Morphisme - Morphism

En mathématiques , en particulier dans la théorie des catégories , un morphisme est une structure préservant carte d'une structure mathématique à un autre du même type. La notion de morphisme revient dans une grande partie des mathématiques contemporaines. En théorie des ensembles , les morphismes sont des fonctions ; en algèbre linéaire , linéaire transformations ; en théorie des groupes , homomorphismes de groupe ; en topologie , fonctions continues , etc.

Dans la théorie des catégories , le morphisme est une idée largement similaire : les objets mathématiques impliqués n'ont pas besoin d'être des ensembles, et les relations entre eux peuvent être autre chose que des cartes, bien que les morphismes entre les objets d'une catégorie donnée doivent se comporter de la même manière que les cartes dans ce ils doivent admettre une opération associative similaire à la composition de fonctions . Un morphisme en théorie des catégories est une abstraction d'un homomorphisme .

L'étude des morphismes et des structures (appelées « objets ») sur lesquelles ils sont définis est au cœur de la théorie des catégories. Une grande partie de la terminologie des morphismes, ainsi que l'intuition qui les sous-tend, vient de catégories concrètes , où les objets sont simplement des ensembles avec une structure supplémentaire , et les morphismes sont des fonctions de préservation de la structure . Dans la théorie des catégories, les morphismes sont parfois aussi appelés flèches .

Définition

Une catégorie C se compose de deux classes , l'une d' objets et l'autre de morphismes . Il y a deux objets qui sont associés à chaque morphisme, la source et la cible . Un morphisme f de source X et de cible Y s'écrit f  : XY , et est représenté schématiquement par une flèche de X à Y .

Pour de nombreuses catégories courantes, les objets sont des ensembles (souvent avec une structure supplémentaire) et les morphismes sont des fonctions d'un objet à un autre objet. Par conséquent, la source et la cible d'un morphisme sont souvent appelées domaine etcodomaine respectivement.

Les morphismes sont dotés d'une opération binaire partielle , appelée composition . La composition de deux morphismes f et g est définie précisément lorsque la cible de f est la source de g , et est notée gf (ou parfois simplement gf ). La source de gf est la source de f , et la cible de gf est la cible de g . La composition satisfait à deux axiomes :

Identité
Pour tout objet X , il existe un morphisme id X  : XX appelé morphisme identité sur X , tel que pour tout morphisme f  : AB on a id Bf = f = f id A .
L'associativité
h ∘ ( gf ) = ( hg ) ∘ f chaque fois que toutes les compositions sont définies, c'est-à-dire lorsque la cible de f est la source de g , et la cible de g est la source de h .

Pour une catégorie concrète (une catégorie dans laquelle les objets sont des ensembles, éventuellement avec une structure supplémentaire, et les morphismes sont des fonctions préservant la structure), le morphisme d'identité est simplement la fonction d'identité , et la composition est juste une composition ordinaire de fonctions .

La composition des morphismes est souvent représentée par un diagramme commutatif . Par example,

Diagramme commutatif pour morphism.svg

La collection de tous les morphismes de X à Y est notée Hom C ( X , Y ) ou simplement Hom( X , Y ) et appelée le hom-set entre X et Y . Certains auteurs écrivent Mor C ( X , Y ), Mor( X , Y ) ou C( X , Y ). Notez que le terme hom-set est quelque peu impropre, car la collection de morphismes n'a pas besoin d'être un ensemble ; une catégorie où Hom( X , Y ) est un ensemble pour tous les objets X et Y est appelée localement small . Parce que les ensembles hom peuvent ne pas être des ensembles, certaines personnes préfèrent utiliser le terme "classe hom".

Notez que le domaine et le codomaine font en fait partie des informations déterminant un morphisme. Par exemple, dans la catégorie des ensembles , où les morphismes sont des fonctions, deux fonctions peuvent être identiques en tant qu'ensembles de paires ordonnées (peuvent avoir la même plage ), tout en ayant des codomaines différents. Les deux fonctions sont distinctes du point de vue de la théorie des catégories. Ainsi de nombreux auteurs exigent que les hom-classes Hom( X , Y ) soient disjointes . En pratique, ce n'est pas un problème car si cette disjonction ne tient pas, elle peut être assurée en ajoutant le domaine et le codomaine aux morphismes (disons, en tant que deuxième et troisième composants d'un triplet ordonné).

Quelques morphismes particuliers

Monomorphismes et épimorphismes

Un morphisme f : XY est appelé un monomorphisme si fg 1 = fg 2 implique g 1 = g 2 pour tous les morphisms g 1 , g 2 : ZX . Un monomorphisme peut être appelé un mono en abrégé, et nous pouvons utiliser monic comme adjectif. Un morphisme f a un inverse à gauche ou est un monomorphisme scindé s'il existe un morphisme g : YX tel que gf = id X . Ainsi fg : YY est idempotente ; qui est, ( fg ) 2 = f ∘ ( gf ) ∘ g = fg . L'inverse de gauche g est aussi appelé rétraction de f .

Les morphismes avec des inverses à gauche sont toujours des monomorphismes, mais l'inverse n'est pas vrai en général ; un monomorphisme peut ne pas avoir d'inverse à gauche. Dans les catégories concrètes , une fonction qui a un inverse à gauche est injective . Ainsi, dans les catégories concrètes, les monomorphismes sont souvent, mais pas toujours, injectifs. La condition d'être une injection est plus forte que celle d'être un monomorphisme, mais plus faible que celle d'être un monomorphisme fractionné.

Duellement aux monomorphismes, un morphisme f : XY est appelé un épimorphisme si g 1f = g 2f implique g 1 = g 2 pour tous les morphismes g 1 , g 2 : YZ . Un épimorphisme peut être appelé épi en abrégé, et nous pouvons utiliser épique comme adjectif. Un morphisme f a un inverse à droite ou est un epimorphisme fendu s'il existe un morphisme g : YX tel que fg = id Y . L'inverse de droite g est aussi appelé une section de f . Les morphismes ayant un inverse droit sont toujours des épimorphismes, mais l'inverse n'est pas vrai en général, car un épimorphisme peut ne pas avoir d'inverse droit.

Si un monomorphisme f se scinde avec l'inverse à gauche g , alors g est un épimorphisme scindé avec l'inverse à droite f . Dans les catégories concrètes , une fonction qui a un inverse à droite est surjective . Ainsi dans les catégories concrètes, les épimorphismes sont souvent, mais pas toujours, surjectifs. La condition d'être une surjection est plus forte que celle d'être un épimorphisme, mais plus faible que celle d'être un épimorphisme scindé. Dans la catégorie des ensembles , l'affirmation que chaque surjection a une section équivaut à l' axiome du choix .

Un morphisme qui est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme est appelé bimorphisme .

Isomorphismes

Un morphisme f : XY est appelé un isomorphisme s'il existe un morphisme g : YX tel que fg = id Y et gf = id X . Si un morphisme a à la fois un inverse à gauche et un inverse à droite, alors les deux inverses sont égaux, donc f est un isomorphisme et g est simplement appelé l' inverse de f . Les morphismes inverses, s'ils existent, sont uniques. L'inverse g est aussi un isomorphisme, avec l'inverse f . Deux objets avec un isomorphisme entre eux sont dits isomorphes ou équivalents.

Alors que tout isomorphisme est un bimorphisme, un bimorphisme n'est pas nécessairement un isomorphisme. Par exemple, dans la catégorie des anneaux commutatifs l'inclusion ZQ est un bimorphisme qui n'est pas un isomorphisme. Cependant, tout morphisme qui est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme fractionné , ou à la fois un monomorphisme et un épimorphisme fractionné , doit être un isomorphisme. Une catégorie, telle que Set , dans laquelle chaque bimorphisme est un isomorphisme est appelée catégorie équilibrée .

Endomorphismes et automorphismes

Un morphisme f : XX (c'est-à-dire un morphisme de source et de cible identiques) est un endomorphisme de X . Un endomorphism fendu est un endomorphisme idempotent f si f admet une décomposition f = hg avec gh = id. En particulier, l' enveloppe de Karoubi d'une catégorie scinde tout morphisme idempotent.

Un automorphisme est un morphisme qui est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme. Dans chaque catégorie, les automorphismes d'un objet forment toujours un groupe , appelé groupe d'automorphismes de l'objet.

Exemples

Pour plus d'exemples, voir la théorie des catégories d' entrée .

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes