Modus ponens -Modus ponens

Dans la logique propositionnelle , modus ponens ( / m d ə s p n ɛ n z / ; MP ), également connu sous le modus ponendo ponens ( latin pour "Procédé de mise en plaçant") ou l' élimination d'implication ou affirmer l'antécédent , est une forme d' argument déductif et une règle d' inférence . On peut le résumer ainsi : « P implique Q. P est vrai. Par conséquent, Q doit aussi être vrai.

Le modus ponens est étroitement lié à une autre forme d'argument valable , le modus tollens . Les deux ont des formes apparemment similaires mais invalides telles que l' affirmation du conséquent , la négation de l'antécédent et la preuve de l'absence . Le dilemme constructif est la version disjonctive du modus ponens . Le syllogisme hypothétique est étroitement lié au modus ponens et est parfois considéré comme un « double modus ponens ».

L'histoire du modus ponens remonte à l' antiquité . Le premier à décrire explicitement la forme d'argument modus ponens était Théophraste . C'est, avec le modus tollens , l'un des modèles d'inférence standard qui peuvent être appliqués pour dériver des chaînes de conclusions qui mènent à l'objectif souhaité.

Explication

La forme d'un argument de modus ponens ressemble à un syllogisme , avec deux prémisses et une conclusion :

Si P , alors Q .
P .
Par conséquent, Q .

La première prémisse est une affirmation conditionnelle ("si-alors"), à savoir que P implique Q . La deuxième prémisse est une affirmation selon laquelle P , l' antécédent de la revendication conditionnelle, est le cas. De ces deux prémisses, on peut logiquement conclure que Q , le conséquent de l'affirmation conditionnelle, doit être également le cas.

Un exemple d'argument qui correspond à la forme modus ponens :

Si aujourd'hui est mardi, alors John ira travailler.
aujourd'hui, c'est mardi ..
Par conséquent, John ira travailler.

Cet argument est valide , mais cela n'a aucune incidence sur le fait que l'une des déclarations de l'argument soit réellement vraie ; pour que le modus ponens soit un argument valable , les prémisses doivent être vraies pour toutes les instances vraies de la conclusion. Un argument peut être valide mais néanmoins erroné si une ou plusieurs prémisses sont fausses ; si un argument est valide et que toutes les prémisses sont vraies, alors l'argument est valable. Par exemple, John pourrait aller travailler mercredi. Dans ce cas, le raisonnement pour que John aille travailler (parce que c'est mercredi) n'est pas solide. L'argument n'est valable que le mardi (quand John va au travail), mais valable tous les jours de la semaine. Un argument propositionnel utilisant le modus ponens est dit déductif .

Dans les calculs séquentiels à conclusion unique , le modus ponens est la règle de coupe. Le théorème d'élimination de coupure pour un calcul dit que chaque preuve impliquant Cut peut être transformée (généralement, par une méthode constructive) en une preuve sans Cut, et donc que Cut est admissible .

La correspondance de Curry-Howard entre les preuves et les programmes relie le modus ponens à l'application de la fonction : si f est une fonction de type PQ et x est de type P , alors fx est de type Q .

En intelligence artificielle , le modus ponens est souvent appelé enchaînement avancé .

Notation formelle

La règle du modus ponens peut être écrite en notation séquentielle comme

P , Q et PQ sont des énoncés (ou des propositions) dans un langage formel et est un symbole métalogique signifiant que Q est une conséquence syntaxique de P et PQ dans un système logique .

Justification via table de vérité

La validité du modus ponens dans la logique classique à deux valeurs peut être clairement démontrée par l'utilisation d'une table de vérité .

p q pq
T T T
T F F
F T T
F F T

Dans les cas de modus ponens, nous supposons comme prémisses que pq est vrai et p est vrai. Une seule ligne de la table de vérité, la première, satisfait à ces deux conditions ( p et pq ). Sur cette ligne, q est également vrai. Par conséquent, chaque fois que pq est vrai et que p est vrai, q doit également être vrai.

Statut

Alors que le modus ponens est l'une des formes d'argumentation les plus couramment utilisées en logique, il ne doit pas être confondu avec une loi logique ; c'est plutôt l'un des mécanismes acceptés pour la construction de preuves déductives qui inclut la « règle de définition » et la « règle de substitution ». Le modus ponens permet d'éliminer un énoncé conditionnel d'une preuve ou d'un argument logique (les antécédents) et ainsi de ne pas reporter ces antécédents dans une chaîne de symboles qui s'allonge sans cesse ; pour cette raison, le modus ponens est parfois appelé la règle du détachement ou la loi du détachement . Enderton, par exemple, observe que "le modus ponens peut produire des formules plus courtes à partir de formules plus longues", et Russell observe que "le processus de l'inférence ne peut pas être réduit à des symboles. Son seul enregistrement est l'occurrence de q [le conséquent] .. . une inférence est l'abandon d'une prémisse vraie; c'est la dissolution d'une implication".

Une justification de la "confiance dans l'inférence est la croyance que si les deux affirmations précédentes [les antécédents] ne sont pas erronées, l'assertion finale [le conséquent] n'est pas erronée". En d'autres termes : si un énoncé ou une proposition en implique un second et que le premier énoncé ou proposition est vrai, alors le second est également vrai. Si P implique Q et P est vrai, alors Q est vrai.

Correspondance avec d'autres cadres mathématiques

Calcul de probabilité

Modus ponens représente une instance de la loi de probabilité totale qui, pour une variable binaire, est exprimée par :

,

où par exemple désigne la probabilité de et la probabilité conditionnelle généralise l'implication logique . Supposons que cela équivaut à être VRAI, et cela équivaut à être FAUX. Il est alors facile de voir que quand et . Par conséquent, la loi de probabilité totale représente une généralisation du modus ponens .

Logique subjective

Modus ponens représente une instance de l'opérateur de déduction binomiale dans la logique subjective exprimée comme :

,

où désigne l'opinion subjective sur telle qu'exprimée par la source , et l'opinion conditionnelle généralise l'implication logique . L'opinion marginale déduite sur est notée . Le cas où est une opinion absolue VRAIE sur est équivalent à la source disant que c'est VRAI, et le cas où est une opinion absolue FAUX sur est équivalent à la source disant que c'est FAUX. L'opérateur de déduction de la logique subjective produit une opinion déduite VRAIE absolue lorsque l'opinion conditionnelle est VRAIE absolue et l'opinion antécédente est VRAIE absolue. Par conséquent, la déduction logique subjective représente une généralisation à la fois du modus ponens et de la loi de probabilité totale .

Cas présumés d'échec

Les philosophes et les linguistes ont identifié une variété de cas où le modus ponens semble échouer. Un contre-exemple putatif célèbre a été identifié par Vann McGee , qui a soutenu que le modus ponens peut échouer pour les conditionnels dont les conséquents sont eux-mêmes des conditionnels.

  1. Soit Shakespeare soit Hobbes ont écrit Hamlet .
  2. Si Shakespeare ou Hobbes ont écrit Hamlet , alors si Shakespeare ne l'a pas fait, Hobbes l'a fait.
  3. Par conséquent, si Shakespeare n'a pas écrit Hamlet , Hobbes l'a fait.

Puisque Shakespeare a écrit Hamlet , la première prémisse est vraie. La seconde prémisse est également vraie, puisque partir d'un ensemble d'auteurs possibles limités à Shakespeare et Hobbes et éliminer l'un d'eux ne laisse que l'autre. Cependant, la conclusion peut sembler fausse car exclure Shakespeare comme auteur d' Hamlet laisserait de nombreux candidats possibles, dont beaucoup d'alternatives plus plausibles que Hobbes.

La forme générale des contre-exemples de type McGee au modus ponens est donc simplement . il n'est pas indispensable qu'il s'agisse d'une disjonction, comme dans l'exemple donné. Que ces types de cas constituent des échecs de modus ponens reste une opinion minoritaire parmi les logiciens, mais les opinions varient sur la façon dont les cas devraient être traités.

Dans la logique déontique , certains exemples d'obligation conditionnelle soulèvent également la possibilité d'un échec modus ponens . Il s'agit de cas où la prémisse conditionnelle décrit une obligation fondée sur une action immorale ou imprudente, par exemple, « Si Doe assassine sa mère, il devrait le faire doucement », pour laquelle la conclusion inconditionnelle douteuse serait « Doe devrait doucement assassiner son mère." Il semblerait s'ensuivre que si Doe assassine en fait doucement sa mère, alors par modus ponens il fait exactement ce qu'il devrait, inconditionnellement, faire. Là encore, l' échec du modus ponens n'est pas un diagnostic courant mais est parfois argumenté.

Erreurs possibles

Le sophisme d' affirmer le conséquent est une interprétation erronée courante du modus ponens .

Voir également

Les références

Sources

  • Herbert B. Enderton, 2001, A Mathematical Introduction to Logic Second Edition , Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN  978-0-12-238452-3 .
  • Audun Jøsang, 2016, Logique subjective ; Un formalisme pour le raisonnement sous incertitude Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1
  • Alfred North Whitehead et Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica à *56 (deuxième édition) édition de poche 1962, Cambridge à l'University Press, Londres Royaume-Uni. Pas d'ISBN, pas de LCCCN.
  • Alfred Tarski 1946 Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences 2nd Edition, réimprimé par Dover Publications, Mineola NY. ISBN  0-486-28462-X (pbk).

Liens externes