaient généralement considérés comme pratiquement inutilisables. Catalan a prouvé en 1842-1843 que l'hélicoïde est la seule exclue surface minimale.

Les progrès avaient été assez lents jusqu'au milieu du siècle, lorsque le problème de Björling a été résolu à l'aide de méthodes complexes. Le « premier âge d'or » des surfaces minimales a commencé. Schwarz a trouvé la solution du problème de Plateau pour un quadrilatère régulier en 1865 et pour un quadrilatère général en 1867 (permettant la construction de ses familles de surfaces périodiques ) en utilisant des méthodes complexes. Weierstrass et Enneper ont développé des formules de représentation plus utiles , liant fermement les surfaces minimales à l' analyse complexe et aux fonctions harmoniques . D'autres contributions importantes sont venues de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret et Weingarten.

Entre 1925 et 1950, la théorie des surfaces minimales est relancée, désormais principalement axée sur les surfaces minimales non paramétriques. La solution complète du problème du Plateau par Jesse Douglas et Tibor Radó a été une étape importante. Le problème de Bernstein et les travaux de Robert Osserman sur les surfaces minimales complètes de courbure totale finie étaient également importants.

Un autre renouveau a commencé dans les années 1980. Une cause a été la découverte en 1982 par Celso Costa d' une surface qui a réfuté la conjecture selon laquelle le plan, le caténoïde et l'hélicoïde sont les seules surfaces minimales complètes encastrées dans R 3 de type topologique fini. Cela a non seulement stimulé de nouveaux travaux sur l'utilisation des anciennes méthodes paramétriques, mais a également démontré l'importance de l'infographie pour visualiser les surfaces étudiées et des méthodes numériques pour résoudre le « problème de période » (lors de l'utilisation de la méthode des surfaces conjuguées pour déterminer les taches de surface qui peuvent être assemblés en une surface symétrique plus grande, certains paramètres doivent être appariés numériquement pour produire une surface incrustée). Une autre cause a été la vérification par H. Karcher que les surfaces minimales triplement périodiques initialement décrites empiriquement par Alan Schoen en 1970 existent réellement. Cela a conduit à une riche ménagerie de familles de surfaces et de méthodes pour dériver de nouvelles surfaces à partir d'anciennes, par exemple en ajoutant des poignées ou en les déformant.

Actuellement, la théorie des surfaces minimales s'est diversifiée en sous-variétés minimales dans d'autres géométries ambiantes, devenant pertinente pour la physique mathématique (par exemple la conjecture de masse positive , la conjecture de Penrose ) et la géométrie à trois variétés (par exemple la conjecture de Smith , la conjecture de Poincaré , la géométrie de Thurston Conjecture ).

Exemples

Les exemples classiques de surfaces minimales incluent :

  • l' avion , qui est un cas trivial
  • caténoïdes : surfaces minimales réalisées en faisant tourner une caténaire une fois autour de sa directrice
  • hélicoïdes : surface balayée par une ligne tournant à vitesse uniforme autour d'un axe perpendiculaire à la ligne et se déplaçant simultanément le long de l'axe avec une vitesse uniforme

Les surfaces de l'âge d'or du 19e siècle comprennent :

Les surfaces modernes comprennent :

  • le gyroïde : une des surfaces de Schoen de 1970, une surface triplement périodique d'un intérêt particulier pour la structure des cristaux liquides
  • la famille des tours de selle : généralisations de la deuxième surface de Scherk
  • Surface minimale de Costa : réfutation des conjectures célèbres. Décrit en 1982 par Celso Costa et visualisé plus tard par Jim Hoffman . Jim Hoffman, David Hoffman et William Meeks III ont ensuite étendu la définition pour produire une famille de surfaces avec différentes symétries de rotation.
  • la famille de surfaces Chen-Gackstatter , ajoutant des poignées à la surface Enneper.

Généralisations et liens vers d'autres domaines

Les surfaces minimales peuvent être définies dans d'autres variétés que R 3 , telles que l'espace hyperbolique , les espaces de dimension supérieure ou les variétés riemanniennes .

La définition des surfaces minimales peut être généralisée / étendue aux surfaces de courbure moyenne constante : les surfaces avec une courbure moyenne constante, qui ne doivent pas égaux à zéro.

En géométrie différentielle discrète, des surfaces minimales discrètes sont étudiées : des complexes simpliciaux de triangles qui minimisent leur aire sous de petites perturbations de leurs positions de sommet. De telles discrétisations sont souvent utilisées pour approximer numériquement des surfaces minimales, même si aucune expression de forme fermée n'est connue.

Le mouvement brownien sur une surface minimale conduit à des preuves probabilistes de plusieurs théorèmes sur des surfaces minimales.

Les surfaces minimales sont devenues un domaine d'étude scientifique intense, en particulier dans les domaines de l'ingénierie moléculaire et de la science des matériaux , en raison de leurs applications prévues dans l' auto-assemblage de matériaux complexes. Il est proposé que le réticulum endoplasmique , une structure importante en biologie cellulaire, soit soumis à une pression évolutive pour se conformer à une surface minimale non triviale.

Dans les domaines de la relativité générale et de la géométrie lorentzienne , certaines extensions et modifications de la notion de surface minimale, appelées horizons apparents , sont significatives. Contrairement à l' horizon des événements , ils représentent une approche basée sur la courbure pour comprendre les limites des trous noirs .

La tente de cirque se rapproche d'une surface minimale.

Les structures avec des surfaces minimales peuvent être utilisées comme tentes.

Les surfaces minimales font partie de la boîte à outils de conception générative utilisée par les designers modernes. En architecture, il y a eu beaucoup d'intérêt pour les structures tendues , qui sont étroitement liées aux surfaces minimales. Un exemple célèbre est l' Olympiapark de Münich de Frei Otto , inspiré des surfaces en savon.

Dans le monde de l'art, les surfaces minimales ont été largement explorées dans la sculpture de Robert Engman (1927-), Robert Longhurst (1949-) et Charles O. Perry (1929-2011), entre autres.

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Manuels

  • Tobias Holck Colding et William P. Minicozzi, II. Un cours de surfaces minimales. Études supérieures en mathématiques, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. ISBN  978-0-8218-5323-8
  • R. Courant. Principe de Dirichlet, cartographie conforme et surfaces minimales. Annexe par M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., New York, NY, 1950. xiii+330 pp.
  • Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt et Friedrich Sauvigny. Surfaces minimales. Deuxième édition revue et augmentée. Avec l'aide et les contributions de A. Küster et R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 pp. ISBN  978-3-642-11697-1 , doi : 10.1007/978-3-642-11698-8 accès fermé , MR 2566897
  • H. Blaine Lawson, Jr. Conférences sur les sous-variétés minimales. Vol. I. Deuxième édition. Série de conférences sur les mathématiques, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 pp. ISBN  0-914098-18-7
  • Johannes CC Nitsche. Cours sur des surfaces minimales. Vol. 1. Introduction, principes fondamentaux, géométrie et problèmes de base aux limites. Traduit de l'allemand par Jerry M. Feinberg. Avec une préface allemande. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 pp. ISBN  0-521-24427-7
  • Robert Osserman. Une étude des surfaces minimales. Deuxième édition. Dover Publications, Inc., New York, 1986. vi+207 pp. ISBN  0-486-64998-9 , MR 0852409

Ressources en ligne

Liens externes